Разделы презентаций


Лекция 29. Поверхностные интегралы 1 и 2 рода, их свойства и вычисление. Связь презентация, доклад

Содержание

Поверхностные интегралы первого рода.§ 1. Задача, приводящая к понятиюповерхностного интеграла первого рода. Определение. Теорема существования. Свойства. Пусть в трехмерном пространстве XYZ задана некоторая поверхность S.

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1Лекция 29. Поверхностные интегралы 1 и 2 рода, их свойства

и вычисление. Связь между поверхностными интегралами 1 и 2 рода.


Лекция 29. Поверхностные интегралы 1 и 2 рода, их свойства и вычисление. Связь между поверхностными интегралами 1

Слайд 2Поверхностные интегралы первого рода.
§ 1. Задача, приводящая к понятию
поверхностного интеграла

первого рода. Определение. Теорема существования. Свойства.
Пусть в трехмерном пространстве

XYZ задана некоторая поверхность S.
Поверхностные интегралы первого рода.§ 1. Задача, приводящая к понятиюповерхностного интеграла первого рода. Определение. Теорема существования. Свойства. Пусть

Слайд 3На поверхности определена функция f (x,y,z) – поверхностной плотности заряда.
Задача:

найти заряд Q, который может находиться на поверхности S.
Для этого

поверхность S разобьем на мелкие части S1, S2, …, Sn с площадями S1, S2, …, Sn и диаметрами разбиения d1, d2, …, dn. В каждом из кусочков Si возьмем точки P1, P2, …, Pn соответственно.
Найдем значение поверхностной плотности в этих точках: f (P1), f (P2), …, f (Pn).
Полный заряд, находящийся на поверхности


На поверхности определена функция f (x,y,z) – поверхностной плотности заряда.Задача: найти заряд Q, который может находиться на

Слайд 4Сам заряд – физическая величина и не зависит от способности

от способа разбиения и выбора точек Pi , а зависит

от размеров поверхности и от функции плотности заряда. Поэтому вводят понятие поверхностного интеграла 1-го рода.
Определение (поверхностного интеграла 1-го рода). Число I такое, что для    0    0 такое, что из неравенства
независимо от способа разбиения поверхности S и выбора точек
называется поверхностным интегралом 1-го рода.




Сам заряд – физическая величина и не зависит от способности от способа разбиения и выбора точек Pi

Слайд 5При этом само число I обозначается:


Поверхностный интеграл равен заряду на

поверхности S.

Теорема (существования). Если функция f(x,y,z) непрерывна в каждой

точке поверхности S, то существует

При этом говорят, что функция f (x,y,z) интегрируема.
При этом само число I обозначается:Поверхностный интеграл равен заряду на поверхности S.Теорема (существования). Если функция  f(x,y,z)

Слайд 6Свойства поверхностных интегралов 1-го рода.
Будем считать, что интегралы стоящие в

правых частях записанных ниже выражений существуют. Тогда выполняются следующие свойства.
1.

Однородность.

с = const.
2. Аддитивность относительно функции.

Свойства поверхностных интегралов 1-го рода.Будем считать, что интегралы стоящие в правых частях записанных ниже выражений существуют. Тогда

Слайд 73. Аддитивность относительно поверхностей.



4. Если функция f (x,y,z)  0

и интегрируема на поверхности S, то:

5. Если функция f (x,y,z)

 1, то
= Sповерхности

3. Аддитивность относительно поверхностей.4. Если функция f (x,y,z)  0 и интегрируема на поверхности S, то:5. Если

Слайд 86. Теорема о среднем. Если f (x,y,z) непрерывна на поверхности

S, то существует такая точка

, что:
поверхности

§ 2. Вычисление поверхностного интеграла первого рода.
Теорема (о вычисление криволинейного интеграла первого рода). Пусть f (x,y,z) непрерывна на поверхности S, которая:
1. Задана уравнением z = z(x,y) и однозначно проектируется в D  XOY.
6. Теорема о среднем. Если f (x,y,z) непрерывна на поверхности S, то существует такая точка

Слайд 92. Имеет непрерывные частные производные

в области D. Тогда:





Доказательство.
Самостоятельно.

2. Имеет непрерывные частные производные        в области D. Тогда:Доказательство.Самостоятельно.

Слайд 10Замечание. В том случае, когда S однозначно проектируется в область

D на плоскости XOZ и может быть выражена уравнением y

= y(x,z). Формула для вычисления интеграла имеет вид:
Замечание. В том случае, когда S однозначно проектируется в область D на плоскости XOZ и может быть

Слайд 11Если S однозначно проектируется в область D на плоскости YOZ

и может быть выражена уравнением x = x(y,z). Формула для

вычисления интеграла имеет вид:





Вычисление поверхностных интегралов 1-го рода сводится к вычислению двойных интегралов по области D в которую проектируется поверхность S.
Если S однозначно проектируется в область D на плоскости YOZ и может быть выражена уравнением x =

Слайд 12§ 3. Применение поверхностных интегралов первого рода.
1. Для вычисления площади

поверхности

= Sповерхности

2. Масса поверхности
m = , где: (x,y,z) –
поверхностная плотность массы
3. Заряд на поверхности
Q = , где: q(x,y,z) –
поверхностная плотность заряда

§ 3. Применение поверхностных интегралов первого рода.1. Для вычисления площади поверхности

Слайд 134. Момент инерции поверхности относительно оси l.

Jl =
где: (x,y,z) – поверхностная плотность массы,
r(x,y,z)

– расстояние от оси l.
5. Координаты центра тяжести поверхности.




где: m – масса поверхности.
4. Момент инерции поверхности относительно оси l.      Jl = где: (x,y,z) –

Слайд 14§ 4. Ориентация поверхности.
Ориентируемые поверхности.
Пусть в декартовой системе координат задана

ограниченная поверхность S, такая что:
1) В каждой точке её существует

касательная плоскость.
2) Она может быть задана функцией z = z(x,y).

3) Частные производные непрерывны.

Поверхности, обладающие свойством (3) называются гладкими поверхностями.
§ 4. Ориентация поверхности.Ориентируемые поверхности.Пусть в декартовой системе координат задана ограниченная поверхность S, такая что:1) В каждой

Слайд 15В силу задания поверхности каждой точкой
Pi  S, уравнение касательной

плоскости имеет вид:

Нормаль к касательной плоскости является и нормалью к

поверхности S в точке Pi. При этом единичная нормаль к поверхности может быть записана:


Определение (ориентируемой поверхности). Поверхность S, удовлетворяющая вышеуказанным свойствам, называется
В силу задания поверхности каждой точкойPi  S, уравнение касательной плоскости имеет вид:Нормаль к касательной плоскости является

Слайд 16ориентируемой, если обход по произвольному замкнутому контуру, лежащему на поверхности

не меняет направление нормали.
При этом нормаль называют ориентацией поверхности.


- поверхность
ориентируемая



ориентируемой, если обход по произвольному замкнутому контуру, лежащему на поверхности не меняет направление нормали.При этом нормаль называют

Слайд 17Ориентируемые поверхности называются двусторонними поверхностями.
Нормалями к поверхности являются нормали, находящиеся

по формуле:



Знак «+» отвечает одной ориентации,
«-» противоположной ориентации.
Замечая, что
легко

видеть, что:

Ориентируемые поверхности называются двусторонними поверхностями.Нормалями к поверхности являются нормали, находящиеся по формуле:Знак «+» отвечает одной ориентации,«-» противоположной

Слайд 18где: , ,  - углы, которые составляет вектор нормали

с осями координат x, y, z.
cos, cos, cos - направляющие

косинусы нормали.
где: , ,  - углы, которые составляет вектор нормали с осями координат x, y, z.cos, cos,

Слайд 19Неориентируемые поверхности являются односторонними, например лист Мёбиуса.
Эта поверхность не является

ориентированной.
Такого типа поверхности рассматривать не будем.

Неориентируемые поверхности являются односторонними, например лист Мёбиуса.Эта поверхность не является ориентированной.Такого типа поверхности рассматривать не будем.

Слайд 20Лист Мёбиуса (ле́нта Мёбиуса, петля́ Мёбиуса) — топологический объект, простейшая

неориентируемая поверхность с краем, односторонняя при вложении в обычное трёхмерное

Евклидово пространство . Попасть из одной точки этой поверхности в любую другую можно, не пересекая края.

Лента Мёбиуса была открыта независимо немецкими математиками Августом Фердинандом Мёбиусом и Иоганном Бенедиктом Листингом в 1858 году. Модель ленты Мёбиуса может легко быть сделана: для этого надо взять достаточно вытянутую бумажную полоску и соединить концы полоски, предварительно перевернув один из них. В Евклидовом пространстве существуют два типа полос Мёбиуса в зависимости от направления закручивания: правые и левые (топологически они, однако, неразличимы).
Уравнения
где и . Эти формулы задают ленту Мёбиуса ширины 1, чей центральный круг имеет радиус 1, лежит в плоскости x - y с центром в (0,0,0). Параметр u пробегает вдоль ленты, в то время как v задает расстояние от края.
В цилиндрических координатах , неограниченная версия листа Мёбиуса может быть представлена уравнением:

где функция логарифма имеет произвольное основание.
Лист Мёбиуса (ле́нта Мёбиуса, петля́ Мёбиуса) — топологический объект, простейшая неориентируемая поверхность с краем, односторонняя при вложении

Слайд 21Бутылка Клейна — неориентируемая (односторонняя) поверхность, впервые описанная в 1882

г. немецким математиком Ф. Клейном. Она тесно связана с лентой

Мёбиуса и проективной плоскостью. Название, по-видимому, происходит от неправильного перевода немецкого слова Fläche (поверхность), которое в немецком языке близко по написанию к слову Flasche (бутылка); затем это название вернулось в таком виде в немецкий.

Чтобы построить модель бутылки Клейна, понадобится бутылка с двумя дополнительными отверстиями: в донышке и в стенке. Горлышко бутылки нужно вытянуть, изогнуть вниз, и продев его через отверстие в стенке, присоединить к отверстию на дне бутылки. Для настоящей бутылки Клейна в четырёхмерном пространстве отверстие в стенке не нужно, но без него нельзя обойтись в трёхмерном евклидовом пространстве.


В отличие от обыкновенного стакана, у этого объекта нет «края», где бы поверхность резко заканчивалась. В отличие от воздушного шара можно пройти путь изнутри наружу не пересекая поверхность (то есть на самом деле у этого объекта нет «внутри» и нет «снаружи»).
Бутылка Клейна — неориентируемая (односторонняя) поверхность, впервые описанная в 1882 г. немецким математиком Ф. Клейном. Она тесно

Слайд 23Поверхностные интегралы второго рода.
§ 5. Определение поверхностного интеграла второго рода.


Пусть в трехмерном пространстве в декартовой системе координат XYZ

Поверхностные интегралы второго рода.§ 5. Определение поверхностного интеграла второго рода. Пусть в трехмерном пространстве в декартовой системе

Слайд 24задана поверхность S, обладающая свойствами:
ограниченная, гладкая, ориентируемая
однозначно проектируется в область

D на плоскости XOY.
имеющая уравнение: z = z(x,y).
В силу ориентируемости

поверхности S, каждой стороне поверхности можно поставить нормаль



Сторону поверхности, отвечающую нормали n+ обозначают S+, n-  S-.
задана поверхность S, обладающая свойствами:ограниченная, гладкая, ориентируемаяоднозначно проектируется в область D на плоскости XOY.имеющая уравнение: z =

Слайд 25Заметим, что нормали n+ и n- составляют с осью z

острые и тупые углы соответственно.
Направление нормали n согласовано с положительным

обходом края поверхности S и её проекции D по правилу буравчика.
Определение (поверхностных интегралов второго рода). Символы


называются поверхностными интегралами второго рода и задаются формулами:
Заметим, что нормали n+ и n- составляют с осью z острые и тупые углы соответственно.Направление нормали n

Слайд 26


где: и -

- углы между направлением нормали и единичным вектором

, нормали
- и единичным вектором .
Таким образом, поверхностные интегралы второго рода определяются через поверхностные интегралы первого рода с учетом ориентации поверхности. Учет ориентации поверхности производится направляющими косинусами нормали.
где:    и -    - углы между направлением нормали

Слайд 27Если поверхность однозначно проектируется на плоскость XOZ или YOZ и

удовлетворяет перечисленным свойствам, можно ввести следующие поверхностные интегралы второго рода:

XOZ:

YOZ:

Если

поверхность однозначно проектируется на все три плоскости, то имеет место обобщенный интеграл второго рода.
Если поверхность однозначно проектируется на плоскость XOZ или YOZ и удовлетворяет перечисленным свойствам, можно ввести следующие поверхностные

Слайд 28В силу определения поверхностных интегралов для каждой координатной поверхности можно

получить, что обобщенный интеграл связан с поверхностным интегралом первого рода

формулой:






В силу определения поверхностных интегралов для каждой координатной поверхности можно получить, что обобщенный интеграл связан с поверхностным

Слайд 29где: P, Q, R – функции, непрерывные на поверхности S.


§ 6. Свойства поверхностных интегралов второго рода.
Свойства такие же, как

и у поверхностных интегралов первого рода. Кроме того, они обладают специфическими свойствами:
1. Пусть функция f (x,y,z) и поверхность S таковы, что поверхностный интеграл второго рода существует. Тогда:


где: P, Q, R – функции, непрерывные на поверхности S. § 6. Свойства поверхностных интегралов второго рода.Свойства

Слайд 302. Если поверхность S такова, что её образующая параллельна оси

z, то:


§ 7. Вычисление поверхностных интегралов второго рода.
Пусть поверхность S

удовлетворяет сформулированным выше свойствам:
ограниченная, гладкая, ориентируемая
однозначно проектируется в область D на плоскости XOY.
имеющая уравнение: z = z(x,y).
2. Если поверхность S такова, что её образующая параллельна оси z, то:§ 7. Вычисление поверхностных интегралов второго

Слайд 31Считаем, что на S определена непрерывная функция f (x,y,z). Тогда

поверхностный интеграл второго рода вычисляется так:


Знак «+» берется, если S

– положительно ориентированная поверхность (нормаль составляет острый угол с осью z).
Знак «-» берется, если S – отрицательно ориентированная поверхность (нормаль составляет тупой угол с осью z).
Доказательство.
Самостоятельно.
Считаем, что на S определена непрерывная функция f (x,y,z). Тогда поверхностный интеграл второго рода вычисляется так:Знак «+»

Слайд 32Аналогично формулы могут быть записаны для поверхностных интегралов 2-го рода

для координатных плоскостей YOZ и XOZ.

Аналогично формулы могут быть записаны для поверхностных интегралов 2-го рода для координатных плоскостей YOZ и XOZ.

Обратная связь

Если не удалось найти и скачать доклад-презентацию, Вы можете заказать его на нашем сайте. Мы постараемся найти нужный Вам материал и отправим по электронной почте. Не стесняйтесь обращаться к нам, если у вас возникли вопросы или пожелания:

Email: Нажмите что бы посмотреть 

Что такое TheSlide.ru?

Это сайт презентации, докладов, проектов в PowerPoint. Здесь удобно  хранить и делиться своими презентациями с другими пользователями.


Для правообладателей

Яндекс.Метрика