Разделы презентаций
- Разное
- Английский язык
- Астрономия
- Алгебра
- Биология
- География
- Геометрия
- Детские презентации
- Информатика
- История
- Литература
- Математика
- Медицина
- Менеджмент
- Музыка
- МХК
- Немецкий язык
- ОБЖ
- Обществознание
- Окружающий мир
- Педагогика
- Русский язык
- Технология
- Физика
- Философия
- Химия
- Шаблоны, картинки для презентаций
- Экология
- Экономика
- Юриспруденция
Окружность и ее элементы 9 класс
Содержание
- 1. Окружность и ее элементы 9 класс
- 2. СодержаниеОсновные понятияСвойства вписанных угловУглы, связанные с окружностьюОтрезки,
- 3. Основные понятияОкружность — множество всех точек плоскости, удаленных
- 4. Основные понятияХорда — отрезок, соединяющий любые две
- 5. Основные понятияВписанный угол — угол, вершина которого лежит
- 6. Свойства вписанных углов1. Вписанный угол измеряется половиной
- 7. Свойства вписанных углов2) Центр лежит внутри угла
- 8. Свойства вписанных углов2. Вписанные углы, опирающиеся на
- 9. Свойства вписанных углов3. Вписанный угол, опирающийся на
- 10. Свойства вписанных углов4. Равные дуги окружности стягиваются
- 11. Теорема (угол между пересекающимися хордами). Угол между двумя пересекающимися хордами равен
- 12. Теорема (угол между секущими). Угол между двумя секущими, проведенными из
- 13. Доказательство.Теорема (угол между касательной и хордой, проведенной через точку касания). Угол между касательной и хордой, проведенной
- 14. Теорема (угол между касательной и секущей). Угол между касательной и секущей равен полуразности
- 15. Теорема (угол между касательными). Угол между двумя
- 16. Теорема. Отрезки касательных к окружностям, проведенным из
- 17. Теорема. Произведение отрезков, на которые делится хорда
- 18. Теорема. Произведение секущей на ее внешнюю часть
- 19. Теорема. Квадрат касательной равен произведению секущей на
- 20. Теорема. Отношение хорды к синусу вписанного угла,
- 21. Теорема. Во всяком четырехугольнике, вписанном в окружность, сумма
- 22. Если все стороны многоугольника касаются окружности, то
- 23. 2) В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных
- 24. 3) Если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника
- 25. Если вершины многоугольника лежат на окружности, то
- 26. 2) В любом четырехугольнике, вписанном в окружность,
- 27. Примечание: точка касания вневписанной окружности со стороной треугольника
- 28. Вневписанная окружностьТеорема. Радиус вневписанной окружности, проведенный к стороне
- 29. Вневписанная окружностьТеорема. Площадь треугольника можно вычислить по формуле:Доказательство.Что и требовалось доказать.Содержание
- 30. КонецНачать зановоЗавершить показ
- 31. Скачать презентанцию
СодержаниеОсновные понятияСвойства вписанных угловУглы, связанные с окружностьюОтрезки, связанные с окружностьюТеорема ПтолемеяОкружность, вписанная в многоугольникОкружность, описанная около многоугольникаВневписанная окружность
Слайды и текст этой презентации
Слайд 2Содержание
Основные понятия
Свойства вписанных углов
Углы, связанные с окружностью
Отрезки, связанные с окружностью
Теорема
Птолемея
Слайд 3Основные понятия
Окружность — множество всех точек плоскости, удаленных на заданное расстояние
от заданной точки (центра).
Круг — часть плоскости, ограниченная окружностью.
Радиус — отрезок,
соединяющий точку окружности с центром.Содержание
Слайд 4Основные понятия
Хорда — отрезок, соединяющий любые две точки окружности.
Диаметр —
хорда, проходящая через центр окружности.
Секущая — прямая, проходящая через две
произвольные точки окружности.Содержание
Слайд 5Основные понятия
Вписанный угол — угол, вершина которого лежит на окружности, а
стороны являются ее хордами.
Центральный угол — угол, образованный двумя радиусами. Центральный
угол измеряется дугой, на которую опирается.Касательная — прямая, проходящая через точку окружности, перпендикулярно ее радиусу. Касательная имеет с окружностью только одну общую точку.
Содержание
Слайд 6Свойства вписанных углов
1. Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую
он опирается.
— вписанный угол, BA и BC — хорды,
OA — радиус.Проведем радиус OA. Рассмотрим треугольник OAB:
Следовательно, он равнобедренный и
Угол AOC — внешний, следовательно,
Следовательно,
Угол AOC измеряется дугой AC, следовательно, его половина измеряется половиной дуги AC.
Что и требовалось доказать.
Доказательство.
1) Центр на одной из сторон.
Содержание
Слайд 7Свойства вписанных углов
2) Центр лежит внутри угла ABC.
— вписанный угол,
BD — диаметр,
По свойству 1:
Следовательно,
Что и требовалось доказать.
3) Центр лежит
вне угла. — вписанный угол, BD — диаметр.
Что и требовалось доказать.
Содержание
Слайд 8Свойства вписанных углов
2. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту
же дугу, равны.
Доказательство.
и
— вписанные углы, KL — дуга.
Следовательно,
Что
и требовалось доказать.По свойству 1:
Содержание
Слайд 9Свойства вписанных углов
3. Вписанный угол, опирающийся на диаметр — прямой.
Доказательство.
— внутренний угол, BC — диаметр.
Так как BC — полуокружность,
следовательно, Таким образом,
Что и требовалось доказать.
По свойству 1:
Содержание
Слайд 10Свойства вписанных углов
4. Равные дуги окружности стягиваются равными хордами.
Доказательство.
,
AB и CD — хорды.
2. Треугольники OAB и OCD равны,
т.к.(радиусы).
и
Следовательно,
В равных треугольниках против соответственно равных углов лежат равные стороны, следовательно,
Что и требовалось доказать.
1. Проведем радиусы
Содержание
Слайд 11
Теорема (угол между пересекающимися хордами). Угол между двумя пересекающимися хордами равен полусумме высекаемых ими
дуг.
Доказательство.
— внешний угол треугольника DOB.
Что и требовалось доказать.
Угол
Содержание
Углы, связанные с
окружностью
Слайд 12
Теорема (угол между секущими). Угол между двумя секущими, проведенными из одной точки, равен
полуразности большей и меньшей высекаемых ими дуг.
По теореме о внешнем
угле треугольника MBC:Что и требовалось доказать.
Доказательство.
Содержание
Углы, связанные с окружностью
Слайд 13Доказательство.
Теорема (угол между касательной и хордой, проведенной через точку касания). Угол между касательной и хордой, проведенной в точку касания,
равен половине дуги, стягиваемой этой хордой.
опирается на дугу
Тогда,
Что
и требовалось доказать.2. Угол
1. Проведем диаметр.
Содержание
Аналогично для тупого угла
Углы, связанные с окружностью
Слайд 14
Теорема (угол между касательной и секущей). Угол между касательной и секущей равен полуразности высекаемых ими дуг.
По
теореме о вписанных углах:
По теореме об угле между касательной
и хордой .
— внешний угол треугольника ABM.
Что и требовалось доказать.
Доказательство.
Содержание
Углы, связанные с окружностью
Слайд 15
Теорема (угол между касательными). Угол между двумя касательными, проведенными из
одной точки, равен полуразности большей и меньшей высекаемых ими дуг.
Доказательство.
Проведем
радиусы в точки касания, они перпендикулярны касательным.Примечание.
Тогда
Что и требовалось доказать.
Содержание
Углы, связанные с окружностью
Слайд 16
Теорема. Отрезки касательных к окружностям, проведенным из одной точки, равны.
Доказательство.
,
так как гипотенуза OA — общая,
— радиусы.
.
Следовательно,
Что и
требовалось доказать.Содержание
Отрезки, связанные с окружностью
Слайд 17Теорема. Произведение отрезков, на которые делится хорда данной точкой, есть
для данной окружности величина постоянная.
Доказательство.
Пусть AB и CD — данные
хорды, O — точка пересечения.Проведем хорды AC и BD.
~
, так как
— вертикальные,
— опираются на дугу CB.
Что и требовалось доказать.
Тогда
Содержание
Отрезки, связанные с окружностью
Слайд 18
Теорема. Произведение секущей на ее внешнюю часть есть для данной
окружности величина постоянная.
Доказательство.
Проведем хорды AC и BD.
~
(по двум
углам): — общий,
— опираются на дугу BC.
Что и требовалось доказать.
Тогда
Содержание
Отрезки, связанные с окружностью
Слайд 19
Теорема. Квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть.
Доказательство.
~
, так как
— общий,
Тогда
Что и требовалось доказать.
Содержание
Отрезки,
связанные с окружностью
Слайд 20
Теорема. Отношение хорды к синусу вписанного угла, который на нее
опирается, равно двум радиусам (теорема синусов).
Доказательство.
, так как они опираются
на одну дугу BC.Что и требовалось доказать.
Содержание
Отрезки, связанные с окружностью
Слайд 21Теорема. Во всяком четырехугольнике, вписанном в окружность, сумма произведений длин противоположных
сторон равна произведению длин его диагоналей.
Доказательство.
1. Проведем диагонали AC и
BD.3. Тогда треугольники KBA и ACD подобны (по равному по построению углу и по углу, опирающемуся на дугу AD); треугольники AKD и ABC подобны (по двум углам:
2. Выберем на диагонали BD точку K так, чтобы
(по построению) и
).
Что и требовалось доказать.
4. Тогда:
Содержание
Теорема Птолемея
Слайд 22
Если все стороны многоугольника касаются окружности, то окружность называется вписанной
в многоугольник, а многоугольник — описанным около этой окружности.
1) В любой
треугольник можно вписать окружность. , где p — полупериметр.
Центром вписанной окружности является точка пересечения биссектрис.
Содержание
Окружность, вписанная в многоугольник
Слайд 23
2) В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны.
, так
как AK и AL — касательные к окружности, проведенные из одной
точки.Тогда сумма противоположных сторон есть для данного четырехугольника величина постоянная.
Аналогично с остальными отрезками.
Содержание
Окружность, вписанная в многоугольник
Слайд 24
3) Если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в
него можно вписать окружность.
Из параллелограммов окружность можно вписать в ромб,
квадрат.Если в трапецию вписана окружность, то сумма оснований равна сумме боковых сторон, а средняя линия — полусумме боковых сторон.
Содержание
Окружность, вписанная в многоугольник
Слайд 25
Если вершины многоугольника лежат на окружности, то окружность называется описанной
около многоугольника, а многоугольник — вписанным в эту окружность.
1) Около любого
треугольника можно описать окружность.;
Центром описанной окружности является точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам.
Содержание
Окружность, описанная около многоугольника
Слайд 26
2) В любом четырехугольнике, вписанном в окружность, сумма противоположных углов
равна 180°.
Тогда
Из всех параллелограммов окружность можно описать около прямоугольника, квадрата.
Содержание
Окружность,
описанная около многоугольника
Слайд 27Примечание: точка касания вневписанной окружности со стороной треугольника делит его периметр
пополам:
Доказательство.
1.
Вневписанная окружность
Вневписанная окружность — окружность, касающаяся одной стороны треугольника
и продолжения двух других его сторон.Теорема. Расстояние от вершины треугольника до точки касания вневписанной окружности с продолжением его боковой стороны равно полупериметру p.
— отрезки касательных, исходящих из одной точки.
2.
Таким образом,
Следствие:
.
,
Содержание
Слайд 28Вневписанная окружность
Теорема. Радиус вневписанной окружности, проведенный к стороне a, вычисляется по
формуле:
Доказательство.
1. Площадь четырехугольника ONAM:
2. Площадь четырехугольника ONAM:
3. Таким образом,
Что
и требовалось доказать..
Содержание
Слайд 29Вневписанная окружность
Теорема. Площадь треугольника можно вычислить по формуле:
Доказательство.
Что и требовалось
доказать.
Содержание
