Построение графика функции методом ее исследования с помощью производной

ее исследования с помощью производной»
г. Новосибирск
2008

категории МОУ лицей № 176 Ткаченко Зоя Васильевна
Автор:
Научный руководитель:

«Алгебра и математический анализ»
для углубленного изучения математики
в общеобразовательных

учреждениях

авторов Н. Я. Виленкин, О. С. Ивашев-Мусатов, С. И. Шварцбурд.


Программа соответствует обязательному минимуму среднего (полного) общего образования. Приказ №56 от 30. 06. 1999г.



Издательство МНЕМОЗИНА
Москва 2005

материалах ЕГЭ большое внимание уделяется заданиям, связанным с исследованием функции

с помощью графика, с построением графика заданной функции.
Успешное изучение этой темы поможет вам хорошо сдать государственный экзамен по математике.

по карточкам
Оборудование:
Smart-доска;
Сканер;
Персональный компьютер;
Карточка с заданием на каждой парте.

графика функции с помощью ее исследования.
Применить (ИКТ) новые информационные технологии

для проверки результатов построения с помощью программы MathCAD
Воспитывать такие качества личности, как познавательная активность, самостоятельность, упорство в достижении цели

при построении графиков функций.
Развивать умения наблюдать, сравнивать, обобщать и анализировать

математические ситуации с использованием ИКТ и программы MathCAD.
Воспитывать такие качества личности, как познавательная активность, самостоятельность, упорство в достижении цели, коммуникативную и информационную культуру. Побуждать учеников к самоконтролю, взаимоконтролю и самоанализу своей деятельности.

учащимся.
Вовлекать каждого ученика в процесс активного учения через интерактивные методы

обучения.
Развивать познавательный интерес, графическую культуру, культуру речи, память, самостоятельность мышления.

умения при построении графика функции с помощью производной и убедиться

в правильности своего построения с помощью программы MathCAD.

Вводная беседа

точки, в которых:
– Производная функции не существует:
x = e;

x = b;
x = d;
x = 0.

точки, в которых:
– Производная функции обращается в ноль:
x =

b, x = d;
x = c, x = a;
x = b, x = e, x = d;
x = e.

Точки максимума функции:
x = e;
x = b;
x = b,

x = e;
нет точек максимуманет точек максимума.

промежутки убывания функции:
[b;d] [b;d] и [b;d] и [e;+∞);
(-∞;b]

(-∞;b] и (-∞;b] и [d;e].

Промежутки возрастания функции:
[b;d] [b;d] и [b;d] и [e;+∞);
(-∞;b]

(-∞;b] и (-∞;b] и [d;e].

промежутке (-5;6).
Сколько экстремумов имеет функция на этом промежутке?
3
4

6
1

Правильный ответ

промежутке (-5;6).
-назвать промежутки возрастания функции:
[-1;2] и [5;6)
[3;6) и

[-2;1]
(-5;-4]

Правильный ответ

(-5;6).
Назвать промежутки убывания функции:
[-1;2] и [5;6)
[3;6) и [-2;1]

(-5;-1] и [2;5]

Правильный ответ

на промежутке (-5;6).
-построить эскиз графика функции:
Проверь себя

получает задание на карточке.

Первая группа – задание базового уровня.
Вторая

группа – задание основного уровня.
Третья группа – задание продвинутого уровня.

Задание: Исследовать функцию с помощью производной и построить ее график.
Исследовав функцию с помощью производной и построив ее график на листе бумаги, учащиеся сканируют свою работу и сохраняют ее на Smart – доске.
Осуществляют самопроверку с помощью программы МаthCAD.

Уровни

x4 – 8x2
Проверь себя
Назад
Справка

ней определяются участки монотонности и точки экстремума.
6.Вторая производная: по ней

определяются участки выпуклости и вогнутости и точки перегиба.
7.Точки пересечения с осями координат.
8.Таблица значений.

.

Назад

ней определяются участки монотонности и точки экстремума.
6.Вторая производная: по ней

определяются участки выпуклости и вогнутости и точки перегиба.
7.Точки пересечения с осями координат.
8.Таблица значений.

.

Назад

ней определяются участки монотонности и точки экстремума.
6.Вторая производная: по ней

определяются участки выпуклости и вогнутости и точки перегиба.
7.Точки пересечения с осями координат.
8.Таблица значений.

.

Назад

ОУ, достаточно исследовать ее на интервале от 0 до +∞

.

Данные исследования заносим в таблицу:

График

функция ?
2. Чему равна точка минимума ?
3.

Чему равен минимум функции ?
4. Чему равна точка максимума ?
5. Чему равен максимум функции ?
6. При каком наименьшем натуральном значении а уравнение f(x)=a имеет одно решение ?
7. При каком наибольшем целом значении а это уравнение имеет 3 решения ?
8. При каких значениях а уравнение имеет 2 решения ?
9. Есть ли значения а, при которых уравнение не имеет корней ?

Ответы:

Дополнительное задание:

Посмотрите в Посмотрите в MathCADПосмотрите в MathCAD(е).

функция ? ( 3 )
2. Чему равна точка минимума

? ( 1 )
3. Чему равен минимум функции ? ( - 2 )
4. Чему равна точка максимума ? ( - 1 )
5. Чему равен максимум функции ? ( 2 )
6. При каком наименьшем натуральном значении а уравнение f(x)=a имеет одно решение ? ( а = 3 )
7. При каком наибольшем целом значении а это уравнение имеет 3 решения ? (а = 1)
8. При каких значениях а уравнение имеет 2 решения ? ( - 2 и 2)
9. Есть ли значения а, при которых уравнение не имеет корней ? ( нет )

Дополнительное задание:

= а в зависимости от параметра а ?»

Дополнительное задание:
Ответ

Посмотрите в

Посмотрите в MathCADПосмотрите в MathCAD(е).

4, то два решения.
Если -4

построения можно пропустить важные особенности графика.

Можно строить график

функции с помощью преобразований:
сдвига прямой на а единиц;
растяжения прямой от точки О с коэффициентом k;
центральной симметрии относительно точки О;
симметрии относительно оси абсцисс и оси ординат.

А можно строить график методом исследования функции с помощью производной.

Ход урока

Далее

я разумею точные и простые правила, строгое соблюдение которых всегда

препятствует принятию ложного за истинное, и без излишней траты умственных силах, но постепенно и непрерывно увеличивая знания, способствует тому, что ум достигает истинного познания всего, что доступно.»

Далее

Методы математического анализа позволяют строить достаточно точный график заданной функции, если только удается хорошо изучить свойства этой функции.

имели смысла.
В 1679 году Пьер Ферма находил экстремумы функции, касательные,

наибольшие и наименьшие значения функций. Но в своих записях он использовал сложнейшую символику Виета, и поэтому эти исследования не привели к созданию теории интегральных и дифференциальных исчислений.
В 1736 году Исаак Ньютон получил теорию интегральных и дифференциальных исчислений методом флюксий (производных). Но вся теория была осмыслена с точки зрения физики. Математики хотели строгих логических обоснований.
Современник Ньютона Лейбниц предложил новый подход к математическому анализу. Он ввёл обозначения дифференциала, интеграла, функции, такие понятия как ордината, абсцисса, координата. Но в его теории было много “тёмных мест”.
И вот в 18 веке величайший математик Леонард Эйлер создал теорию дифференциальных и интегральных исчислений, и в таком виде она изучается и по сей день.

Историческая справка

Ход урока

Далее

функции;
Определять четность функции;
Критические точки и выделять из них точки экстремума;
Промежутки

монотонности функции;
Точки перегиба;
Промежутки выпуклости;
Строить график функции

Рефлексия

Ответив на вопросы, оцените свои умения.

: Дрофа 2004.
Н.Я. Виленкин, О.С. Ивашев-Мусатов, С.И. Шварцбурд . Алгебра

и математический анализ 11. Учебник для углубленного изучения математики в общеобразовательных учреждениях. М.: Мнемозина, 2005.
И.Н. Галицкий. Дидактические материалы по алгебре для 10 класса, учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. М.: Просвещение, 1998.
И.Н. Галицкий и др. Методическое пособие для учителя «Углубленное изучение алгебры и математического анализа в 10 классе». М.: Просвещение, 2000.