Нестандартные приемы решения квадратных уравнений

уравнений» Учителя математики первой квалификационной категории Штабрат Ольги Анатольевны

в предприимчивых, деловых, компетентных специалистах в той или иной сфере

деятельности. Необходимо быть грамотным, чтобы нормально «функционировать в сложном и требовательном обществе». А быть грамотным в быстро меняющемся мире означает быть просто лучше образованным. Чем выше уровень образованности, тем выше профессиональная и социальная мобильность. Кроме того, анализ единого государственного экзамена показывает, что не менее 50% предлагаемых задач с параметрами так или иначе связано с нахождением корней квадратного трехчлена.

Разнообразие задач относящихся к теме работы, очень велико. Они часто

входят в состав решения более сложных задач математики и физики. Недаром среди математиков популярна такая фраза «Во многих задачах торчат уши квадратного уравнения». Вот эти «уши» и надо заметить, чтобы сообразить, как получить ответ.

в общем курсе школьной математики и совершенно необходимы каждому ученику,

желающему хорошо подготовиться для успешной сдачи конкурсных экзаменов, а также для успешных выступлений на математических олимпиадах, будет существовать.

– формирование умений и навыков учащихся 8 класса по решению

квадратных уравнений нестандартными методами в процессе обучения их по данной теме.

математических олимпиадах будет проходить успешнее, если в процессе обучения научить

школьников нестандартным приемам решения квадратных уравнений.

математики в 8-9 классах, так и на занятиях кружков. Он

способствует развитию познавательных интересов, мышления учащихся, предоставляет возможность подготовиться к сознательному выбору профиля обучения и дальнейшей специализации.

расширить
и углубить представления о решение

квадратных уравнений через применение нестандартных методов

ЦЕЛЬ РАБОТЫ -

методическую и специальную литературу по данной теме.

Научить учащихся решать квадратные

уравнения более высокой, по сравнению с обязательным уровнем, сложности.

нужно не упускать случая делать его немного занимательным».

Блез Паскаль

«Уравнение – это золотой ключ, открывающий все математические сезамы».
С. Коваль

Произведение корней приведённого квадратного уравнения равно свободному члену с тем

же знаком, а сумма корней-второму коэффициенту с противоноложным знаком.

б) х2+10х+21=0 ((-3)+(-7)) Пример 2: а) х2-2х-24=0((6)+(-4) б) х2+3х-18=0((3)+(-6))

+1 =0

х1,2 =

или х2 – 2х + 5 = 0
D = 4 – 20 = -16

Метод разложения на множители

Пример: 3х2 + 2х – 1 = 0
3х2 + 3х – х – 1 = 0
3х(х + 1) – (х + 1) = 0
(х + 1) (3х – 1) = 0
х + 1 = 0 или 3х – 1 = 0
х = -1 или х =

ответ: -1;

3(5х + 3) – 2

Пусть 5х + 3 = t, тогда
t2 = 3t – 2
t2 - 3t + 2 = 0
D > 0, то t1 = 1 t 2 = 2
Если t = 1, то 5х + 3 = 1; х = -0,4
Если t = 2, то 5х + 3 = 2; х = -0,2
Ответ: -0,4; -0,2

Использование свойства коэффициентов квадратного уравнения
х2 + 4х – 5 = 0 х2 + 6х + 5 = 0
а = 1, b =4, c =-5 a = 1, b = 6, c = 5
a + b + c = 0 a + c = b
x1 = 1, x2 = -5 x1 = -1, x2 = -5
ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)

Если а + b + c = 0, то х1 = 1; х2 =


Если а + с = b, то х1 = -1; х2 = -


Например, 5х2 + 7х + 2 = 0 х1 = -1; х2 = -

или 5х2 + 7х =0 х1 = -1; х2 =

a2x2 + bax + ca = 0

Пусть ах = у,

тогда

у2 + bу + са = 0

Так как ах1 = у1 , ах2 = у2 , то


х1 = , х2 =

2 · 11х + 30 =0 Пусть 2х = у ,

тогда у2 - 11у + 30=0 у1 = 5 , у2 = 6 Тогда 2х1 = 5 , 2х2 = 6; х1 = 2,5 , х2 = 3 Ответ: 2, 5 ; 3

+ 2,5
У = х2 и
У = -1,5 х+ 2,5
Ответ:

-2,5 ;1

Графический способ решения

квадратных уравнений

Ответ: 1 Пример2: Х2 + 4х – 5 = 0 Ответ: -5 ; 1 Пример3: Х2 – 4х + 5 = 0 Ответ: нет корней

Багдаде(9 век)
Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне.
Квадратные

уравнения в Индии.
Квадратные уравнения в Европе 13-17 в.в.
Квадратные уравнения в Древней Греции.

X2+bx+c=0

Квадратные уравнения в Багдаде(9 век):

Впервые квадратные уравнения появились в городе Багдаде, их вывел приглашённый математик из города Хорезм(Ныне территория Узбекистана) Мухаммед бен-Муса Ал-Хорезми. В отличие от греков, решавших квадратные уравнения геометрическим путём, он мог решить любые квадратные уравнения по общему правилу (найти положительные корни). Если у греков было геометрическое решение, то метод ал-Хорезми почти алгебраический.

не только первой, но и второй степени ещё в древности

была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а так же с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до нашей эры вавилоняне.
Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилонии, в клинописных текстах отсутствует понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.

Формулы решения квадратных уравнений в Европе были впервые изложены

в 1202 году итальянским математиком Леонардо Фибоначчи.
Общее правило решения квадратных уравнений, приведённых к единому каноническому виду ax2+bx+c=0, было сформулировано в Европе лишь в 1544 году Штифелем .

встречались уже в 499 году.

В Древней Индии

были распространены публичные соревнования в решении трудных задач.

В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звёзды, так учёный человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи.»

Древней Греции. Среди математиков Древней Греции было принято выражать

алгебраические утверждения в геометрической форме. Вместо сложения чисел говорили о сложении отрезков, произведение истолковали как площадь прямоугольника, а произведение трёх чисел-как объём прямоугольного параллепипеда. Например, говорили, что площадь квадрата, построенного на сумме двух отрезков, равна сумме площадей квадратов, построенных на этих отрезках, увеличенной на удвоенную площадь прямоугольника. С того времени идут термины «квадрат числа», «куб числа». Квадратные уравнения греки также решали геометрически. Примеры решения уравнений без обращения к геометрии даёт Диофант. Особое внимание уделял неопределённым уравнениям, теория которых называется
теперь «диофантовым анализом».

Эйнштейн говорил: «Мне приходится делить время между политикой и

уравнениями. Однако уравнения, по-моему, гораздо важнее. Политика существует только для данного момента, а уравнения будут существовать вечно».