Сложение гармонических колебаний

облегчается и
становится наглядным, если изображать колебания графически в виде
векторов на

плоскости. Такой способ называется векторной диаграммой.
Из точки 0, взятой на оси x отложим вектор
длины А, образующий с осью угол
Если привести этот вектор во вращение с
угловой скоростью то координата
конца вектора будет изменяться по закону


Следовательно, проекция
конца вектора на ось x будет
совершать гармонические
колебания с амплитудой, равной
длине вектора циклической
частотой и начальной фазой
равной углу, образуемому
вектором с осью x в начальный момент времени.

направления и
одинаковой частоты.
Смещение колеблющегося
тела будет суммой смещений
исходных

колебаний

Представим оба колебания с
помощью векторов и Построим по правилам сложения векторов
результирующий вектор Проекция этого вектора на ось равна
сумме проекций слагаемых векторов и

Вектор задает результирующее колебание с той же частотой и
амплитудой которую определим по теореме косинусов:


Из рисунка понятно, что

близкими частотами.
Пусть – циклическая частота первого колебания,

тогда – час-
тота второго колебания, причем (близкие частоты).
Для простоты будем полагать, что амплитуды колебаний одинаковы, а
начальные фазы равны нулю. Тогда уравнения колебаний имеют вид:

Складывая эти выражения и применяя тригонометрическую формулу для
суммы косинусов, получаем

так как

Это
позволяет рассматривать результи-рующее колебание как гармоничес-кое с высокой частотой амплитуда которого пульсирует с низкой частотой
Такое колебание называется биениями.

Амплитуда биений определяется модулем выражения, стоящего перед гармонической функцией высокой частоты

Амплитуда колеблется с частотой – частотой биений.

взаимно перпендикулярных
колебаниях одной частоты. Пусть колебания вдоль оси

происходят с
нулевой начальной фазой, а вдоль оси со сдвигом по фазе на
Тогда уравнения колебаний примут вид:

Чтобы получить уравнение траектории в явном виде исключим время
Из первого уравнения следует, что

Подставляя синус и косинус в формулу
для получим:
Уединяя иррациональность и возводя в квадрат, придем к уравнению

которое представляет собой
уравнение эллипса. Полуоси
этого эллипса в общем случае
не совпадают с осями координат.

результирующего колебания для
некоторых частных случаев.
Пусть

В этом случае общее уравнение траектории

принимает вид
Движение
является гармоническим
колебанием вдоль прямой
с амплитудой

2. Пусть В этом случае

Траектория является прямой, лежа-
щей во 2-м и 4-м квадрантах.

общее
уравнение траектории
принимает вид
Это уравнение эллипса, приведенного
к

координатным осям, причем полуоси
эллипса равны соответствующим
амплитудам колебаний.

При
движение против
часовой стрелки.

При
движение по
часовой стрелке

для
соответствует движению против часовой стрелки, знак «-» – движению

по часовой стрелке.

принимает вид

При равенстве амплитуд
эллипс вырождается
в окружность.
Это означает что равномерное
движение по окружности
радиуса с угловой
скоростью может быть
представлена как сумма двух
взаимно перпендикулярных
колебаний

вид довольно сложных
кривых, называемых
фигурами Лиссажу.
Наиболее простой вид имеют
фигуры

Лиссажу для случая,
если отношение частот – это
простая рациональная дробь.

Пусть, частоту колебаний вдоль оси можно представить в виде
а вдоль оси – где и – натуральные
числа. За то время, пока вдоль оси точка успевает переместится из
одного крайнего положения в другое раз, вдоль оси она совершит
таких перемещений.
Чем ближе к единице рациональная дробь, выражающая отношение
частот колебаний, тем сложнее оказывается фигура Лиссажу.