Преобразования графиков функций

выполнения основных преобразований графиков функций

преобразованиям:
y = f(x)+a
y = f(x+a)
y = -

y = - y = - f(x)
y = f(-x)
y = |f(x)|
y = f(|x|)
y = аf(x)
y = f(аx)
комбинации преобразований

Примечание: После рассмотрения каждого из выделенных видов
преобразований Вы можете вернуться на этой слайд,
воспользовавшись гиперссылкой «Возврат».

= f(x)+a «а»- слагаемое при f(x).

Значит: при одном значении аргумента значение функции y = f(x)+a отличается от значения функции y= f(x) на «а», то есть:
# Если а>0, то значение функции y = f(x)+a больше значения функции y = f(x) на «a».
# Если а<0, то значение функции y = f(x)+a меньше значения функции y = f(x) на «|a|».
Взаимное расположение графиков в выделенных случаях проиллюстрировано на Рис.1.

Преобразование y=f(x)+a

функции y = f(x):
Чтобы построить график функции y =

f(x)+a , можно график функции y = f(x) подвергнуть параллельному переносу на |a| единиц
вверх, если а>0,
вниз, если а<0.

y = f(x)

y = f(x)+a (а>0)

y = f(x)+a (а<0)

функции и сопоставить с соответствующим свойством графика;
найти множество значений

функции и сопоставить с соответствующим свойством графика;
найти корни функции и сравнить их с абсциссами (абсциссой) точек пересечения графика с осью абсцисс;
найти ординату точки пересечения графика функции с осью ординат и сравнить с соответствующей характеристикой точки графика
Замечание:
если график основной функции y = f(x) имеет асимптоты, то и результатирующий график, полученный в результате преобразования (композиции преобразований) также имеет асимптоты.

y = f(x+a), заметим, что «a» - слагаемое при аргументе.

2. Чтобы установить взаимное расположение графиков выделенных функций, выясним взаимосвязь аргументов этих функций при равных значениях функций.

3. Пусть (х0,y0) – координаты точки графика y=f(x), а (х1,y0) – координаты соответствующей точки графика функции y=f(x+а).

То есть верны равенства: y0= f(х0), y0= f(х1 +а).

Отсюда верно равенство: х0= х1 +а
или х1 = х0- а

Последнее равенство говорит о том, что:
    #    если а>0, то х1<х0 на «|а|»,
#  если а <0, то х1>х0 на «|а|».

y=f(x+a):
если а>0, то для получения графика функции y=f(x+a) можно график

функции y=f(x) «сдвинуть» на «|а|» влево;

если а <0, то для получения графика функции y=f(x+a) можно график функции y=f(x) «сдвинуть» на «|а|» вправо (движение вдоль оси абсцисс).

y=f(x)

y=f(x+a)

y=f(x+a)

к виду y = (-1)f(x).

Не трудно заметить, что при

одном значении аргумента значение функции y = - f(x) противоположно значению функции y= f(x).

Это означает, что если точка с координатами (х0,y0) – точка графика y=f(x), то точка с координатами (х0,- y0) – точка графика y= - f(x).

По свойству взаимного расположения точек координатной плоскости: точки с равными абсциссами и противоположными ординатами симметричны относительно оси абсцисс.

Вывод: График функции y = - f(x) можно получить из графика функции y = f(x), выполнив преобразование «осевая симметрия относительно оси абсцисс».

Взаимное расположение графиков продемонстрировано на Рис.3

равные отрезки, прямые – в прямые, кривые – в равные

им кривые;
характеристические точки основного графика переходят в симметричные им точки относительно оси абсцисс;
точки пересечения основного графика с осью абсцисс отображаются на себя (остаются на месте)
если мысленно перегнуть плоскость по оси абсцисс, графики функций «наложатся» друг на друга

y = f(x)

y = - f(x)

выясним взаимосвязь аргументов этих функций при равных значениях функций.
2. Сравнивая

уравнения функций y = f(- x) и y = f(x), заметим, что аргументы противоположны.
3. Пусть (х0,y0) – координаты точки графика y=f(x), а (х1,y0) – координаты соответствующей точки графика функции y=f(- x).
То есть верны равенства: y0=f(х0), y0=f(х1). Отсюда верно равенство: х0= - х1 или х1 = - х0

Вывод: Если аргументы функций противоположны, то значения функций равны.

(х0,y0) – точка графика y=f(x), то точка с координатами (-

х0, y0) – точка графика y= f(- x).
По свойству взаимного расположения точек координатной плоскости: точки с противоположными абсциссами и равными ординатами симметричны относительно оси ординат.

Вывод: График функции y = f(- x) можно получить из графика функции y = f(x), выполнив преобразование «осевая симметрия относительно оси ординат».

Взаимное расположение графиков продемонстрировано на Рис.4

равные отрезки, прямые – в прямые, кривые – в равные

им кривые;
характеристические точки основного графика переходят в симметричные им точки относительно оси ординат;
точка пересечения основного графика с осью ординат отображается на себя (остается на месте)
если мысленно перегнуть плоскость по оси ординат, графики функций «наложатся» друг на друга

y=f(x)

y=f(-x)

одной системе координат построить графики функций y=f(x) (основной график) и

y=- f(x) (симметрия основного графика относительно оси абсцисс).
Графиком функции y=|f(x)| будет объединение множеств точек:
графика функции y=f(x) на том множестве области определения, на котором f(x) ≥ 0,
графика функции y=- f(x) на том множестве области определения, на котором f(x)<0.
Этапы построения графиков выделены на Рис.5-6.

Уравнение функции y=|f(x)| можно записать в виде:

y=

f(x), если f(x) ≥ 0

- f(x), если f(x) <0

графика функции y=|f(x)| преобразованием графика y=f(x) можно:
множество точек

графика y=f(x), расположенных в верхней полуплоскости, оставить на месте,
множество точек графика y=f(x), расположенных в нижней полуплоскости, отобразить в верхнюю полуплоскость преобразованием «осевая симметрия» относительно оси абсцисс.

x ≥ 0
f(-x), если x < 0
Значит, для построения графика

функции y=f(|x|) можно в одной системе координат построить графики функций y=f(x) (основной график) и y=f(-x) (симметрия основного графика относительно оси ординат).
Графиком функции y=f(|x|) будет объединение множеств точек:
графика функции y=f(x) на том множестве области определения, на котором x ≥ 0,
графика функции y= f(-x) на том множестве области определения, на котором x <0.
Этапы построения графиков выделены на Рис.7-8.

построения графика функции y=f(|x|) преобразованием графика y=f(x) можно:
множество

точек графика y=f(x), расположенных в правой полуплоскости, оставить на месте,
множество точек графика y=f(x), расположенных в правой полуплоскости, отобразить в левую полуплоскость преобразованием «осевая симметрия» относительно оси ординат,
Замечание: Множество точек основного графика y=f(x), расположенные в левой полуплоскости «исчезают».

и а >1.
Замечание: Если а

построить подвергнув график функции y=f(x) композиции преобразований y=-f(x) и у=af(x) при а>0.

Заметим, что в уравнении функции y = аf(x) «а»- сомножитель при f(x).
Значит: при одном значении аргумента модуль значения функции y = аf(x) равен произведению модуля значения функции y= f(x) и «а», то есть:
# Если 0<а<1 , то модуль значения функции y = аf(x) меньше модуля значения функции y = f(x).
# Если а >1, то модуль значения функции y = аf(x) больше модуля значения функции y = f(x).
Дадим иллюстрацию взаимного расположения графиков в выделенных случаях при а=1/2 (Рис.9 Дадим иллюстрацию взаимного расположения графиков в выделенных случаях при а=1/2 (Рис.9) и а=2 (Рис.10).

к оси абсцисс.
В этом случае говорят: произошло растяжение графика функции

y=f(x) от оси абсцисс.

Заметьте, что во всех рассмотренных случаях точки оси абсцисс не изменили своего положения, то есть остались на месте.

и а >1.
Замечание: Если а

построить подвергнув график функции y=f(x) композиции преобразований y=f(-x) и у=f(аx) при а>0.

Чтобы установить взаимное расположение графиков выделенных функций, выясним взаимосвязь аргументов этих функций при равных значениях функций.

Пусть (х0,y0) – координаты точки графика y=f(x), а (х1,y0) – координаты соответствующей точки графика функции y=f(аx).
То есть верны равенства: y0=f(х0), y0=f(ах1). Отсюда верно равенство: х0=ах1 или х1 =1/а ⋅ х0

Последнее равенство позволяет сделать следующие выводы:
1. Если 0<а<1, то (1/а )>1, то есть |х1 | > | х0 | в (1/а) раз.

у=f(аx) имеют равные ординаты, а соотношение модулей их абсцисс равно

(1/а), причем модуль абсциссы графика функции у=f(аx) в 1/а раз больше.

Иллюстрацию этого случая рассмотрим на примере взаимного расположения графиков функций y=f(x) и у=f(1/2·x).

y=f(x)

у=f(1/2·x)

В этом случае говорят: произошло растяжение графика функции y=f(x) от оси ординат.

Заметьте, что точка оси ординат не изменила своего положения, то есть осталась на месте.

| < | х0 | в (а) раз.
Геометрическая интерпретация этого

факта: соответствующие точки графиков функций y=f(x) и у=f(аx) имеют равные ординаты, а соотношение модулей их абсцисс равно (1/а), причем модуль абсциссы графика функции у=f(аx) в (а) раз меньше.

Иллюстрацию этого случая рассмотрим на примере взаимного расположения графиков функций y=f(x) и у=f(2·x).

y=f(x)

у=f(2·x)

В этом случае говорят: произошло сжатие графика функции y=f(x) к оси ординат.

Заметьте, что точка оси ординат не изменила своего положения, то есть осталась на месте.

y=f(|x|) у=af(x) Преобразование у=af(x) y=f(ax) Преобразование y=f(ax)