“ Электротехника, электроника и схемотехника

тока
Общее представление
Виды и параметры ВАХ для нелинейных элементов
Методы расчета нелинейных

цепей
Содержательная часть лабораторной работы 6

Электротехника.
Основные термины и методы расчета
Нелинейный элемент – это элемент,

параметры которого зависят от величины и (или) направления связанных с этими элементами переменных (напряжения, тока, магнитного потока, заряда, температуры, светового потока и др.). Они описываются нелинейными характеристиками, которые, определяются экспериментально или рассчитываются теоретически и задаются таблично, графиками или аппроксимирующими функциями. Могут быть двух- и многополюсными, инерционными и безинерционными, если вид ВАХ не зависит от dU/dt
Закон Ома для таких элементов не соблюдается
Нелинейные цепи - цепи, в состав которых входит хотя бы один нелинейный элемент.
Законы Кирхгофа для нелинейных электрических цепей справедливы,
но, из-за нарушения закона Ома обычные аналитические методы расчета (наложения, эквивалентного генератора и др.) неприменимы.
В общем случае нелинейные цепи описываются системой нелинейных уравнений и типовых аналитических методов расчета для них в настоящее время не существует.
Если в цепи действуют источники переменного тока или напряжения, либо происходят их коммутации, необходимо решать уже систему нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных

Методы расчета нелинейных электрических цепей постоянного тока
Графический метод, когда ВАХ представлена графиками, а система алгебраических уравнений по законам Кирхгофа решается графическими построениями на плоскости.
Аналитические методы, когда известны описывающие ВАХ элементов функции,
Графоаналитические методы, когда ВАХ аппроксимируются в окрестности заданной точки линейной или параболической зависимостью
Итерационные методы (последовательные приближения) – сочетание методов 1-3

Электротехника.
Виды и параметры ВАХ для нелинейных элементов
Статическое сопротивление –

это сопротивление, определяемое по закону Ома для заданного тока или напряжения на элементе
Дифференциальное, или динамическое сопротивление - это сопротивление, равное производной ВАХ для заданного тока или напряжения на элементе
Виды ВАХ:
однозначные и неоднозначные (с гистерезисом, характерным для магнитных цепей, либо из-за «падающего» участка на ВАХ – участка 3-2, на котором di/du<0)
Симметричные, когда i(u)=-i(-U) и несимметричные (чаще всего) – нижний график справа
Свойства ВАХ:
В зависимости от вида ВАХ Rд может быть как больше, так и меньше Rст. Более того, в отличие от Rст, Rд быть даже меньше 0 (участок 2-3 на верхнем правом графике)
Поскольку полагается, что элемент не содержит источников электроэнергии, всегда I(U=0)=0.
По этой же причине никогда ВАХ также не может находиться в 3-м или 4м квадранте, т.к. тогда бы Rст было отрицательным

Электротехника.
Аналитическое задание ВАХ
Функциональное – когда известен конкретный вид функции,

описывающей ВАХ
Задание аппроксимирующей функцией:
Полиномиальное – когда описывающая ВАХ экспериментальная (или теоретическая) функция аппроксимируется полиномом вида I=Σ(ki·Uii), i>0
Кусочно – линейное - это ВАХ, сопротивление, равное производной ВАХ для заданного тока или напряжения на элементе
Аппроксимация сплайном (набор соединяющих экспериментальные точки кубических парабол таких, что производные смежных j, j+1 парабол на границе j, j+1 участка одинаковы

Электротехника.
Графические методы расчета нелинейных цепей
2. Параллельное соединение элементов:
для результирующей

ВАХ при фиксированном напряжении складываем токи исходных ВАХ

Последовательное соединение элементов:
для результирующей ВАХ при фиксированном токе складываем напряжения исходных ВАХ

Расчет цепи при заданном
напряжении источника E=U1+U2

ветвей, содержащих источники тока, э.д.с., и сопротивления, то используем графический

расчет для параллельного случая. Точка результирующей ВАХ для i=0 дает искомое решение: результирующее напряжение на всех ветвях между этими узлами. Через него находим токи всех ветвей, а значит, и напряжения на всех входящих в эти ветви элементах.

Порядок расчета:
В каждой ветви после преобразований оставляем по одному элементу и не более 1 источника
Строим зависимости I(U) токов во всех ветвях от напряжения между узлами путем зеркального отражения ВАХ нелинейных элементов (не обязательно, если считаем, что U между узлами в контуре направлена в другую сторону от U на элементе!). Если ветвь содержит ЭДС, то смещаем результат на величину э.д.с. по оси U на величину ЭДС вправо (если Е>0)
Находим суммарный ток и приравниваем его нулю. Точка пересечения с осью U даст результирующее напряжение между узлами

содержит только один нелинейный элемент
Порядок расчета:
Заменяем сложную цепь с

одним нелинейным элементом эквивалентным генератором, выделяя нелинейный элемент
Рассчитываем напряжение на нелинейном элементе так, как показано на нижнем рисунке (один из R можно считать линейным)
По теореме заменяем нелинейный элемент источником ЭДС, равной по величине напряжению на этом элементе
Выполняем расчет остальной части цепи

Электротехника.
Другие методы расчета нелинейных цепей
3. Метод линеаризации:
Заменяем нелинейный

элемент источником э.д.с. или тока и постоянным сопротивлением, равным Rд

4. Итерационные методы:
1) По методу линеаризации для произвольного U(0) выполняем расчет, находим I(0).
2) По найденному I(0) уточняем значение U(1) и возвращаемся к шагу 1
3) Повторяем расчет, пока не станет |U(i+1)-U(i)|<ε

Электротехника.
Примеры расчета нелинейных цепей
Последовательное соединение элементов: графический расчет ВАХ
2.

Последовательное соединение
элементов: расчет методом
линеаризации.
Заменяем нелинейный элемент
источником э.д.с. Е=60В и
сопротивлением Rд=20В/0.6А=33.33 Ом

E1 =E3=100В;
R3=500 Ом;
ВАХ R1 и R2 заданы графиком 1 и 2 (рисунок справа)

Часть 1. Электротехника.
Содержательная часть лабораторной работы 6
Задание:
1) Снять

ВАХ двух однотипных нелинейных элементов.
2) Для заданной схемы построить ее ВАХ по данным работы
3) Выполнить аналитический расчет для модификации схемы (дополненной последовательным резистором и источником ЭДС) разными методами

Рассчитать протекающий через схему ток IA, если последовательно с ней установить еще один резистор, величина которого равна величине сопротивления Rд, и к полученной цепи приложить напряжение Е0, величина которого указана в задании. Полученное значение тока принять равным величине тока в рабочей точке нелинейного элемента. Для найденной точки А найти параметры эквивалентных генераторов тока и напряжения Jэкв, Eэкв, Rg, дифференциальное Rd и статическое Rs сопротивление схемы. Результаты расчета занести в таблицу 7.2.

Таблица 7.1 – Результаты измерения ВАХ исследуемых элементов

Диапазон возможных значений
Прямая ветвь:
Ток – до 30-50мА при напряжении – до 0.5-0.7В
Обратная ветвь:
Напряжение: диодов – до 20 В, стабилитронов – до Uстаб=2..15В
При этом ток диодов – до 10 мкА, стабилитронов – до 20-40мА

Электротехника.
Содержательная часть лабораторной работы 6
Оценить изменения положения рабочей

точки, если приложенное напряжение (для части заданий – величина последовательно включенного со схемой сопротивления) изменится на указанную в задании величину КΔ в процентах в положительную и отрицательную сторону. Расчет выполнить графически и в линейном приближении с использованием приведенных в теоретической части описания обозначений.
По значениям токов и напряжений на схеме в рабочей точке и в точках крайнего отклонения от нее, определенных в предыдущем пункте, оценить величину погрешности вычисления в линейном приближении для положительных и отрицательных отклонений. Результаты расчета занести в таблицу 7.3

Таблица 7.2 . Результаты расчета параметров рабочей точки и эквивалентных источников для заданной схемы для E0=___ В, Rд=_______ кОм
Наименование параметра IA UA Rd Rs Eэкв Jэкв Rg
Единица измерения
Значение параметра

Электротехника.
Содержательная часть лабораторной работы 6
Аппроксимировать ВАХ по трем

точкам А, В и С параболой и оценить величину погрешности линейного приближения, если величину отклонения напряжения уменьшить в заданное число раз Km. Результаты расчета занести в таблицу 7.4.

Из теоретических вопросов повышенная сложность: 9, 14, 15, 17-21
Из вопросов по работе – снять 8,13-14,16-17, повышенная сложность - 15

Электротехника.
Плакат
Нелинейный элемент, ВАХ которого в рабочем диапазоне приближенно можно изобразить прямолинейным

участком, заменяют последовательным соединением линейного резистивного элемента с источником ЭДС. При этом сопротивление линейного элемента принимается равным дифференциальному сопротивлению нелинейного элемента в рабочей точке его ВАХ.
Разветвленная нелинейная электрическая цепь постоянного тока с одним нелинейным элементом может быть рассчитана методом эквивалентного генератора. При этом заменяют линейную часть нелинейной цепи постоянного тока по отношению к нелинейному элементу эквивалентным источником. Полученную цепь последовательного соединения источника, линейного и нелинейного элементов рассчитывают графически.

Нелинейный элемент в области рабочей точки характеристики можно также заменить параллельным соединением источника тока с линейным элементом, проводимость которого равна дифференциальной проводимости нелинейного элемента в этой точке.
Решение нелинейных уравнений, описывающих нелинейную электрическую цепь постоянного тока с двумя узлами, также проводят графически. При этом все уравнения необходимо строить в одинаковом масштабе, на одном графике в функции узлового напряжения.