АЛГЕБРА (3-й семестр)

являются рассмотрение вопросов:
Основная теорема алгебры
Неприводимость многочленов над полем комплексных чисел

(т.е. в кольце C[x])
Число корней произвольного многочлена с числовыми коэффициентами
Теорема Виета
Формулы для нахождения корней уравнений 2, 3 и 4 степени

u + v = x0 (9)

u v = – p / 3 (10)



Получаем формулу Кардано, выражающую корни уравнения (8) через его коэффициенты при помощи квадратных и кубических радикалов:



Т.к. кубический радикал имеет в поле С три значения, то формулы (14) дают три значения для u и три для v. Нельзя комбинировать любое значение u с любым значением v: для данного значения u следует брать лишь то из трех значений v, которое удовлетворяет условию (10).

(15)

(14)

u + v = x0 (9)

u v = – p / 3 (10)

Пусть u1 будет одно из трёх значений радикала u. Тогда два других u2 и u3 можно получить умножением соответственно на кубические корни из единицы:



Т.е. u2=u1e1 и u3=u1e2. Обозначим через v1 то значение радикала v, которое соответствует значению u1 радикала u по (10). Два других значения v, соответствующие u2 и u3 будут v2=v1e2, v3=v1e1.

В самом деле, ввиду e1e2=1 имеем: u2v2=u1e1v1e2=u1v1e1e2=u1v1=–p/3, аналогично u3v3=–p/3.

u + v = x0 (9)

u v = – p / 3 (10)
u2v2=–p/3, u2v2=–p/3, u3v3=–p/3.

Таким образом, все три корня уравнения (3) могут быть записаны следующим образом:
x1 = u1 + v1
x2 = u2 + v2 = u1e1 + v1e2
x3 = u3 + v3 = u1e2 + v1e1
Замечание. В случае, когда числа u1 и v1 являются действительными, подставляя в формулу (16) в выражения для x2 и x3 значения e1 и e2, получим явные формулы для нахождения x2 и x3 по известным u1 и v1:

(16)

(16´)

(7) x3 + px + q =

0 (8)



Пример 3. Решить уравнение z3 + 3z2 – 3z – 14 = 0.
◘ Подстановка (7) z = x – 1 приводит к виду (8):
x3 – 6x – 9 = 0 (здесь p = –6, q = –9).

По формулам (14):
По формуле (16´) находим корни уравнения x3–6x–9=0:



Отсюда (т.к. z=x–1): ◙

16 = 0.
◘ Здесь p = –12, q = 16.

По

формулам (14) находим:



По формулам (16´) находим корни уравнения:
x1 = –4, x2 = x3 = 2
◙

– 5 = 0.
◘ Подставив в него z=x+3, получим: x3–6x+4=0,

т.е. p=–6, q=4. По формулам (14) и (10) находим:


По формулам (16´) находим корни:

Отсюда:
◙

0 (8) u + v = x0

(9) u v = – p / 3 (10)



Напомним, что формула Кардано выражающая корни уравнения (8) через его коэффициенты при помощи квадратных и кубических радикалов имеет вид:




Понятно, что для выражения  =
Возможны три различных случая:

0, 2.  > 0, 3.  < 0.
1. Если

 = 0, то при p0 и q0 имеем

А так как получаем одно значение




И соответствующее значение

 =

(16), получаем

x1= u1 + v1 = 3q/p, x2= x3= -3q/2p.
Таким образом, уравнение (8) при  = 0, p0 и q0 имеет три действительных корня, причем два из них равны между собой.
2. Если  > 0, то все корни уравнения (8) должны быть различными. Выясним, сколько из них будет действительными.
В выражении под знаком кубического корня находится действительное число. Следовательно, одно из значений u должно быть действительным. Пусть это будет u1. Тогда v1 будет также действительным.

>0 уравнение (8) имеет только один действительный корень, x1=u1+v1, а

два остальные корня будут сопряженными чисто комплексными числами



3. Пусть <0. Этот случай известен под названием неприводимого. Он примечателен тем, что u и v являются мнимыми (так как приходится извлекать корень третьей степени из мнимых чисел), а все три корня уравнения (8) будут действительными (различными).

получаем
X1

= u1+v1 = 2|3r |cos/3,
X2 = u2+v2 = 2|3r |cos(+2)/3,
X3 = u3+v3 = 2|3r |cos(+4)/3,
Где cos=-q/2r, sin  = /r ,  - действительное число равное - и .

Итак, в случае <0 уравнение (8) имеет три действительных корня

формулы Кордано является то, что часто рациональные корни она представляет

в иррациональном виде. Например, нетрудно проверить, что число 2 является рациональным корнем уравнения x3 – x – 6 = 0. Так как для этого уравнения >0, то 2 является единственным действительным корнем уравнения x3 – x – 6 = 0.
Однако по формулам Кордано действительный корень выражается иррациональным числом

bx2 + cx + d = 0

(17)
с произвольными комплексными коэффициентами.
Его решение сводится к нахождению какого-нибудь корня некоторого вспомогательного кубичного уравнения.
Перепишем его в виде: x4 + ax3 = – bx2 – cx – d.

К обеим частям прибавим выражение:

Получим:

подбирается так, чтобы квадратный трёхчлен относительно x в правой части

уравнения (18) был полным квадратом, т.е. так, чтобы его дискриминант был равен 0.
Но тогда число y должно удовлетворить уравнению 3-й степени:


Полученное уравнение (19) называют кубической резольвентой уравнения (17) .

(18)

(19)

приводится к виду:
для некоторых чисел 

и .
Последнее уравнение
равносильно двум
квадратным уравнениям (20):
Решая (20), получим все четыре корня уравнения (17).

(19)

x4 + ax3 + bx2 + cx + d = 0

(17)

(20)

2x2 + 4x – 8 = 0.
◘ Приведём к виду

(18):

(21)

одним из корней последнего уравнения является число y0=2.
Подставляя это значения

в равенство (21) получим уравнение:
Оно равносильно совокупности двух квадратных уравнений:

Решая эти уравнения получим все корни данного уравнения: ◙