Prez14.ppt

волны попарно, как мы это делали для двумерного случая, получим

a, b, c – размеры трёхмерной плоскости.
Возможные значения волнового вектора

Каждому значению модуля волнового вектора соответствует одна стоячая волна. Для того, чтобы определить, сколько стоячих волн приходится на интервал значений волнового вектора от k до k + dk, нужно найти число точек в фазовом пространстве, попадающих внутрь тонкого сферического слоя толщиной dk.

волнового вектора от k до k + dk мы должны

Фазовый объём (объём в пространстве волновых векторов), приходящийся на одно состояние (одну стоячую волну)

где V – объём всей полости.

Число точек, попадающих внутрь некоторого объёма фазового пространства Ω

фазовом пространстве
Объём dΩ 1/8 части тонкого сферического слоя в

Число стоячих волн приходящихся на интервал значений волнового вектора от k до k + dk

Определим число стоячих волн приходящихся на интервал частот от ω до ω + dω и от ν до ν + dν.

до λ + dλ:

абсолютно чёрного тела, приходящееся на интервал частот от ω до

Энергия излучения в частотном интервале от ω до ω + dω

Вспомним определение спектральной плотности энергии электромагнитного излучения:

Итак, спектральная плотность энергии электромагнитного излучения в полости вокруг абсолютно чёрного тела

излучения в полости связана с излучательной способностью чёрного тела формулой
Теперь

Для того, чтобы удобнее было сравнивать полученный результат с законом Вина, излучательную способность чёрного тела выразим через длину волны.

Нагретое тело находится в термодинамическом равновесии с излучением, поэтому температуры тела и излучения равны.

При λ → ∞ излучательная способность убывает, что согласуется с законом Вина. Но при λ → 0 r (λ, T) → ∞, что закону Вина противоречит.

была названа «ультрафиолетовой катастрофой».
Теория Рэлея и Джинса основывалась:
1) на

длины волны Планку пришлось отказаться в теории Рэлея и Джинса

Постоянная Планка
h = 6,626122 ·10-34 Дж ·с

Уже на следующий день после доклада Планка 19 октября 1900 г. один из его коллег, физик Рубенс, подтвердил экспериментально справедливость формулы Планка.

Джинса, используется модель абсолютно чёрного тела.
2. Как и в теории

3. Как и в теории Рэлея и Джинса, считается, что число степеней свободы электромагнитного излучения в полости равно числу стоячих электромагнитных волн, возникающих в полости, умноженному на два.

4. В отличие от теории Рэлея и Джинса, считается, что электромагнитные волны излучаются исключительно порциями – квантами, энергия каждого кванта

5. В отличие от теории Рэлея и Джинса, считается, что вероятность обнаружить колебание с энергией E определяется распределением Больцмана

Это предположение заменило предположение Рэлея и Джинса о равном распределении энергии по степеням свободы.

Nn – число стоячих волн с энергией En.
N – полное число стоячих волн.

(Дж·с).

так:
Средняя энергия стоячих волн по Планку.
Энергия одной стоячей волны
Вероятность Pn

Введём обозначение:

Теперь

принимает непрерывный ряд значений (а не дискретный, как это происходит

Оказалось, производная равна правой части выражения для энергии с точностью до множителя. Поэтому перепишем выражение для средней энергии в виде:

Сумма под знаком логарифма представляет собой геометрическую прогрессию со знаменателем

равна
где b1 – первый член прогрессии.
Сумма данной бесконечно убывающей геометрической

Теперь формулу для средней энергии можно переписать так:

и знаменатель на e-x, получим:

при h → 0 переходит в классический закон равного распределения

При h → 0

полное число стоячих волн в полости, окружающей абсолютно чёрное тело,

Полное число степеней свободы электромагнитного излучения с частотами в интервале от ω до ω + dω в полости, окружающей абсолютно чёрное тело

Множитель «2» появляется из-за наличия колебаний векторов напряжённости электрического и магнитного полей.

Энергия электромагнитного излучения с частотами в интервале от ω до ω + dω в полости, окружающей абсолютно чёрное тело

ω + dω в полости, окружающей абсолютно чёрное тело
Плотность энергии

Плотность энергии электромагнитного излучения с частотами в интервале от ω до ω + dω в полости, окружающей абсолютно чёрное тело (она же спектральная плотность энергии излучения)

излучательная способность абсолютно чёрного тела связана со спектральной плотностью излучения

Две последние формулы для спектральной плотности излучения и излучательной способности абсолютно чёрного тела называются формулами Планка.

Для того, чтобы сравнить результаты Планка с экспериментальными данными Вина,

тела
Подставим в этот интеграл формулу Планка.
Обозначим
Тогда
Этот результат полностью согласуется с

постоянной h из условия равенства этого выражения экспериментальному значению постоянной

Выводы.

Объяснить закономерности теплового излучения можно лишь использовав два предположения:
электромагнитные волны испускаются порциями – квантами, причём энергия одного кванта равна E = hν;
при подсчёте плотности энергии излучения следует отказаться от закона равного распределения энергии по степеням свободы в пользу применения распределения Больцмана.

Остальные исходные предположения теории равновесного теплового излучения (модель абсолютно чёрного тела, модель равновесного теплового излучения) одинаковы как в классической теории Рэлея и Джинса, так и в квантовой теории излучения Планка.