Математическое моделирование. Численные методы и использование ЭВМ в решении прикладных задач

задач

его чрезвычайной сложности, должна охватывать важнейшие для рассматриваемой задачи стороны

процесса, его существенные характеристики и формализованные связи, подлежащие учёту.
Как правило, математическая модель изучаемого физического явления формулируется в виде уравнений математической физики. Чаще всего это нелинейные, многомерные системы уравнений, содержащие большое число неизвестных и параметров.
Если математическая модель выбрана недостаточно тщательно, то какие бы мы не применяли методы для дальнейших расчётов, полученные результаты будут ненадежны, а в отдельных случаях и совершенно неверны.

рассматриваемой модели, применяют различные подходы к её исследованию и различный

смысл вкладывается в понятие решения задачи.
Для наиболее грубых и несложных (относительно) моделей удаётся получить их аналитическое – общее – решение.
Для более точных и сложных моделей основными методами решения являются численные методы решения с необходимостью требующие проведения большого объёма вычислений на ЭВМ. Эти методы позволяют добиться хорошего количественного и даже качественного результата в описании модели. Но, правда, у них есть и принципиальные недостатки – как правило, речь идёт о рассмотрении некоторого частного решения.

решение
Символьные вычисления на ЭВМ
Адекватность модели

методов, т.е. такой "интерпретации" математической модели, которая может быть реализована

на ЭВМ - назовём её дискретной (или вычислительной) моделью. Поскольку ЭВМ выполняет только арифметические и логические операции, то для реализации вычислительной модели требуется разработка соответствующего вычислительного алгоритма, собственно программирование, расчет на ЭВМ, обработка результатов расчета.

обычно они дают лишь более или менее идеализированные модели. Как

правило, при изучении тех или иных явлений мы вынуждены допустить некоторые упрощения, что и вызывает появление погрешностей решения

значения которых могут быть определены лишь приближенно. Это, например, все

физические константы или экспериментальные результаты, используемые в модели

некоторой приближенной задачей, дающей близкие результаты. Например, интеграл заменяют суммой,

производную – разностью, функцию – многочленом и т.д. Еще один источник – применение бесконечных итерационных процессов, принудительно прерываемых (например, sin x = x – x3/3!+x5/5! – …)

ограниченностью разрядной сетки машины – погрешности округлений (δmax = 0.5α1-k,

α − основание системы счисления) и с переводом чисел из одной системы счисления в другую

числа с плавающей точкой.
Множество целых чисел бесконечно, но из-за ограниченной

разрядной сетки мы можем оперировать только с конечным подмножеством. При 4-х байтах на число диапазон доступных чисел составляет ~ от −2.109 до 2.109

вещественные числа. Пример: 273.9 2739.10-1 2.739.102 0.2739.103
Последняя запись – нормализованная форма числа с

плавающей точкой. Общий вид: D = ±m . 10n, m=0.d1d2… dk, d1≠0
m – мантисса, n – порядок числа

приближенным. Если а – приближенное значение х: Δx = |a –

x|
Относительная погрешность – отношение абсолютной погрешности к приближенному значению δx = Δx/a

невозможно использовать. В этом случае используют верхнюю оценку модуля абсолютной

погрешности, называемую предельной погрешностью Δа: Δx ≤ Δа
В дальнейшем Δа принимается в качестве абсолютной погрешности

справа от n-й
Если первая из отброшенных цифр меньше 5, то

оставшиеся цифры остаются без изменения (8,3 ≈ 8)
Если первая из отброшенных цифр больше 5, то к последней оставшейся цифре добавляется 1 (8,6 ≈ 9)

остальных отброшенных имеются ненулевые, то к последней оставшейся цифре добавляется

1 (8,501 ≈ 9)
Если первая из отброшенных цифр равна 5 и все остальные – нули, то последняя оставшаяся остается неизменной, если она четная, и увеличивается, если нечетная (6,5 ≈ 6, но 7,5 ≈ 8)

разряда последней оставленной цифры

погрешности складываются: Δ(a ± b) = Δa + Δb
При умножении

и делении чисел их относительные погрешности складываются: δ(a . b) = δa + δb δ(a / b) = δa + δb
При возведении числа в степень его относительная погрешность умножается на показатель степени δ(ak) = kδa

= 2
Δa = Δb = 0.5
δa = 0.5/2520 ≈ 0.0002

(0.02%)
δb = 0.5/2518 ≈ 0.0002 (0.02%)
Относительная погрешность разности
δ(a − b) = (0.5 + 0.5)/2 = 0.5 (50%)

использовать ряды для вычисления функций

коммутативности выполняются не всегда. При обратном порядке сложения получим
S

= 1364+26.46+1.475+0.3944+0.2764= 1391

= 0.5236-0.2392 10-1+0.3279 10-3 = 0.5
sin 13π/6 (360º+30º) = sin

6.807 ≈ 0.5167
sin 49π/6 (4x360º+30º) = sin 25.6563 ≈ 129