Функция. Свойства функции

Волгограда

Изотова Ирина Юрьевна

наименьшее значения функции.
Выпуклость, вогнутость функции.
Четность, нечетность функции.
Элементарные функции, их свойства

и графики.

котором каждому значению переменной х соответствует
единственное значение переменной у

называют функцией .

Обозначают у = f(х),
где х – независимая переменная (аргумент),
у = f(x) – зависимая переменная (функция).

х2

х1

у2

у1

у

х

хо

у1

у2

О

хо

у1

у2

Не является функцией

Не является функцией

Является функцией

х принадлежит Х (области определения).

Обозначение: Е(f) = [m;n]

Область определения функции
Множество

всех допустимых значений х (аргумента, независимой переменной) при которых выражение имеет смысл.
Обозначение: D(f) = [а;b]

b

a

n

m

(с помощью естественного языка)
Например:
«Каждому отрицательному числу соответствует – 1, нулю

– число 0, а каждому положительному – число 1»

Графический

если для любых двух точек х1 и х2 области определения,

таких, что х1 < х2 , выполняется неравенство f(x1 ) < f(x2).
(Если большему значению аргумента соответствует большее значение функции)

Убывание
Функцию у = f(x) называют убывающей на множестве D(f), если для любых двух точек х1 и х2 области определения, таких, что х1 < х2 , выполняется неравенство f(x1 ) > f(x2).
(Если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции)

у

Термины «возрастающая», «убывающая» функция объединяют общим названием МОНОТОННАЯ ФУНКЦИЯ.

D(f), если все значения функции на области определения больше некоторого

числа.
(Если существует число m такое, что для любого значения х области определения выполняется неравенство f(x) > m.)

Функцию у = f(x) называют ограниченной сверху на множестве D(f), если все значения функции на области определения меньше некоторого числа.
(Если существует число m такое, что для любого значения х области определения выполняется неравенство f(x) < m.)

Если функция ограничена снизу, то ее график целиком расположен выше некоторой горизонтальной прямой у = m.

Если функция ограничена сверху, то ее график целиком расположен ниже некоторой горизонтальной прямой у = m.

Если функция ограниченна и сверху и снизу, то ее называют ограниченной.

= f(x) на множестве D(f), если:
в области определения существует такая

точка хо , что f(хо ) = m;
для всех х из области определения выполняется неравенство f(x) f(хо).
Обозначение: У наим. = у(хо) = m.

M

хо

хо

m

Если у функции существует У наим, то она ограничена снизу.
Если функция не ограничена снизу, то У наим. не существует.

Если у функции существует У наиб., то она ограничена сверху.
Если функция не ограничена сверху, то У наиб. не существует.

Число M называют наибольшим значением функции у = f(x) на множествеD(f), если:
в области определения существует такая точка хо , что f(хо ) = M;
для всех х из области определения выполняется неравенство f(x) f(хо).
Обозначение: у наиб. = у(хо) = M.

ее графика отрезком прямой, обнаруживают, что соответствующая часть графика лежит

ниже проведенного отрезка.

Функция выпукла вверх, если, соединив любые две точки ее графика отрезком прямой, обнаруживают, что соответствующая часть графика лежит выше проведенного отрезка.

ее симметрична относительно начала координат;
Для любого

х из D(у) выполняется равенство f(-x) = f(x).

Функция у = f(х) называют
нечетной, если:
Область определения ее симметрична относительно оси ОУ;
Для любого х из D(у) выполняется равенство f(-x) = - f(x).

График симметричен относительно оси ОУ.

График симметричен относительно начала координат.

функции.
Наибольшее, наименьшее значения функции.
Непрерывность функции.
Выпуклость, вогнутость функции.

Не является ни четной ни нечетной;
3. Если k > 0,

возрастает,
если k < 0 убывает;
4. Не ограничена ни снизу, ни сверху;
5. Нет ни наибольшего, ни наименьшего значения;
6. Функция непрерывна;
7.
8. Не имеет выпуклости.

убывает на D(f),
если k < 0, то функция

возрастает на D(f);
4. Не ограничена ни сверху, ни снизу;
5. Нет ни наименьшего, ни наибольшего значений;
6. Функция терпит разрыв в точке х = 0;
7.
8. Если k > 0, то функция выпукла вверх при х < 0,
и выпукла вниз при х > 0;
Если k < 0, то функция выпукла вверх при х > 0,
и выпукла вниз при х < 0.

Функция
1. D(f) = [0; + ∞);
2. Не

является ни четной ни нечетной;
3. Возрастает;
4. Не ограничена ни снизу, ни сверху;
5. Наибольшего значения нет, наименьшее значение 0, при х = 0;
6. Функция непрерывна;
7. Е(f) = [0; + ∞)
8. Выпукла вверх.

Функция
1. D(f) = R;
2. Функция четная;
3. Возрастает

на [0; + ∞);
убывает ( - ∞; 0]
4. Не ограничена сверху,
ограничена снизу;
5. Наибольшего значения нет,
наименьшее значение 0, при х = 0;
6. Функция непрерывна;
7. Е(f) = [0; + ∞)
8. Выпукла вниз.

∞); убывает ( - ∞; 0]
4. Не ограничена сверху, ограничена

снизу;
5. Наибольшего значения нет,
наименьшее значение 0, при х = 0;
6. Функция непрерывна;
7. Е(f) = [0; + ∞)
8. Выпукла вниз.

1. D(f) = R;
2. Функция четная;
3. Убывает на [0; + ∞); возрастает ( - ∞; 0]
4. Не ограничена снизу, ограничена сверху;
5. Наименьшего значения нет,
наибольшее значение 0, при х = 0;
6. Функция непрерывна;
7. Е(f) = ( - ∞; 0];
8. Выпукла вверх.