Слайд 1Понятие конуса. Площадь поверхности конуса. Усеченный конус
Слайд 2Основные вопросы:
Определение конической поверхности. Понятие конуса и его элементов.
Площадь поверхности
конуса.
Понятие усеченного конуса. Площадь боковой поверхности усеченного конуса.
Сечение конуса плоскостями
(осевое, круговое).
Решение задач
Слайд 3ЦИЛИНДР
КОНУС
ШАР
УСЕЧЕННЫЙ КОНУС
ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ
Слайд 5Конус
Латинское слово «conus»
заимствовано из греческого языка
(konos - втулка,
сосновая шишка)…
Слайд 6называется тело ограниченное кругом – основанием конуса, и конической поверхностью,
образованной отрезками, соединяющими точку, вершину конуса, со всеми точками окружности,
ограничивающей основание конуса.
Круговым конусом
Слайд 7Элементы конуса.
Коническая поверхность называется боковой поверхностью конуса, а круг –
основанием конуса.
Высотой конуса называется перпендикуляр, опущенный из вершины конуса на
его основание.
Образующая конуса – отрезок соединяющий вершину конуса с границей основания
Слайд 8Прямой круговой конус.
Круговой конус называется прямым, если его
высота попадает в центр круга, и перпендикулярна плоскости основания.
Слайд 9Конус можно получить, вращая прямоугольный треугольник вокруг одного из катетов.
При этом осью вращения будет прямая, содержащая высоту конуса. Эта
прямая так и называется – осью конуса.
Слайд 10Все образующие конуса равны между собой и составляют один угол
с основанием.
Слайд 11Сечения конуса.
Если через вершину конуса провести плоскость, пересекающую основание, то
в сечении получится равнобедренный треугольник.
Слайд 12Сечение конуса, проходящее через ось, называется осевым.
В основании осевого
сечения лежит диаметр – максимальная хорда, поэтому угол при вершине
осевого сечения – это максимальный угол между образующими конуса. (Угол при вершине конуса).
Сечения конуса.
Слайд 13Любое сечение конуса плоскостью, параллельной основанию, - это круг.
Сечения конуса.
Слайд 14Развертка конуса.
Развертка конуса – это круговой сектор.
Радиус которого
равен образующей конуса, а длина дуги сектора – длине окружности
основания конуса.
Слайд 15Найдем выражение для градусной меры угла развертки конуса.
Слайд 16За площадь боковой поверхности конуса принимается площадь его развертки (конической
поверхности).
Развертка конуса.
2
α
Слайд 17Теорема.
Sбок.кон.= π Rl
Площадь боковой поверхности конуса равна половине произведения
длины окружности основания на образующую.
Слайд 18Теорема.
Площадью полной поверхности конуса называется сумма площадей боковой поверхности
и основания.
Sполн=Sбок+Sосн
Sбок=πRL
Sосн=πR2
Sполн=πRL+πR2
Sполн=πR(L+R)
Слайд 20Зная угол, образованный высотой и образующей конуса, можно вычислить угол
сектора, полученного при развертке конуса, и наоборот.
Слайд 21 называется часть полного конуса, заключенная между основанием и
секущей плоскостью, параллельной основанию.
Круги, лежащие
в параллельных плоскостях, называются основаниями усеченного конуса.
Усеченным конусом
Слайд 22 Образующей усеченного конуса называется часть образующей полного конуса,
заключенная между основаниями.
Высотой усеченного конуса называется расстояние между
основаниями.
Слайд 23 Усеченный конус можно рассматривать как тело, полученное при
вращении прямоугольной трапеции вокруг боковой стороны, перпендикулярной основанию.
Слайд 24 Прямая, соединяющая центры оснований, называется осью усеченного конуса.
Сечение, проходящее через ось, называется осевым.
Осевое сечение является равнобедренной трапецией.
Слайд 25Боковая поверхность усеченного конуса. Площадь боковой поверхности усеченного конуса.
Площадь боковой поверхности усеченного конуса равна произведению полусуммы длин окружностей
оснований на образующую.
Слайд 26Площадь полной поверхности усеченного конуса
Sп = π(Rl + rl + R2 + r2)
Слайд 28Дано: полукруг радиусом R = 8.
Найти: Н,
β (
угол между образующей и основанием.)
Задача.
Слайд 291) Используем формулу, связывающую угол кругового сектора развертки с углом
между высотой и образующей конуса. Получим угол между высотой и
образующей, а затем найдем угол между образующей и основанием конуса.
Слайд 302) Найдем высоту конуса, используя определение тангенса угла в прямоугольном
треугольнике.
Слайд 31Задача . Высота конуса равна 15 см, а радиус основания
равен 8 см. Найдите образующую конуса.
Дано: h=SO=15см, r=ОА=8см.
Найти: AS.
Решение:
S
O
A
B
Ответ: 17см.
Слайд 32Задача. Осевое сечение конуса – прямоугольный треугольник. Найдите площадь этого
сечения, если радиус основания конуса равен 5 см.
Р
А
В
О
Слайд 33Задача . Высота конуса равна h, а угол между высотой
и образующей конуса равен 60°. Найдите площадь сечения конуса плоскостью,
проходящей через две взаимно перпендикулярные образующие.
60°
h
P
30°
O
B
A
Слайд 34Задача . Разверткой боковой поверхности конуса является сектор с дугой
α. Найдите α, если высота конуса равна 4 см, а
радиус основания 3 см.
В
А
С
О
h
r
Слайд 35Задача . Найдите образующую усеченного конуса, если радиусы оснований равны
3см и 6 см, а высота равна 4см.
В
С
А
D
O
O1
В1
C1
Слайд 36Задача . Радиусы оснований усеченного конуса равны R и r,
где R>r, а образующая составляет с плоскостью основания угол в
45°. Найдите площадь осевого сечения.
А
В
С
D
O
O1
В1
С1
Слайд 49Задание:
Используя условие и готовые чертежи оформите решение предложенных задач.
Слайд 50Чему равен угол между образующей и основанием конуса, если известен
угол между высотой и образующей.
?
650
Задача 1.
Слайд 51 Пусть в конусе, высота которого известна, проведено сечение,
находящееся на расстоянии три от вершины. Чему равна образующая получившегося
усеченного конуса, если известна образующая полного конуса?
8
?
Задача 2.
Слайд 52 Пусть дан усеченный конус, радиусы оснований и высота
которого известны. Найдите образующую усеченного конуса.
8
?
Задача 3.
Слайд 53Найдите площадь осевого сечения, если известны радиус основания конуса и
образующая.
?
30
Задача 4.
Слайд 54 Найдите площадь осевого сечения, если известны радиус нижнего
основания, высота и образующая.
36
?
Задача 5.
Слайд 55 Усеченный конус получен от вращения прямоугольной трапеции вокруг
боковой стороны, перпендикулярной основаниям. Найдите площадь боковой поверхности усеченного конуса,
если известны основания и боковая сторона трапеции.
?
Задача 6.
Слайд 56Конус получен при вращении прямоугольного треугольника
S =
14. Радиус основания конуса равен 4. Определите высоту этого конуса.
?
7
Задача
7.
Слайд 57Через середину высоты конуса провели плоскость, перпендикулярную оси, и получили
круг R = 5. Чему равна площадь основания конуса?
?
100π
Задача 8.
Слайд 58Пусть конус будет получен от вращения прямоугольного треугольника с известными
катетами. Найдите боковую поверхность этого конуса.
?
20π
Задача 9.
Слайд 59ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ:
Учебник Геометрия /Атанасян/
гл.6 §1 ( п.53 - 54) ,
§2 (п.55 – 57).
Написать конспект с выполненными чертежами. Выучить определения
всех основных понятий данного занятия.
Все разобранные задачи в конспект.
Решить прилагаемые задачи.
