Теорема Пифагора и различные способы её доказательства 8 класс

теоремы Пифагора
4. Теорема Пифагора и её доказательства
5. Проблемы, возникавшие при

доказательстве классической формулировки теоремы Пифагора

Содержание:

теорем планиметрии. Она позволяет значительно расширить круг задач, решаемых в

курсе геометрии. На ней в значительной мере базируется дальнейшее изложение теоретического курса.

из величайших учёных Греции, а теорема Пифагора - одна из

самых красивых в геометрии. Имеется более 500 различных её доказательств. Простейшим случаем теоремы Пифагора для треугольника со сторонами 3, 4 и 5 был известен до Пифагора египетским жрецам, а ещё ранее - китайским учёным ( около 11000 лет до н. э.). Пифагор, долго живший в Египте, специально изучал науку египетских жрецов и ознакомился с тем, как они строили на земле прямой угол при

помощи верёвочного треугольника со сторонами 3, 4 и 5 единиц. Пифагор обратил внимание на то, что между числами 3, 4 и 5 имеет место соотношение 32+42=52 и доказал, что такое соотношение имеет место для любого прямоугольного треугольника. Целые числа, представляющие длины сторон прямоугольного треугольник, носят название пифагорейских чисел. Теорема Пифагора устанавливает замечательное соотношение между гипотенузой и катетами прямоугольного треугольника.

задолго до него. В вавилонских текстах эта теорема встречается за

1200 лет до на Пифагора. Возможно тогда ещё не знали её доказательства, а само соотношение между катетами и гипотенузой было установлено опытным путём. Пифагор, по видимому, нашел доказательство этого соотношения. Сохранилось древнее предание, что в честь своего открытия Пифагор принёс жертву богам быка, по другим свидетельствам - даже сто быков. Многие известные мыслители и писатели прошлого обращались к этой теореме и посвятили ей свои строки. Мы с вами познакомимся с различными доказательствами этой теоремы и с её формулировкой.

прямоугольного треугольника, равна площади квадрата, построенного на его гипотенузе.

Именно так

или почти так выглядела изначальная, классическая формулировка теоремы. Картинка, иллюстрирующая теорему Пифагора, была ранее своеобразным символом геометрии, а в среде российских гимназистов получила название « Пифагоровы штаны». Саму теорему они переиначивали так: « Пифагоровы штаны на все стороны равны». И в этой шуточной формулировке запоминали её на всю жизнь. Приведём одно из многочисленных геометрических доказательств теоремы Пифагора. Оно отличается

в художественной литературе. Впрочем, по сути, и доказательства как такового

нет.

Всё сводится к «предъявлению» двух картинок, посмотрев на которые вы без труда убедитесь, что теорема Пифагора доказана!

Также известно старинное индийское доказательство Теоремы Пифагора. Его можно найти в сочинении Бхаскары (индийский математик, живший в 12 в.). Оно сопровождается одним словом «Смотри».

с2=(а-в)2-2ав

4S+a2+b2=

=4S+c2

катетов.

этого необходимо знать:
1. Элементы прямоугольного треугольника
2. Формулу площади квадрата
3. Формулу

площади прямоугольного треугольника

Если вы этого не знаете, то

Доказательство теорема Пифагора:

прямоугольного треугольника:
-гипотенуза - сторона, лежащая напротив прямого угла;
-катеты - стороны,

заключающие прямой угол.

c

а

b

2. Sкв=a2, где а - сторона квадрата.
3. Sпр. тр.=1/2ab, где а, b - катеты прямоугольного треугольника.

с.
b
Докажем, что с2=а2+b2.
Для этого достроим треугольник до квадрата со стороной

а+b

b

a

b

b

b

a

a

a

Площадь квадрата со стороной а+b равна (а+b)2

а

c

С другой стороны наш квадрат составлен из 4 равных прямоугольных треугольников, площадь которых равна 1/2ab.

А также из квадрата со стороной с и его площадь есть с2.

Поэтому S=4 *1/2ab + с2 = 2bc + с2.
Таким образом, (а+b)2 =2ab+ с2.
Откуда с2 = а2 + b2.

этого необходимо знать:
1. Элементы прямоугольного треугольника
2.Определение подобных треугольников
3. Первый признак

подобия треугольников
4. Определение высоты

Если вы этого не знаете, то

Доказательство теорема Пифагора:

прямоугольного треугольника:
-гипотенуза - сторона, лежащая напротив прямого угла;
-катеты - стороны,

заключающие прямой угол.

a

b

c

2. Два треугольника называются подобными, если углы одного соответственно равны углам другого и соответствующие стороны пропорциональны.

подобия треугольников:
Если два угла одного треугольника равны двум углам другого

треугольника, то такие треугольники подобны.

4. Высота треугольника - это отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны или её продолжением и перпендикулярный этой стороне.

A

B

C

D

A
С
B
Проведём высоту СD из вершины прямого угла.
D

Треугольники ABC и ACD

подобны по первому признаку.

Следовательно,

Отсюда

Аналогично треугольники ABC и CBD подобны по первому признаку.
Следовательно,

Отсюда

Сложив полученные равенства почленно и замечая, что AD+BD=AB, получим

этого необходимо знать:
1. Элементы прямоугольного треугольника
2. Соотношения в прямоугольном треугольнике.

Если

вы этого не знаете, то

Доказательство теорема Пифагора:

прямоугольного треугольника:
-гипотенуза - сторона, лежащая напротив прямого угла;
-катеты - стороны,

заключающие прямой угол.

A

B

C

треугольника, есть среднее пропорциональное между отрезками гипотенузы, на которые она

разделена этой высотой;

A

B

C

D

проекцией этого катета на гипотенузу;
A
B
C
D

Таким образом,
AB=AC*AD
BC=AC*CD

A
B
C
D
Используя соотношения в прямоугольном треугольнике, докажем, что AB2 +AC2 =BC2.
AB2=BC*BD


AC2

=BC*DC

Сложим почленно данные равенства
AB2 + AC2 = BC*BD + BC*DC =
=BC *( BD+DC )=

BC*BC = BC2

Таким образом, AB2 +AC2 =BC2, и наша теорема доказана.

что по существу, доказательство теоремы Пифагора началось с проведения высоты

в прямоугольном треугольнике. Но, до этого ещё нужно было додуматься.
Если же говорить о проблемах, которые возникали при доказательстве теоремы у древних геометров, то объяснялись они отсутствием алгебраического аппарата. Что такое отношение двух отрезков, они вполне чётко понимали. А вот переход от равенства отношений к равенству произведений, который любой современный школьник воспринимает как очевидный, для древних геометров был просто невозможен. Произведение отрезков для них не имело геометрического смысла.

площадей. Именно в такой формулировке, сопровождаемая соответствующим доказательством, она становилась

истинной теоремой геометрии, одной из её жемчужин.
Было бы не справедливо не отметить важность алгебраической формулировки теоремы Пифагора. Она позволяет при измерении расстояний в каком - то смысле «сойти с прямой», выйти в плоскость и далее в пространство. Об этой важнейшей роли открытой Пифагором теоремы в теории и практике геометрии сам Пифагор мог лишь догадываться.