Элементы линейной алгебры. Матрицы и определители

факультет
Кафедра высшей математики


«Математика»
Лекция 1. Элементы линейной алгебры.
Матрицы и определители


Лектор: Бодряков

В.Ю. E-mail: Bodryakov_VYu@e1.ru
Поток: 1 к. ИКРиМ, 2012-2013 уч.г.



Екатеринбург - 2012

СПб.: Лань, 2007. – 448 с.
Гмурман В.Е. Теория вероятностей и

математическая статистика . М.: Высшая школа. 1999. – 479 с.
Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике – М.: Высшая школа. 1999. – 400 с.
Лунгу К.Н. и др. Сборник задач по высшей математике, М., Айрис Пресс, 2007, ч. 1, 2.
Коробков, С.С. Математика для гуманитарных специальностей [Электронный ресурс]: учебное пособие. – Екатеринбург: УрГПУ, 2007. – 124 с.
Кремер Н.И. Высшая математика для экономических специальностей – М : Высшая школа. 2008. – 732 с.
Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: [в 2 ч.]. Ч. 1. – М.: Айрис – Пресс, 2008. – 288 с.
Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И. Курс математического анализа: учебное пособие для вузов. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2009. – 672 с.
Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. Ч. 1. СПб.: Лань, 2005. – 448 с., Ч.2, 2005. – 464 с.
Электронный ресурс: www.exponenta.ru

Рекомендуемая литература

регламентируемых ФГОС ВПО направлению «080400 – Управление персоналом» (квалификация «бакалавр»)

по циклу Б2 – математический и естественно-научный цикл, в частности, компетенции ОК-16: владение методами количественного анализа и моделирования, теоретического и экспериментального исследования, и др.
Задачи занятия: Познакомиться с профессионально важными понятиями линейной алгебры (матрицы, определители, системы линейных уравнений и методы их решения и др.); проиллюстрировать применение изученного материала на конкретных примерах.

Цель и задачи занятия

все соответствующие элементы этих матриц, т.е.
A = B ⇔ aij

= bij,
где i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n.
Df: Матрицы, у которой число строк равно числу столбцов, называется квадратной. Квадратную матрицу размера n×n называют матрицей n-го порядка.
Df: Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме элементов главной диагонали, равны нулю, называется диагональной.
Df: Диагональная матрица, у которой каждый элемент главной диагонали равен единице, называется единичной; единичная матрица обозначается буквой E.

1.1. Матрицы: основные понятия (продолжение)

(линейные) свойства:
1. A + B = B + A; 5.

1⋅A = A;
2. A + (B + C) = (A + B) + C; 6. α⋅(A + B) = α⋅A + α⋅B;
3. A + O = A; 7. (α + β)⋅A = α⋅A + β⋅A;
4. A − A = O; 8. α⋅(βA) = (αβ)⋅A,
где A, B, C − матрицы; α и β − действительные числа.

1.2. Действия над матрицами. Свойства операций сложения и умножения матриц

матрицы;
Умножение всех элементов ряда матрицы на число, отличное от нуля;
Прибавление

ко всем элементам ряда матрицы соответствующих элементов параллельного ряда, умноженных на одно и то же число.
Df: Две матрицы A и B называются эквивалентными, если одна из них получается из другой с помощью эквивалентных преобразований. Записывают: A ~ B.

1.2. Действия над матрицами. 1.2.3. Элементарные преобразования матриц

условии, что все написанные суммы и произведения имеют смысл).
Свойства умножения

матриц:
1. A⋅(B⋅С) = (A⋅B)⋅С;
2. A⋅(B + C) = A⋅B + A⋅C;
3. (A + B)⋅C = A⋅C + B⋅C;
4. α⋅(A⋅B) = (α⋅A)⋅B.
Свойства транспонирования матриц:
1. (A + B)T = AT + BT;
2. (A⋅B)T = BT ⋅ AT.

1.2. Действия над матрицами. Свойства операций умножения и транспонирования матриц

для восприятия и применения. Однако известны методы, позволяющие свести вычисление

определителей высоких порядков к вычислению определителей низших порядков.
Один из таких методов основан на свойстве разложения определителя по элементам некоторого ряда, что позволяет на единицу понизить порядок вычисляемых определителей.
Имеются также правила преобразования определителей, не изменяющие их величину, но позволяющие их упростить, добиваясь, например, того, чтобы в данном ряду все элементы, кроме одного, стали нулевыми.

§2. Определители 2.1. Основные понятия (продолжение)

Минором некоторого элемента aij определителя матрицы A порядка n называется

определитель (n − 1)-го порядка, полученный из исходного путем вычеркивания i-ой строки и j-го столбца, т.е. вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых находится выбранный элемент aij. Минор обозначается как mij.
Df: Алгебраическим дополнением некоторого элемента aij называется его минор, взятый со знаком «+», если сумма (i + j) − четное число, и со знаком «−», если эта сумма нечетна. Алгебраическое дополнение обозначается как Aij = (−1)i+j mij.

§2. Определители 2.2. Свойства определителей (продолжение)

называется рангом матрицы. Ранг матрицы обозначается r, или r(A), или

rangA. Очевидно, что 0 ≤ r(A) ≤ min(m; n)).
Df: Минор, порядок которого определяет ранг матрицы, называется базисным; таких миноров у матрицы может быть несколько.
С в о й с т в а ранга матрицы:
При транспонировании матрицы ее ранг не меняется.
Если вычеркнуть из матрицы нулевой ряд, то ее ранг не изменится.
Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях матрицы.
Ранг канонической матрицы равен числу единиц на главной диагонали.

§3. Невырожденные матрицы 3.3. Ранг матрицы (продолжение)