Цепи с распределёнными параметрами

рассматривать каждый сколь угодно малый элемент, как обладающий сопротивлением и

индуктивностью, а при параллельном расположении проводов – проводимостью и емкостью линии, т.е. рассматривать линию, как цепь с распределенными параметрами или длинную линию.
Линию называют однородной, если сопротивление, индуктивность, проводимость и емкость равномерно распределены вдоль линии.

, -

напряжение и ток в конце участка;

R0 – продольное активное сопротивление единицы длины линии;
L0 – индуктивность длины линии;
C0- емкость единицы длины линии;
G0 – поперечная проводимость единицы длины линии.
G0 не в коем случае не является величиной, обратной R0.

, - скорость изменения напряжения и тока вдоль оси х.

тока и, выполнив сокращения, получим:


Сократив на dx:
(1)

.

(2)

Уравнения (1) и (2) являются основными дифференциальными уравнениями для линии с распределенными параметрами.

и (2) в комплексном виде:




здесь

, - комплексные

сопротивление и проводимость на единицу длины линии.
Продифференцируем эти уравнения:
,


а т.к. и , то


(3)

(пишем d/dx, потому теперь нет производной по времени)

имеет вид:

, (4)





где , - комплексные постоянные интегрирования;
α – коэффициент затухания;
β – коэффициент фазы.
Тогда ток равен:




Знаменатель имеет размерность сопротивления и его

называют волновым сопротивлением линии , совпадающим с характеристическим Zc в случае однородной линии.

генератора нагрузке, если рассматривать линию как четырехполюсник.

, таким образом

(5)


где , (6)

На основании (4), (5) и (6) значения напряжения и тока примут вид:

это скорость с которой нужно

перемещаться вдоль линии, чтобы наблюдать

одну и ту же фазу волны.

- длина волны.

Будем считать, что положительное направление тока прямой волны совпадает с положительным направлением тока , а положительное направление обратной волны – противоположно направлению тока. Тогда, вводя обозначения

, , ,

можно записать:



т.е. токи прямой и обратной волны связаны между собой
законом Ома.

ток в начале линии и , тогда:

,

откуда ,

Подставив в уравнение (4) получим:






(5)


Это формулы для определения напряжения и тока в любой точке линии по заданным значениям в начале линии.

получаем:










Входное сопротивление линии:









, где l – длина линии.

волны.



На практике более часто используют понятие коэффициента стоячей волны:




где

, - это
напряжения в максимумах и минимумах вдоль линии, измеренные каким-либо датчиком.

, то тогда

, что означает, что

, ,

т.е. отраженная волна не возникает. Такую нагрузку называют согласованной нагрузкой. Она характеризуется полным поглощением мощности источника (отраженная волна возвращает часть мощности источнику).

Т.е. , ,

,


Для любой точки линии:

сдвига θ между напряжением и током неизменен. Таким образом, если мощность,

получаемая линией от
генератора, равна

,
то мощность в конце линий длиной l в данном случае



откуда КПД линии



и затухание

необходимо, чтобы все гармоники распространялись с одинаковой скоростью и одинаковым

затуханием, поскольку только в этом случае гармоники образуют в конце линии сигнал, подобный входному.
Линией без искажений называют линию, у которой коэффициент ослабления и фазовая скорость не зависят от частоты (отсутствует дисперсия), а кроме того коэффициент ослабления минимален. Для обеспечения последнего условия должно выполняться соотношение



тогда , , , θ=0.

тока




слагаемые, содержащие , должны отсутствовать, т.к.

стремление   лишает эти составляющие физического смысла. Следовательно, в рассматриваемом случае . Т.о., в решении уравнений линии бесконечной длины отсутствуют обратные волны тока и напряжения.
В соответствии с вышесказанным


На основании этих соотношений можно сделать важный вывод, что для бесконечно длинной линии в любой ее точке, в том числе и на входе, отношение комплексов напряжения и тока есть постоянная величина, равная волновому сопротивлению:

и вместо откинутой бесконечно длинной части подключить сопротивление, численно равное

волновому, то режим работы оставшегося участка конечной длины не изменится. Отсюда можно сделать два вывода:
1) Уравнения бесконечно длинной линии распространяются на линию конечной длины, нагруженную на сопротивление, равное волновому. В этом случае также имеют место только прямые волны напряжения и тока.
Т.е. , , ,

Для любой точки линии:

2) У линии, нагруженной на волновое сопротивление, входное сопротивление также равно волновому.

Режим работы длинной линии, нагруженной на сопротивление, равное волновому, называется согласованным, а сама линия называется линией с согласованной нагрузкой.

характеризуется отсутствием отраженных (обратных) волн, обусловливающих помехи.
Согласованная нагрузка полностью поглощает

мощность волны, достигшей конца линии. Эта мощность называется натуральной. Поскольку в любом сечении согласованной линии сопротивление равно волновому, угол сдвига   между напряжением и током неизменен. Т.о., если мощность, получаемая линией от генератора, равна , то мощность в конце линий длиной l в данном случае



откуда КПД линии

затухание

Единицей затухания является непер, соответствующий затуханию по мощности в e2 раз, а по напряжению или току – в e раз.