Электромагнитные волны. Уравнения Максвелла и волновое уравнение

нейтральную, непроводящую среду.


Электромагнитное поле описывается уравнениями Максвелла:

левой части уравнения (1).


В рассматриваемой среде (ε = const.,

(1)

(2)

(3)

(4)

части уравнения (1) получаем:


Согласно уравнению (4)

и левой части уравнения (1) получаем:


Согласно уравнению (3)




Вычислим ротор

видом дифференциального волнового уравнения:






где v – фазовая скорость распространения

Полученное нами уравнение для напряжённости электрического поля совпадает волновым уравнением, если

Решениями волнового уравнения являются плоские волны вида

напряжённости электрического поля также являются плоские волны.
В данном случае в

Фазовая скорость распространения в пространстве таких колебаний:

левой части уравнения (3).


Аналогично можно вывести волновое уравнение, рассматривая

(1)

(2)

(3)

(4)

Выполним преобразования, как и в предыдущем случае, воспользуемся уравнением (2) и получим:

где
- фазовая скорость волны.
- решение волнового уравнения, уравнение плоской

Отметим, что решения одинаковы как для электрического поля, так и для магнитного. Колебания напряжённостей электрического и магнитного поле происходят одновременно и распространяются с одинаковой скоростью. Эти колебания совпадают по фазе.

Колебания напряжённостей электрического и магнитного полей, распространяющиеся в пространстве, называются электромагнитными волнами.

вакууме, когда ε = 1 и μ = 1,
В

В оптике величина n называется показателем преломления.

Физический смысл показателя преломления - он показывает, во сколько раз скорость света (ЭМВ) в данной среде меньше, чем в вакууме.

волновые решения.
2. Электромагнитная полна представляет собой колебания напряженностей электрического и

3. Скорость распространения ЭМВ в вакууме

4. Скорость распространения ЭМВ в любой диэлектрической среде меньше, чем в вакууме:

n – показатель преломления среды.

Скорость распространения ЭМВ в любой диэлектрической среде меньше, чем в

n – показатель преломления среды.

Некоторые свойства ЭМВ мы уже отметили:

Ещё одним важнейшим свойством ЭМВ является её поперечность.

нами системы отсчёта, то её уравнение можно записать так:
Здесь ω

Известно, что волновые поверхности плоской волны - плоскости. Если волна распространяется вдоль оси OX, то её волновые поверхности есть плоскости, параллельные плоскости YZ (перпендикулярные OX).

и H описывается уравнениями
Каждая из волновых поверхностей характеризуется одним значением

Значения всех трёх компонент вектора E и всех трёх компонент вектора H зависят только от координаты X и не зависят от координат Y и Z.

уравнения
То же по компонентам:

x, поэтому

времен от H нулю не равны, следовательно, в этих направлениях

в предыдущем случае, переписать его в виде проекций на оси

В направлениях, перпендикулярных направлению распространения волны, может существовать переменное электрическое поле. В направлении, параллельном направлению распространения волны, может существовать только стационарное электрическое поле.

каким-либо образом упорядочены, волна называется поляризованной.
Если колебания вектора напряжённости электрического

Если плоскость, в которой происходят колебания вектора напряжённости электрического поля в волне вращается, волна называется поляризованной по кругу (по эллипсу).

распространение ЭМВ:
В левой части этого уравнения

E зависит только от координаты x
Рассмотрим уравнение, описывающее распространение ЭМВ:
В

H зависит только от координаты x
Решениями волнового уравнения являются плоские

(волна распространяется вдоль OX, векторы напряжённостей перпендикулярны)

ранее,
Подставим в это уравнение выражения дл напряжённостей полей.
Это соотношение должно

связано с циклической частотой ω соотношением

получить из уравнений Максвелла. Рассмотрим уравнения:
а плотность энергии магнитного

(1)

(2)

Умножим уравнение (1) на вектор H скалярно, а уравнение (2) умножим скалярно на вектор E.

j = 0.
Итого, мы получили два уравнения:

Вычтем из второго уравнения

уравнения:
- плотность энергии электромагнитного поля.
- вектор Умова-Пойнтинга.

- поверхность, окружающая объём V.
Чтобы равенство не нарушилось, вычислим

Здесь Wэм - энергия электромагнитного поля в объёме V.

Итого, получилось:

поверхность равен убыли энергии электромагнитного поля в объёме, ограниченном этой

Согласно определению,

Таким образом,

Эти векторы образуют правую тройку.

E и H лежат в плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны, направление S совпадает с направлением распространения волны.

поля
Если в пространстве распространяется электромагнитная волна, то в данной точке

Плотность энергии магнитного поля

В любой момент времени

волны в данной среде. В вакууме, когда v = c,
В

назовём её модулем плотности потока энергии. То есть эта величина

W – энергия, Ω - площадь, t – время.

Модуль плотности потока энергии (эта величина равна энергии, проходящей через единицу площади в единицу времени) равен модулю вектора Умова – Пойнтинга.

единицу площади в единицу времени, равна модулю вектора Умова –