ЕГЭ. Базовый уровень. Задача № 19. Теория делимости

Учитель математики гимназии № 92
г. Краснодара
Экшиян Алиса Андреевна

а если хотите научиться решать задачи,

то решайте их».

Д. Пойа

число делится на 2.
На 5: если запись числа оканчивается на

0 или 5, то число делится на 5.
На 10: если запись числа оканчивается на 0, то число делится на 10.
Любое число, которое делится на 10 делится на 2 и на 5.
Не любое число, которое делится на 5 будет делиться на 2 и на 10.
Не любое число, которое делится на 2 будет делиться на 5 и на 10.

число делится на 3.
На 9: если сумма цифр числа делится

на 9, то число делится на 9.
Любое число, которое делится на 9 делится и на 3.
Не любое число, которое делится на 3 делится на 9.
На 11: если сумма цифр в записи числа, стоящих на четных местах равна сумме цифр, стоящих на нечетных местах равна или отличается на 11, то число делится на 11.

на 4, то число делится на 4.
На 8: если три

последние цифры в записи числа делятся на 8, то число делится на 8.
Любое число, которое делится на 8, делится и на 4.
Не любое число, которое делится на 4 будет делиться на 8.

1 и 2 и делится на 24. В ответе укажите

какое–нибудь одно такое число.
РЕШЕНИЕ. 24 = 1·24 = 2·12 = 3·8 = 4·6.
Теория.
1. Число делится на 3, если сумма цифр этого числа делится на 3.
2. Число делится на 8, если три последние цифры в записи числа образуют число, которое делится на 8.
– некоторое шестизначное число.
Число делится на 24, значит, должно делиться на 3 и на 8.
Число делится на 8, последние три цифры в записи числа - 112.
a + b + c + 1 + 1 + 2 = a + b + c + 4.
a + b + c = 2 нет возможности.
a + b + c = 5, 5 = 2 + 2 + 1.
ОТВЕТ. 221112; 212112; 122112.

цифры которого различны и четны. В ответе укажите какое–нибудь одно

такое число.
РЕШЕНИЕ. Число делится на 88.
88 = 8·11,
для делимости на 11 a + c = b + d и
(три последние цифры в записи числа) должно делиться на 8.
Помним, что все цифры четные и различные.
Четные цифры это – 0, 2, 4, 6, 8.
2 + 4 = 6 + 0, то есть число 2640. Это проверка делимости на 11
Проверяем делимость на 8. 640 делится на 8.
Другую последовательность этих цифр взять нельзя (2046), потому что не выполняется делимость на 8.
Рассмотрим цифры 2, 4, 6, 8.
2 + 8 = 4 + 6. Получим число 2486 или 8426 или 8624 или 6248. Первые два числа не подходят – не выполняется признак делимости на 8, а вот два последних числа соответствуют второму условию (8624; 6248).
ОТВЕТ. 2640; 8624; 6248.

делении на 4, на 5 и на 6 дает в

остатке 1 и цифры которого расположены в порядке убывания слева направо. В ответе укажите какое–нибудь одно такое число.
РЕШЕНИЕ. Так как число делится на 4, на 5 и на 6 и дает в остатке 1, значит, оно делится на 4·5·6 = 120 и в остатке так же дает 1, т.е. число может иметь вид 120n + 1, где n – некоторое натуральное число.
Такими числами могут быть числа: 121; 241; 361; 481; 601; 721;
841; 961 и еще такими числами могут быть числа 181; 301; 421;
541; 661; 781; 901.
Проверяем второе условие, о расположении цифр в записи
числа порядке убывания слева направо, получим
721; 841; 961; 421; 541. Других вариантов нет.
ОТВЕТ. 721; 841; 961; 421; 541.

которого равна их произведению. В ответе укажите какое–нибудь одно такое

число.
РЕШЕНИЕ. – данное четырехзначное число. Так как число четное, то на последнем месте может стоять цифра 0; 2; 4; 6; 8.
0 в записи числа присутствовать не может, т.к. произведение
всегда будет равно 0 и не будет равно сумме цифр.
Остаются цифры 2; 4; 6; 8. a + b + c + d = a · b · c · d.
Начнем с первой цифры – 2. Число принимает вид .
Тогда a + b + c + 2 = a · b · c · 2. Так как ничего не сказано о повторении цифр, то цифры могут повторяться. Один из вариантов a = 1, b = 1, c = 4. Число 1142, 1 · 1 · 4 · 2 = 1 + 1 + 4 + 2; 8 = 8.
Так как цифры подобраны, то теперь можно составить различные комбинации расположения этих цифр.
Получим – 1124; 1412; 4112; 2114; 1214.
ОТВЕТ. 1124; 1412; 4112; 2114; 1214; 1142.

3000, которое делится на каждую свою цифру, и все цифры

которого различны. В ответе укажите какое–нибудь одно такое число.
РЕШЕНИЕ. 2200 < < 3000.
Так как все цифры различны, то числа вида не может быть.
Пусть b = 3, тогда , значит, обязательно это число должно делиться на 2, т.е. оно четное и должно делиться на 3, т.е. сумма цифр числа
2 + 3 + c + d – должна делиться на 3.
Вместо d можно взять 4; 6; 8.
Пусть d = 4, тогда , 2 + 3 + c + 4 = 9 + c.
Получается, что c = 3 (9 + 3 = 12) или c = 6 (9 + 6 = 15)
или c = 9 (9 + 9 = 18). Чтобы цифры были различными необходимо выбрать 6, тогда число 2364. Это число делиться на каждую свою цифру. Также решением этой задачи могут быть числа – 2316; 2436; 2916.
ОТВЕТ. 2364; 2316; 2436; 2916.

чтобы получившееся число делилось на 22. В ответе укажите какое–нибудь

одно такое число.
РЕШЕНИЕ. Чтобы число делилось на 22, оно должно делиться на 2
и на 11 (22 = 2 · 11).
Таким образом, это число четное.
Из восьмизначного числа оно должно стать пятизначным. Вычеркивая цифры необходимо проверять признак делимости на 11.
Вычеркнем 7, получим - 45 341 52 и еще две цифры 1 и 5,
получим 45 342.
Проверим делимость на 11: 4 + 3 + 2 = 5 + 4, 9 = 9. Равенство верно, это число нам подходит.
Другой вариант решения – вычеркнуть цифры 4; 4 и 7,
получим – 53 152.
Проверяем делимость на 11: 5 + 1 + 2 = 3 + 5, 8 = 8. Опять равенство верно, значит, это число то же может являться решением задачи.
ОТВЕТ. 45 342; 53 152; 45 452.

получившееся число делилось на 30. В ответе укажите какое–нибудь одно

такое число.
РЕШЕНИЕ. Так как число должно делиться на 30, то оно должно делиться на 3 и на 10 (30 = 3 · 10).
Теория. Число делится на 10, если запись числа оканчивается цифрой 0.
Поэтому обязательно нужно вычеркнуть крайнюю правую цифру 3, получим 7 541 630.
Вычеркивая еще две цифры помним, что сумма оставшихся цифр должна делиться на 3.
Получим 75 630 (7 + 5 + 6 + 3 + 0 = 21) или
54 630 (5 + 4 + 6 + 3 +0 = 18).
Решение можно продолжить и получить другие решения.
ОТВЕТ. 75 630; 54 630;74 160; 51 630; 74130.

в обратном порядке и получили второе четырехзначное число. Затем из

первого числа вычли второе и получили 2628. Приведите пример такого числа.
РЕШЕНИЕ. Данное четырехзначное число .
Теория. Число делится на 5, если запись числа оканчивается цифрой 5 или 0.
Значит, d = 5 или d = 0.
0 взять не можем, потому что в обратном порядке записать число не удастся.
Остается, что d = 5, тогда число имеет вид , а в обратном порядке .
Запишем каждое из этих чисел в виде суммы разрядных слагаемых:

+5 и
= 5000 + 100c

+ 10b +a.
Составим разность этих чисел:
- = 1000a + 100b + 10c +5 – (5000 + 100c + 10b +a) = 1000a + 100b +10c +5 – 5000 – 100c - 10b – a = 999a + 90b - 90c – 4995.
999a + 90b - 90c – 4995 = 2628.
999a + 90b - 90c = 7623, разделим почленно это равенство на 9.
111a + 10b - 10c = 847.
10b - 10c = 847 – 111a.

получить в правой части равенства круглое число (число, которое делиться

на 10).
Таким числом может быть a = 7,
получим 10b - 10c = 847 – 777,
тогда 10b - 10c = 70, а теперь почленно разделим это равенство на 10.
Получим b – c = 7. Т.е. b больше, чем c на 7. Это могут быть числа b = 9 и c = 2 или b = 8 и c = 1 и еще один вариант b = 7 и c = 0.
Получаются числа 7925; 7815 или 7705.
ОТВЕТ. 7925; 7815; 7705.

за внимание.