Тройной интеграл Основные понятия Вычисления тройного интеграла в декартовых координатах

замкнутой области V, ограниченной некоторой замкнутой поверхностью S

С помощью

В каждой из элементарных областей Vi выберем точку

Построим сумму:

Ее мы будем называть трехмерной интегральной суммой.

Vi

Mi

2/14

Будем неограниченно увеличивать n таким образом, что каждая элементарная ячейка

Предел трехмерной интегральной суммы при , если этом предел существует и не зависит от формы ячеек Vi и выбора точек Мi в них, называется тройным интегралом по области V.

dV = dxdydz – элемент объема

3/14

замкнутой области V, то она интегрируема в этой области, то

(существования тройного интеграла)

Свойства тройного интеграла

1

2

4/14

V2 не имеющих общих точек, то
4
Если в области V имеет

Если в области V функции f(x; y; z) и g(x; y; z) удовлетворяют неравенству:

5/14

объем которой равен V то:
где m и M соответственно

Если функция f(x; y; z) непрерывна в замкнутой области , объем которой равен V, то в этой области существует такая точка М0 (x0 ; y0 ; z0 ), что

Среднее значение функции f в области V

6/14

область, ограниченная сверху поверхностью z = z2(x; y),


z = z1(x;

снизу поверхностью z = z1(x; y),

z = z2(x; y)

причем z1(x; y) и z2(x; y) – непрерывные функции, удовлетворяющее условию:

проекциями которых на плоскость XOY является область D.

сбоку цилиндрической поверхностью,

D

7/14

правильной относительно оси OZ:
любая прямая, параллельная оси OZ пересекает границу

Тогда для любой непрерывной в области V функции f(x; y; z) имеет место формула, сводящая вычисление тройного интеграла к вычислению двойного интеграла от однократного.

D

z = z2(x; y)

z = z1(x; y)

z1(x; y)

z2(x; y)

8/14

x = a, x = b (a < b) и

Тогда, переходя от двойного интеграла по области D к двукратному, получим формулу, по которой вычисляется тройной интеграл в декартовых координатах

D

y = φ1(x)

b

a

y = φ2(x)

a

b

φ1(x)

φ2(x)

9/14

переменной z при постоянных x и y. Результат вычисления этого

Дальнейшее решение аналогично вычислению двукратного интеграла.

Замечания

1

Если область V более сложная, чем рассмотренная, то ее следует разбить на конечное число правильных областей.

2

Порядок интегрирования в формуле при определенных условиях может быть иным.

10/14

+ y + z = 2 ; x = 0;

1

2

2

2

11/14

XOY


D


z = 2 – x - y
z = 1
y =

2 – x - y

1

y = 0

1

0

0

1 - x

12/14