Разделы презентаций


Презентация на тему Лекция 29. Поверхностные интегралы 1 и 2 рода, их свойства и вычисление. Связь

Поверхностные интегралы первого рода.§ 1. Задача, приводящая к понятиюповерхностного интеграла первого рода. Определение. Теорема существования. Свойства. Пусть в трехмерном пространстве XYZ задана некоторая поверхность S.

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1
Лекция 29. Поверхностные интегралы 1 и 2 рода, их свойства и вычисление. Связь между поверхностными интегралами 1
Текст слайда:

Лекция 29. Поверхностные интегралы 1 и 2 рода, их свойства и вычисление. Связь между поверхностными интегралами 1 и 2 рода.


Слайд 2
Поверхностные интегралы первого рода.§ 1. Задача, приводящая к понятиюповерхностного интеграла первого рода. Определение. Теорема существования. Свойства. Пусть
Текст слайда:

Поверхностные интегралы первого рода.

§ 1. Задача, приводящая к понятию
поверхностного интеграла первого рода. Определение. Теорема существования. Свойства.
Пусть в трехмерном пространстве XYZ задана некоторая поверхность S.


Слайд 3
На поверхности определена функция f (x,y,z) – поверхностной плотности заряда.Задача: найти заряд Q, который может находиться на
Текст слайда:

На поверхности определена функция f (x,y,z) – поверхностной плотности заряда.
Задача: найти заряд Q, который может находиться на поверхности S.
Для этого поверхность S разобьем на мелкие части S1, S2, …, Sn с площадями S1, S2, …, Sn и диаметрами разбиения d1, d2, …, dn. В каждом из кусочков Si возьмем точки P1, P2, …, Pn соответственно.
Найдем значение поверхностной плотности в этих точках: f (P1), f (P2), …, f (Pn).
Полный заряд, находящийся на поверхности



Слайд 4
Сам заряд – физическая величина и не зависит от способности от способа разбиения и выбора точек Pi
Текст слайда:

Сам заряд – физическая величина и не зависит от способности от способа разбиения и выбора точек Pi , а зависит от размеров поверхности и от функции плотности заряда. Поэтому вводят понятие поверхностного интеграла 1-го рода.
Определение (поверхностного интеграла 1-го рода). Число I такое, что для    0    0 такое, что из неравенства
независимо от способа разбиения поверхности S и выбора точек
называется поверхностным интегралом 1-го рода.





Слайд 5
При этом само число I обозначается:Поверхностный интеграл равен заряду на поверхности S.Теорема (существования). Если функция  f(x,y,z)
Текст слайда:

При этом само число I обозначается:


Поверхностный интеграл равен заряду на поверхности S.

Теорема (существования). Если функция f(x,y,z) непрерывна в каждой точке поверхности S, то существует

При этом говорят, что функция f (x,y,z) интегрируема.


Слайд 6
Свойства поверхностных интегралов 1-го рода.Будем считать, что интегралы стоящие в правых частях записанных ниже выражений существуют. Тогда
Текст слайда:

Свойства поверхностных интегралов 1-го рода.
Будем считать, что интегралы стоящие в правых частях записанных ниже выражений существуют. Тогда выполняются следующие свойства.
1. Однородность.

с = const.
2. Аддитивность относительно функции.


Слайд 7
3. Аддитивность относительно поверхностей.4. Если функция f (x,y,z)  0 и интегрируема на поверхности S, то:5. Если
Текст слайда:

3. Аддитивность относительно поверхностей.



4. Если функция f (x,y,z)  0 и интегрируема на поверхности S, то:

5. Если функция f (x,y,z)  1, то
= Sповерхности


Слайд 8
6. Теорема о среднем. Если f (x,y,z) непрерывна на поверхности S, то существует такая точка
Текст слайда:

6. Теорема о среднем. Если f (x,y,z) непрерывна на поверхности S, то существует такая точка , что:
поверхности

§ 2. Вычисление поверхностного интеграла первого рода.
Теорема (о вычисление криволинейного интеграла первого рода). Пусть f (x,y,z) непрерывна на поверхности S, которая:
1. Задана уравнением z = z(x,y) и однозначно проектируется в D  XOY.


Слайд 9
2. Имеет непрерывные частные производные        в области D. Тогда:Доказательство.Самостоятельно.
Текст слайда:

2. Имеет непрерывные частные производные
в области D. Тогда:





Доказательство.
Самостоятельно.


Слайд 10
Замечание. В том случае, когда S однозначно проектируется в область D на плоскости XOZ и может быть
Текст слайда:

Замечание. В том случае, когда S однозначно проектируется в область D на плоскости XOZ и может быть выражена уравнением y = y(x,z). Формула для вычисления интеграла имеет вид:


Слайд 11
Если S однозначно проектируется в область D на плоскости YOZ и может быть выражена уравнением x =
Текст слайда:

Если S однозначно проектируется в область D на плоскости YOZ и может быть выражена уравнением x = x(y,z). Формула для вычисления интеграла имеет вид:





Вычисление поверхностных интегралов 1-го рода сводится к вычислению двойных интегралов по области D в которую проектируется поверхность S.


Слайд 12
§ 3. Применение поверхностных интегралов первого рода.1. Для вычисления площади поверхности
Текст слайда:

§ 3. Применение поверхностных интегралов первого рода.
1. Для вычисления площади поверхности
= Sповерхности

2. Масса поверхности
m = , где: (x,y,z) –
поверхностная плотность массы
3. Заряд на поверхности
Q = , где: q(x,y,z) –
поверхностная плотность заряда


Слайд 13
4. Момент инерции поверхности относительно оси l.      Jl = где: (x,y,z) –
Текст слайда:

4. Момент инерции поверхности относительно оси l.
Jl =
где: (x,y,z) – поверхностная плотность массы,
r(x,y,z) – расстояние от оси l.
5. Координаты центра тяжести поверхности.




где: m – масса поверхности.


Слайд 14
§ 4. Ориентация поверхности.Ориентируемые поверхности.Пусть в декартовой системе координат задана ограниченная поверхность S, такая что:1) В каждой
Текст слайда:

§ 4. Ориентация поверхности.
Ориентируемые поверхности.
Пусть в декартовой системе координат задана ограниченная поверхность S, такая что:
1) В каждой точке её существует касательная плоскость.
2) Она может быть задана функцией z = z(x,y).

3) Частные производные непрерывны.

Поверхности, обладающие свойством (3) называются гладкими поверхностями.


Слайд 15
В силу задания поверхности каждой точкойPi  S, уравнение касательной плоскости имеет вид:Нормаль к касательной плоскости является
Текст слайда:

В силу задания поверхности каждой точкой
Pi  S, уравнение касательной плоскости имеет вид:

Нормаль к касательной плоскости является и нормалью к поверхности S в точке Pi. При этом единичная нормаль к поверхности может быть записана:


Определение (ориентируемой поверхности). Поверхность S, удовлетворяющая вышеуказанным свойствам, называется


Слайд 16
ориентируемой, если обход по произвольному замкнутому контуру, лежащему на поверхности не меняет направление нормали.При этом нормаль называют
Текст слайда:

ориентируемой, если обход по произвольному замкнутому контуру, лежащему на поверхности не меняет направление нормали.
При этом нормаль называют ориентацией поверхности.


- поверхность
ориентируемая




Слайд 17
Ориентируемые поверхности называются двусторонними поверхностями.Нормалями к поверхности являются нормали, находящиеся по формуле:Знак «+» отвечает одной ориентации,«-» противоположной
Текст слайда:

Ориентируемые поверхности называются двусторонними поверхностями.
Нормалями к поверхности являются нормали, находящиеся по формуле:



Знак «+» отвечает одной ориентации,
«-» противоположной ориентации.
Замечая, что
легко видеть, что:


Слайд 18
где: , ,  - углы, которые составляет вектор нормали с осями координат x, y, z.cos, cos,
Текст слайда:

где: , ,  - углы, которые составляет вектор нормали с осями координат x, y, z.
cos, cos, cos - направляющие косинусы нормали.


Слайд 19
Неориентируемые поверхности являются односторонними, например лист Мёбиуса.Эта поверхность не является ориентированной.Такого типа поверхности рассматривать не будем.
Текст слайда:

Неориентируемые поверхности являются односторонними, например лист Мёбиуса.
Эта поверхность не является ориентированной.
Такого типа поверхности рассматривать не будем.


Слайд 20
Лист Мёбиуса (ле́нта Мёбиуса, петля́ Мёбиуса) — топологический объект, простейшая неориентируемая поверхность с краем, односторонняя при вложении
Текст слайда:

Лист Мёбиуса (ле́нта Мёбиуса, петля́ Мёбиуса) — топологический объект, простейшая неориентируемая поверхность с краем, односторонняя при вложении в обычное трёхмерное Евклидово пространство . Попасть из одной точки этой поверхности в любую другую можно, не пересекая края.

Лента Мёбиуса была открыта независимо немецкими математиками Августом Фердинандом Мёбиусом и Иоганном Бенедиктом Листингом в 1858 году. Модель ленты Мёбиуса может легко быть сделана: для этого надо взять достаточно вытянутую бумажную полоску и соединить концы полоски, предварительно перевернув один из них. В Евклидовом пространстве существуют два типа полос Мёбиуса в зависимости от направления закручивания: правые и левые (топологически они, однако, неразличимы).
Уравнения
где и . Эти формулы задают ленту Мёбиуса ширины 1, чей центральный круг имеет радиус 1, лежит в плоскости x - y с центром в (0,0,0). Параметр u пробегает вдоль ленты, в то время как v задает расстояние от края.
В цилиндрических координатах , неограниченная версия листа Мёбиуса может быть представлена уравнением:

где функция логарифма имеет произвольное основание.


Слайд 21
Бутылка Клейна — неориентируемая (односторонняя) поверхность, впервые описанная в 1882 г. немецким математиком Ф. Клейном. Она тесно
Текст слайда:

Бутылка Клейна — неориентируемая (односторонняя) поверхность, впервые описанная в 1882 г. немецким математиком Ф. Клейном. Она тесно связана с лентой Мёбиуса и проективной плоскостью. Название, по-видимому, происходит от неправильного перевода немецкого слова Fläche (поверхность), которое в немецком языке близко по написанию к слову Flasche (бутылка); затем это название вернулось в таком виде в немецкий.

Чтобы построить модель бутылки Клейна, понадобится бутылка с двумя дополнительными отверстиями: в донышке и в стенке. Горлышко бутылки нужно вытянуть, изогнуть вниз, и продев его через отверстие в стенке, присоединить к отверстию на дне бутылки. Для настоящей бутылки Клейна в четырёхмерном пространстве отверстие в стенке не нужно, но без него нельзя обойтись в трёхмерном евклидовом пространстве.


В отличие от обыкновенного стакана, у этого объекта нет «края», где бы поверхность резко заканчивалась. В отличие от воздушного шара можно пройти путь изнутри наружу не пересекая поверхность (то есть на самом деле у этого объекта нет «внутри» и нет «снаружи»).


Слайд 23
Поверхностные интегралы второго рода.§ 5. Определение поверхностного интеграла второго рода. Пусть в трехмерном пространстве в декартовой системе
Текст слайда:

Поверхностные интегралы второго рода.

§ 5. Определение поверхностного интеграла второго рода.
Пусть в трехмерном пространстве в декартовой системе координат XYZ


Слайд 24
задана поверхность S, обладающая свойствами:ограниченная, гладкая, ориентируемаяоднозначно проектируется в область D на плоскости XOY.имеющая уравнение: z =
Текст слайда:

задана поверхность S, обладающая свойствами:
ограниченная, гладкая, ориентируемая
однозначно проектируется в область D на плоскости XOY.
имеющая уравнение: z = z(x,y).
В силу ориентируемости поверхности S, каждой стороне поверхности можно поставить нормаль



Сторону поверхности, отвечающую нормали n+ обозначают S+, n-  S-.


Слайд 25
Заметим, что нормали n+ и n- составляют с осью z острые и тупые углы соответственно.Направление нормали n
Текст слайда:

Заметим, что нормали n+ и n- составляют с осью z острые и тупые углы соответственно.
Направление нормали n согласовано с положительным обходом края поверхности S и её проекции D по правилу буравчика.
Определение (поверхностных интегралов второго рода). Символы


называются поверхностными интегралами второго рода и задаются формулами:


Слайд 26
где:    и -    - углы между направлением нормали
Текст слайда:




где: и - - углы между направлением нормали и единичным вектором , нормали
- и единичным вектором .
Таким образом, поверхностные интегралы второго рода определяются через поверхностные интегралы первого рода с учетом ориентации поверхности. Учет ориентации поверхности производится направляющими косинусами нормали.


Слайд 27
Если поверхность однозначно проектируется на плоскость XOZ или YOZ и удовлетворяет перечисленным свойствам, можно ввести следующие поверхностные
Текст слайда:

Если поверхность однозначно проектируется на плоскость XOZ или YOZ и удовлетворяет перечисленным свойствам, можно ввести следующие поверхностные интегралы второго рода:

XOZ:

YOZ:

Если поверхность однозначно проектируется на все три плоскости, то имеет место обобщенный интеграл второго рода.


Слайд 28
В силу определения поверхностных интегралов для каждой координатной поверхности можно получить, что обобщенный интеграл связан с поверхностным
Текст слайда:

В силу определения поверхностных интегралов для каждой координатной поверхности можно получить, что обобщенный интеграл связан с поверхностным интегралом первого рода формулой:







Слайд 29
где: P, Q, R – функции, непрерывные на поверхности S. § 6. Свойства поверхностных интегралов второго рода.Свойства
Текст слайда:

где: P, Q, R – функции, непрерывные на поверхности S.
§ 6. Свойства поверхностных интегралов второго рода.
Свойства такие же, как и у поверхностных интегралов первого рода. Кроме того, они обладают специфическими свойствами:
1. Пусть функция f (x,y,z) и поверхность S таковы, что поверхностный интеграл второго рода существует. Тогда:



Слайд 30
2. Если поверхность S такова, что её образующая параллельна оси z, то:§ 7. Вычисление поверхностных интегралов второго
Текст слайда:

2. Если поверхность S такова, что её образующая параллельна оси z, то:


§ 7. Вычисление поверхностных интегралов второго рода.
Пусть поверхность S удовлетворяет сформулированным выше свойствам:
ограниченная, гладкая, ориентируемая
однозначно проектируется в область D на плоскости XOY.
имеющая уравнение: z = z(x,y).


Слайд 31
Считаем, что на S определена непрерывная функция f (x,y,z). Тогда поверхностный интеграл второго рода вычисляется так:Знак «+»
Текст слайда:

Считаем, что на S определена непрерывная функция f (x,y,z). Тогда поверхностный интеграл второго рода вычисляется так:


Знак «+» берется, если S – положительно ориентированная поверхность (нормаль составляет острый угол с осью z).
Знак «-» берется, если S – отрицательно ориентированная поверхность (нормаль составляет тупой угол с осью z).
Доказательство.
Самостоятельно.


Слайд 32
Аналогично формулы могут быть записаны для поверхностных интегралов 2-го рода для координатных плоскостей YOZ и XOZ.
Текст слайда:

Аналогично формулы могут быть записаны для поверхностных интегралов 2-го рода для координатных плоскостей YOZ и XOZ.


Обратная связь

Если не удалось найти и скачать доклад-презентацию, Вы можете заказать его на нашем сайте. Мы постараемся найти нужный Вам материал и отправим по электронной почте. Не стесняйтесь обращаться к нам, если у вас возникли вопросы или пожелания:

Email: Нажмите что бы посмотреть 

Что такое TheSlide.ru?

Это сайт презентации, докладов, проектов в PowerPoint. Здесь удобно  хранить и делиться своими презентациями с другими пользователями.


Для правообладателей

Яндекс.Метрика