Тайны паркетов

8 класса
Волик Павел
Руководитель
Волик Т.Г.,
учитель математики

п. Октябрьский
2010

Тайны паркетов

геометрии мы знакомились с темой «Выпуклые многоугольники». Когда был рассмотрен

вопрос о сумме углов выпуклого многоугольника и разобран ряд задач, учитель рассказал нам о том, что эта тема имеет практическое применение и связана с покрытием плоскости паркетами разных видов. Подробно на этом мы не остановились, но этот вопрос меня очень заинтересовал.

выбран-ной мной темы ?
Только ли ученые-
математики
занимаются этой темой?
Какие бывают

виды паркетов?

Какими фигурами можно покрыть плоскость?

Какова история паркета?

многоугольников и этих паркетов - конечное множество. Цель данного проекта:

исследовать вопрос о покрытии плоскости многоугольниками.

источники дополнительной информации
-о истории возникновения паркетов;
-о видах паркетов;
-о

многоугольниках, с помощью которых можно составить паркет;
2) провести исследование, выясняющее, насколько верна выдвинутая мной гипотеза;
3) проанализировать, обобщить и систематизировать полученные данные;
4) подобрать иллюстрации и оформить презентацию «Тайны паркетов»;
5) ознакомить с результатами проекта учащихся
7-9 классов на уроках геометрии.

покрытия пола. С XVI в. известен в России. Паркет изготавливают

преимущественно из твердых пород дерева, для художественного паркета используют ценные породы.
Паркет – это настил на полу из дощечек, уложенный так, что они образуют какой-нибудь рисунок (словарь С.И.Ожегова);
Паркет – это такое покрытие плоскости правильными многоугольниками, при котором два многоугольника имеют либо общую сторону, либо общую вершину или совсем не имеют общих точек («Энциклопедический словарь юного математика»);
Паркет - бесконечное семейство
многоугольников, покрывающее
плоскость без просветов и двойных
покрытий.

равных правильных многоугольников и вокруг каждой вершины правильные многоугольники расположены

одним и тем же способом.
Если при составлении паркета использовать несколько правильных многоугольников с различным числом сторон, то такой паркет называется полуправильным.

менее трех многоугольников. Действительно, при схождении в одной вершине семи

или более многоугольников хотя бы один угол в правильном многоугольнике должен быть менее 60°, что невозможно (минимальный угол — у треугольника — равен 60°). 
При схождении в одной вершине двух многоугольников у одного из них внутренний угол должен быть более 180°, что, очевидно, также невозможно. Таким образом, решение задачи распадается на анализ тех вариантов, когда в вершине паркета сходятся 3, 4, 5 и 6 правильных многоугольников.

и 1 квадрат
Двенадцатиуголь-
ник ,
квадрат и
шестиугольник
2 двенадцатиугольника и треугольник

и
2 квадрата
2 шестиугольника и 2 треугольника

3 треугольника
Шестиугольник и 4 треугольника
2 квадрата и три
треугольника

и построим симметричный ему относительно середины стороны АВ четырех-угольник(II). Четырехугольник

II отразим симметрично относительно середины его стороны ВС (III ). Отразим его симметрично относи-тельно середины стороны CD (IV). Четырехугольники I,II,III,IV примы-кают к общей вершине углами A,B,C,D, которые в сумме дают 360 градусов, поэтому четырехугольники заполнят плоскость вокруг общей вершины.

копиями произвольного многоугольника, необязательно выпуклого:

из многоугольников, а из криволинейных фигур

1951 году. В 1954 году в Амстердаме состоялась большая выставка

Эшера, приуроченная к Международному математическому конгрессу. Математики сразу признали художника «своим»; с этого времени его рисунки – неизменный атрибут физико-математических изданий.

Знаменитый
голландский
художник
Мариус Эшер
(1898-1972).

Регулярное разбиение плоскости, называемое «мозаикой», - это набор замкнутых фигур,

которыми можно замостить плоскость без пересечений фигур и щелей между ними. Эшер интересовался всеми видами мозаик, а также ввел собственный вид, который назвал «метаморфозами», где фигуры изменяются и взаимодействуют друг с другом.

«Летящие птицы»; «Ящерицы».

и выполняем преобразования: сжатие или растяжение, замена прямолинейных отрезков кривыми

с началом и концом в тех же точках, что и у отрезков... Пример: паркеты, полученные заменой отрезков "квадратной" сетки некоторыми кривыми или ломаными.
 

Примеры: паркеты, полученные в результате объединения элементов квадратной сетки.

новыми линиями. Получаем разбиение плоскости на фигуры, которые затем можно

по-новому объединить.

начинаем ее переносить, поворачивать, отражать... получившиеся кривые или ломаные размещаем

на плоскости таким образом, чтобы они образовали замкнутые контуры (которые в дальнейшем будут рассматриваться как элементы паркета).

зрения математики;
- узнать много нового и интересного об истории возникновения

паркетов;
- найти в литературе и в Интернете сведения о том, какие виды паркетов существуют;
провести собственное исследование вопроса о построении паркетов и убедиться в том, что паркетов из правильных многоугольников – конечное число, а именно 11, а также опровергнуть гипотезу о том, что паркеты можно составить только из правильных многоугольников;
подобрать иллюстрации и оформить с помощью руководителя и презентацию «Тайны паркетов»;
- ознакомить с результатами проекта учащихся 7-9 классов.

д. 30,
кв. 7.