Аналитический сигнал

представляют в форме
Часто символ Re или Im опускают и пишут

просто

подразумевая действительную или мнимую часть этого выражения.

колебания.
(3.49)
(3.50)
Если задан физический сигнал в виде действительной функции

a(t), то соответствующий ему комплексный сигнал представляется в форме

где a1(t) – функция, сопряженная по Гильберту сигналу a(t).

Главная особенность определенного таким образом комплексного
сигнала заключается в том, что его спектральная плотность

содержит только положительные частоты.

и (3.44)
(3.51)

определяемый выражениями (3.49) и (3.50),
называется аналитическим сигналом.

этом случае можно показать, что



где
и
(3.53)
(3.54)
Пусть задан физический сигнал
Соответствующий

ему аналитический сигнал на основании (3.37)

сопряженный ему сигнал
равно квадрату огибающей
исходного (физического) сигнала a(t).

(3.55)

2. Спектральная плотность комплексной огибающей

совпадает со смещенной на ω0 влево спектральной плотностью

.

аналитического сигнала

(3.56)

(3.57)

Введя обозначение ω−ω0=Ω, запишем (3.56) с учётом (3.51) в виде

спектр физического колебания a(t) несимметричен относительно ω=ω0, как это может

иметь место, например, при амплитудно-угловой модуляции, то и спектр аналитического сигнала несимметричен. После сдвига спектра аналитического сигнала на величину ω0 влево спектр комплексной огибающей будет несимметричен относительно частоты ω0=0.

В любом случае спектр комплексной огибающей отличен от нуля в области отрицательных частот. Это означает, что комплексная огибающая не является аналитическим сигналом.

Корреляционные функции аналитического сигнала и
комплексной огибающей этого сигнала связаны

между собой
соотношением

(3.60)