Элементы линейной алгебры

длины (или n столбцов одинаковой длины)
Матрицу А называют матрицей

размера m x n

Матрица А имеет m-строк и n- столбцов /колонн/; говорят, что она имеет размер. Всего в матрице размера m x n имеется mn элементов.

элементов. Это записывается так: А=В.

2. Матрица, у которой число строк

равно числу столбцов называется квадратной. Квадратную матрицу размера n x n называют матрицей n – го порядка.

3. Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме элементов главной диагонали, равны нулю, называется диагональной.

4. Диагональная матрица, у которой каждый элемент главной диагонали равен единице, называется единичной. Обозначается буквой Е.

одну сторону от главной диагонали равны нулю. 6. Матрица, все элементы

которой равны нулю, называется нулевой. Обозначается буквой О. 7. Матрица, содержащая один столбец или одну строку, называется вектором (или вектор – столбец, или вектор - строка). 8.Матрица АТ называется транспонированной к А, если в матрице А строки заменены на столбцы соответствующих номеров:

матрицы;
2. Умножение всех элементов ряда матрицы на число

отличное от нуля;
3. Прибавление ко всем элементам ряда матрицы соответствующих элементов параллельного ряда, умноженных на одно и тоже число.
Две матрицы А и В называются эквивалентными, если одна из них получается из другой с помощью элементарных преобразований. Записывается А В.
При помощи элементарных преобразований любую матрицу можно привести к матрице, у которой в начале главной диагонали стоят подряд несколько единиц, а все остальные элементы равны нулю. Такую матрицу называют канонической.

равны сумме соответствующих элементов матриц-слагаемых. Обозначение: А+В. Аналогично определяется разность

матриц.
При умножении матрицы на число, умножаются все элементы данной матрицы.

столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы. Такие матрицы

называются согласованными (n × m и m × k)

Произведением 2-х согласованных матриц и называется матрица размера , элементы которой вычисляются по формуле:
Cij=ai1∙b1j+ai2∙b2j+….+aikbkj+…..+ain∙bnj
Таким образом, элементом новой матрицы является , который равен сумме произведений элементов n строки первой матрицы на соответствующие элементы k столбца второй матрицы.
Возможно умножение матрицы на вектор-столбец справа и на вектор-строку слева.

Е = А
3. А × В ≠ В × А
4.

α (АВ) = (αА) × В = А × (αВ)
5. АВС = (АВ) × С = А × (ВС)
6. А (В + С) = АВ + АС,

называемое ее определителем, следующим образом: 1. n = 1. А =

(a1); det A = a1 2. n = 2. 3. n = 3.

вида a ik , расположенных в n строках
и n

столбцах:

называется определитель n-1 –го, полученный из исходного путем вычеркивания строки

и столбца, на пересечении которых находится выбранный элемент и обозначается Мik.

# a23=4
M23=



M31=5 M14=11

называется Мik , взятый со знаком «+», если (i+k)- четное

число, и со знаком «-», если (i+k)- нечетное число.

Для предыдущего примера:

А23=-М23=-13
А31=М31=5
А14=-М14=-11
Формула Лапласа.

Теорема: Определитель равен сумме произведений элементов всякой его строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

D.
D’=-D

Свойства определителей.

1. Транспонирование определителя , т.е. замена строк столбцами и

наоборот, не меняет его значения.

за знак D.
4. Если соответствующие элементы двух строк (столбцов)

равны или пропорциональны, то определитель равен 0.

элементы другой строки или одинаковые пропорциональные им числа ,то исходный

определитель не изменится.

5. Если элементы какой-либо строки (столбца) состоят из двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, различающихся между собой только элементами одной строки (столбца), бывшими ранее отдельными слагаемыми.

этой матрицы.
Ранг матрицы А обозначается rangA или r(A).
Из определения

следует:
1. Ранг матрицы Аmxnне превосходит меньшего из ее размеров.
2. r(А)=0 тогда и только тогда , когда все элементы матрицы равны 0.
3. Для квадратной матрицы n-ого порядка r(А)=n, тогда и только , когда матрица А – невырожденная.

2-го порядка, отличный от нуля

. Значит, ранг данной матрицы

равен двум (rang А=2)
Ответ: r(А)=2

ее ранг не меняется.
2. Если вычеркнуть

из матрицы нулевой ряд, то ранг матрицы не изменится.
3. Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях матрицы.
Ранг канонической матрицы равен числу единиц на главной диагонали. На этом основан один из способов вычисления ранга матрицы.
Пример: найти ранг матрицы



rang A = 2

равен нулю. В противном случае матрица А называется вырожденной.
Матрицей,

союзной к матрице А, называется матрица






Где Аik - алгебраическое дополнение элемента аik данной
матрицы А.

- основная матрица системы;
Х – матрица-столбец переменных;
В –

матрица-столбец свободных членов.
Если А – невырожденная, т.е. ∆ ≠ 0 и А имеет единственную А-1 , то
А-1 АХ = А-1В, т.е.
Х = А-1В – решение системы уравнений
Алгоритм нахождения А-1
1) det А ≠ 0
2) составить для А союзную матрицу А*
3) умножить А* на 1/∆ → А-1

В и Х
2. Вычисляем определитель матрицы А
3. Находим обратную матрицу

А-1
4. Находим решение системы уравнений по формуле:
Х=А-1В

D≠0, то система совместна и имеет единственное решение, выражаемое по

следующим формулам:

Dn – это определитель, который получается из определителя системы путем замены только n-го столбца столбцом свободных коэффициентов системы.

А, В, Х
2. Вычисляем определитель матрицы А.
3. Составляем определитель Δ1

путем замены первого столбца в матрице А на вектор-столбец матрицы В
4.Вычисляем определитель Δ1 и находим первую неизвестную по формуле:

5. Составляем определитель Δ2 путем замены второго столбца в матрице А на вектор-столбец матрицы В

Составляем определитель Δ3 путем замены третьего столбца в матрице А

на вектор-столбец матрицы В
8. Вычисляем определитель Δ3 и находим третью неизвестную по формуле: