Фрактальная геометрия

математического анализа, геометрию)

также их обобщения. Геометрия как систематическая наука появилась в Древней Греции, её

аксиоматические построения описаны в «Началах» Евклида.

фигур?
Свод правил евклидовой геометрии не способен описать форму облака, горы,

дерева или берега моря. Облака – это не сферы, горы – не конусы, берега – не окружности и кора дерева не является гладкой, и молния не движется по прямой… 

удаётся описать сполна.
Берег моря, облако иль пламя Как их форму можно

описать? Чтобы приоткрыть завесу тайн Нужно мир фракталов изучать.

Так что же мы будем сегодня изучать?

в процессе изучения геометрии. Показать взаимосвязь математики с другими науками

(физикой, биологией)
Задачи урока:
познакомиться с  историей возникновения и развития фрактальной геометрии;
изучить виды геометрических фракталов, их применение в современном мире;
закрепить полученные знания с помощью выполнения практического задания.

Цель урока:

Кантор с помощью простой рекурсивной процедуры превратил линию в набор

несвязанных точек (так называемая пыль Кантора). Он брал линию и удалял центральную треть и после этого повторял то же самое с оставшимися отрезками.

- математическое множество, обладающее свойством самоподобия (объект, в точности или

приближённо совпадающий с частью себя самого, то есть целое имеет ту же форму, что и одна или более частей)

масштаба не ведёт к упрощению структуры, то есть на всех

шкалах мы увидим одинаково сложную картину.
Является самоподобным или приближённо самоподобным (иными словами, любая часть фрактала похожа на весь фрактал в целом; так, отдельная ветка на дереве напоминает по строению все дерево, а часть листа папоротника — весь лист).

так как обладают так называемой жесткой самоподобностью, не изменяющейся при

изменении масштаба.
Независимо от того, насколько вы приближаете фрактал, вы видите всё тот же узор.

Геометрические фракталы

впервые появилась в статье шведского математика Хельге фон Коха в 1904 году.

Она непрерывна, но нигде не дифференцируема. Имеет бесконечную длину. Снежинка Коха ограничивает конечную площадь.

и графика Альбрехта Дюрера. Именно он в 1525 изобретает правило

построения правильного пятиугольника. «Звезда Дюрера» выглядит как связка пятиугольников, сжатых вместе. Фактически он образован при использовании пятиугольника в качестве инициатора и равнобедренных треугольников, отношение большей стороны к меньшей, в которых в точности равно так называемой  «золотой пропорции» в качестве генератора.

Серпинский. Чтобы его получить, нужно взять (равносторонний) треугольник с внутренностью,

провести в нём средние линии и выкинуть центральный из четырех образовавшихся маленьких треугольников. Дальше эти же действия нужно повторить с каждым из оставшихся трех треугольников, и т. д. На рисунке показаны первые три шага.

каждом шаге отрезок заменяется на ломаную из двух равных отрезков,

составляющих прямой угол между собой. Направление вершины угла определяется так, чтобы никакие два соседних отрезка в образовавшейся фигуре не лежали на одной прямой.

из которых выбрасывается, а с остальными повторяется та же операция

до бесконечности.

70-х годов ХХ века существовал недостаток вычислительных мощностей

в 1977 г. Лорена Карпентера

мышцы, бронхи и т.д. 

исследования в медицине, электрогастроэнтерография — метод исследования, позволяющий оценить биоэлектрическую

активность желудка, двенадцатиперстной кишки и других отделов ЖКТ.

величины и ритмов фрактальной размерности позволяют на более ранней стадии

и с большей точностью и информативностью судить о нарушениях гомеостазиса и развитии конкретных заболеваний сердца.

моделировании рыночных процессов является фрактальная модель фондового рынка. Ввиду особенностей

функционирования рынка ценных бумаг, достаточно тяжело спрогнозировать динамику цен на нем.
Фрактальный анализ рынков постулирует зависимость будущих цен от их прошлых изменений. Таким образом, процесс ценообразования на рынках глобально детерминирован, зависим от "начальных условий", то есть прошлых значений.

Фракталы в экономике

и пейзажей, основанных на фрактальных алгоритмах.
в кино для создания различных

фантастических пейзажей

Турбулентные потоки хаотичны и поэтому их сложно точно смоделировать.
Здесь

помогает переход к из фрактальному представлению, что сильно облегчает работу инженерам и физикам, позволяя им лучше понять динамику сложных систем

раз через каждую точку квадрата и его границы.
Первые этапы

рекуррентной процедуры построения кривой, предложенной Д.Гильбертом, видны по рисунку.

или местоимение, обозначающее объект, о котором дальше пойдет речь)
  2 строка

-     2 слова (прилагательное или причастие, они описывают свойства или признаки выбранного объекта)
 3 строка    -  3   глагола или деепричастия, которые описывают действия, характерные для объекта.
4 строка   -  фраза из 4  слов, в которой автор выражает свое личное отношение к объекту, о котором идёт речь.
5 строка -   одно слово-резюме, дающее характеристику объекту.

разбитый И красив и статен я, из частей весь свитый. Ключевое свойство

моё – самоподобие В уменьшенном масштабе – я снова своя копия.

Домашнее задание: найдите в сети Internet примеры фракталов, встречающихся в природе

Список литературы
1. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. М.: Институт компьютерных исследований, 2002.
2. Федер Е. Фракталы. М.: Мир, 1991.
3. Штейнгауз Г. Математический калейдоскоп. – М.: Наука, 1981. 160 с.