Уравнение Шредингера

частицу. Для такой частицы имеются соотношения:




Сравнивая оба выражения для

E, находим

(8.1)

x, y, z:






и выразим отсюда ν, kx, ky, kz

(уравнение Шредингера в простейшей форме):

(8.2)
Для частицы, движущейся в потенциальном поле
кинетическая

энергия T=E-U, поэтому уравнение
(8.2) должно быть записано (обобщено) в виде:

(8.3)
Это и есть общее нестационарное (содержащее время) уравнение Шредингера (Schrödinger E., 1926 г.) для частицы в потенциальном поле U.

представ-
лена в виде

откуда
(8.4)

Подставляя (8.4) в (8.2) и (8.3), находим:

и

Это стационарное

(не зависящее явно от време-ни) уравнение Шредингера для свободной час-тицы и для частицы в потенциальном поле U.

(8.2)
для свободной частицы

Нестационарное для
частицы в потенциаль- (8.3)
ном поле U

Стационарное (8.5)
для свободной частицы

Стационарное для
частицы в потенциаль- (8.6)
ном поле U

было установлено уравнение Шредингера, но не как “вывод” этого урав-нения.

Как и все основные уравнения фи-зики (уравнения Ньютона, Максвелла и т.д.), уравнение Шредингера не “выводит-ся”, а устанавливается, являясь, по сущес-тву, обобщением опытных фактов. Спра-ведливость этого уравнения подтвержда-ется согласием результатов, получаемых с его помощью, с данными экспериментов.

координатам. Поэтому никаких реальных волн, распространяющихся в физической среде, оно

не описывает. Это еще один аргумент против гипотезы волнового пакета и подтверждение статистической интерпретации волновой функции:

решения, удовлетворяющие естественным услови-ям (конечности, однозначности, непре-рывности, нормировки) либо при

любых значениях E, либо лишь при некоторых дискретных значениях E.
Те значения E, при которых уравне-ние Шредингера имеет решение, называются собственными значе-ниями.

(если решения есть при любом E), или дискретным. Если дви-жение

частицы не ограничено в простран-стве, то ее энергетический спектр непре-рывен, в противном случае спектр дискре-тен. Функция Ψ(x,y,z), являющаяся реше-нием уравнения при данном значении E называется собственной функцией, со-ответствующей данному собственному значению E.