Лекция 29. Поверхностные интегралы 1 и 2 рода, их свойства и вычисление. Связь

и вычисление. Связь между поверхностными интегралами 1 и 2 рода.

первого рода. Определение. Теорема существования. Свойства.
Пусть в трехмерном пространстве

XYZ задана некоторая поверхность S.

найти заряд Q, который может находиться на поверхности S.
Для этого

поверхность S разобьем на мелкие части S1, S2, …, Sn с площадями S1, S2, …, Sn и диаметрами разбиения d1, d2, …, dn. В каждом из кусочков Si возьмем точки P1, P2, …, Pn соответственно.
Найдем значение поверхностной плотности в этих точках: f (P1), f (P2), …, f (Pn).
Полный заряд, находящийся на поверхности

от способа разбиения и выбора точек Pi , а зависит

от размеров поверхности и от функции плотности заряда. Поэтому вводят понятие поверхностного интеграла 1-го рода.
Определение (поверхностного интеграла 1-го рода). Число I такое, что для    0    0 такое, что из неравенства
независимо от способа разбиения поверхности S и выбора точек
называется поверхностным интегралом 1-го рода.

поверхности S.

Теорема (существования). Если функция f(x,y,z) непрерывна в каждой

точке поверхности S, то существует

При этом говорят, что функция f (x,y,z) интегрируема.

правых частях записанных ниже выражений существуют. Тогда выполняются следующие свойства.
1.

Однородность.

с = const.
2. Аддитивность относительно функции.

и интегрируема на поверхности S, то:

5. Если функция f (x,y,z)

 1, то
= Sповерхности

S, то существует такая точка

, что:
поверхности

§ 2. Вычисление поверхностного интеграла первого рода.
Теорема (о вычисление криволинейного интеграла первого рода). Пусть f (x,y,z) непрерывна на поверхности S, которая:
1. Задана уравнением z = z(x,y) и однозначно проектируется в D  XOY.

в области D. Тогда:





Доказательство.
Самостоятельно.

D на плоскости XOZ и может быть выражена уравнением y

= y(x,z). Формула для вычисления интеграла имеет вид:

и может быть выражена уравнением x = x(y,z). Формула для

вычисления интеграла имеет вид:





Вычисление поверхностных интегралов 1-го рода сводится к вычислению двойных интегралов по области D в которую проектируется поверхность S.

поверхности

= Sповерхности

2. Масса поверхности
m = , где: (x,y,z) –
поверхностная плотность массы
3. Заряд на поверхности
Q = , где: q(x,y,z) –
поверхностная плотность заряда

Jl =
где: (x,y,z) – поверхностная плотность массы,
r(x,y,z)

– расстояние от оси l.
5. Координаты центра тяжести поверхности.




где: m – масса поверхности.

ограниченная поверхность S, такая что:
1) В каждой точке её существует

касательная плоскость.
2) Она может быть задана функцией z = z(x,y).

3) Частные производные непрерывны.

Поверхности, обладающие свойством (3) называются гладкими поверхностями.

плоскости имеет вид:

Нормаль к касательной плоскости является и нормалью к

поверхности S в точке Pi. При этом единичная нормаль к поверхности может быть записана:


Определение (ориентируемой поверхности). Поверхность S, удовлетворяющая вышеуказанным свойствам, называется

не меняет направление нормали.
При этом нормаль называют ориентацией поверхности.

- поверхность
ориентируемая

по формуле:



Знак «+» отвечает одной ориентации,
«-» противоположной ориентации.
Замечая, что
легко

видеть, что:

с осями координат x, y, z.
cos, cos, cos - направляющие

косинусы нормали.

ориентированной.
Такого типа поверхности рассматривать не будем.

неориентируемая поверхность с краем, односторонняя при вложении в обычное трёхмерное

Евклидово пространство . Попасть из одной точки этой поверхности в любую другую можно, не пересекая края.

Лента Мёбиуса была открыта независимо немецкими математиками Августом Фердинандом Мёбиусом и Иоганном Бенедиктом Листингом в 1858 году. Модель ленты Мёбиуса может легко быть сделана: для этого надо взять достаточно вытянутую бумажную полоску и соединить концы полоски, предварительно перевернув один из них. В Евклидовом пространстве существуют два типа полос Мёбиуса в зависимости от направления закручивания: правые и левые (топологически они, однако, неразличимы).
Уравнения
где и . Эти формулы задают ленту Мёбиуса ширины 1, чей центральный круг имеет радиус 1, лежит в плоскости x - y с центром в (0,0,0). Параметр u пробегает вдоль ленты, в то время как v задает расстояние от края.
В цилиндрических координатах , неограниченная версия листа Мёбиуса может быть представлена уравнением:

где функция логарифма имеет произвольное основание.

г. немецким математиком Ф. Клейном. Она тесно связана с лентой

Мёбиуса и проективной плоскостью. Название, по-видимому, происходит от неправильного перевода немецкого слова Fläche (поверхность), которое в немецком языке близко по написанию к слову Flasche (бутылка); затем это название вернулось в таком виде в немецкий.

Чтобы построить модель бутылки Клейна, понадобится бутылка с двумя дополнительными отверстиями: в донышке и в стенке. Горлышко бутылки нужно вытянуть, изогнуть вниз, и продев его через отверстие в стенке, присоединить к отверстию на дне бутылки. Для настоящей бутылки Клейна в четырёхмерном пространстве отверстие в стенке не нужно, но без него нельзя обойтись в трёхмерном евклидовом пространстве.


В отличие от обыкновенного стакана, у этого объекта нет «края», где бы поверхность резко заканчивалась. В отличие от воздушного шара можно пройти путь изнутри наружу не пересекая поверхность (то есть на самом деле у этого объекта нет «внутри» и нет «снаружи»).

Пусть в трехмерном пространстве в декартовой системе координат XYZ

D на плоскости XOY.
имеющая уравнение: z = z(x,y).
В силу ориентируемости

поверхности S, каждой стороне поверхности можно поставить нормаль



Сторону поверхности, отвечающую нормали n+ обозначают S+, n-  S-.

острые и тупые углы соответственно.
Направление нормали n согласовано с положительным

обходом края поверхности S и её проекции D по правилу буравчика.
Определение (поверхностных интегралов второго рода). Символы


называются поверхностными интегралами второго рода и задаются формулами:

- углы между направлением нормали и единичным вектором

, нормали
- и единичным вектором .
Таким образом, поверхностные интегралы второго рода определяются через поверхностные интегралы первого рода с учетом ориентации поверхности. Учет ориентации поверхности производится направляющими косинусами нормали.

удовлетворяет перечисленным свойствам, можно ввести следующие поверхностные интегралы второго рода:

XOZ:

YOZ:

Если

поверхность однозначно проектируется на все три плоскости, то имеет место обобщенный интеграл второго рода.

получить, что обобщенный интеграл связан с поверхностным интегралом первого рода

формулой:

§ 6. Свойства поверхностных интегралов второго рода.
Свойства такие же, как

и у поверхностных интегралов первого рода. Кроме того, они обладают специфическими свойствами:
1. Пусть функция f (x,y,z) и поверхность S таковы, что поверхностный интеграл второго рода существует. Тогда:

z, то:


§ 7. Вычисление поверхностных интегралов второго рода.
Пусть поверхность S

удовлетворяет сформулированным выше свойствам:
ограниченная, гладкая, ориентируемая
однозначно проектируется в область D на плоскости XOY.
имеющая уравнение: z = z(x,y).

поверхностный интеграл второго рода вычисляется так:


Знак «+» берется, если S

– положительно ориентированная поверхность (нормаль составляет острый угол с осью z).
Знак «-» берется, если S – отрицательно ориентированная поверхность (нормаль составляет тупой угол с осью z).
Доказательство.
Самостоятельно.

для координатных плоскостей YOZ и XOZ.