Функции. Предел функции

функции
Основные элементарные функции, их свойства, графики
Непрерывность функции. Предел функции
Бесконечно малые

и бесконечно большие величины
Основные теоремы о пределах
Методы раскрытия неопределенностей

все
время приходится иметь дело с величинами постоянными и
величинами переменными.

Def1: Постоянной

величиной называется величина, сохраняющая
одно и то же значение.

Def2: Переменной величиной называется величина, которая может
принимать различные числовые значения.
Обозначение: переменная величина: x, y, z, v, u…
постоянная величина: a, b, c…

Def3: Множество всех числовых значений переменной величины называется областью изменения этой величины

порядок, в котором она
принимает свои числовые значения. В этом случае

будем
говорить об упорядоченной переменной величине.

# 1) числовая последовательность

2) Арифметическая и геометрическая прогрессии
Рассмотрим числовую бесконечную последовательность:

Def1: Если при , то говорят, что a – есть предел

переменной величины

дело с
совокупностью переменных величин, которые связаны между
собой так, что

значения одних величин полностью определяют
значение других.

Пусть D и E – непустые числовые множества, а х и у –
соответственно их элементы. Если каждому ставится
в соответствие по некоторому закону только одно значение
, то говорят, что между переменными х и у существует
функциональная зависимость и называют х независимой
переменной (v-аргументом), а у – зависимой переменной
(v-функцией)

Символическая запись функции:

которых функция определена (имеет смысл)
Def: Множеством значений Е функции

называются все значения, которые принимает зависимая переменная

Функция f отображает множество D на множестве Е .


Для функций f и g, заданных на одном и том же множестве D,
можно определить их сумму, разность, произведение и частное.
Это новые функции:


Где в случае частного предполагается, что на D.

2. Область определения, значения

функция F
отображает множество E на множестве G,
то функция z=F(f(x)) называется

функцией
от функций f и F (или сложной функцией).
Она определена на множестве D и
отображает D на G.

3. Сложная функция

при
помощи формул.
Например: у=2х; у=х+1; у=lgx.
Если уравнение, с помощью которого

задана функция, не
разрешено относительно у, то функция называется неявной.
Например: 2х+3у-5=0 – уравнение неявно задающее функцию.
у=(5-2х)/3

Функция задана не одной, а несколькими переменными.

Например:

такого задания являются таблицы
логарифмов и т.п.
Недостатком табличного способа является

то, что функция
задается не для всех значений аргумента.

Графический способ – это способ задания функции при
помощи графика. Графиком функции у=f(x) называется
множество точек (х; у) плоскости (Х0У) координаты которых
связаны соотношением у=f(x). Само равенство у=f(x) называется
Уравнением это графика

функция

Многочлен вида y=a0+a1x+a2х2+…amxm -целая рациональная функция. Пример: y=kx+b – линейная функция. Её график – прямая линия. При b=0 линейная функция y=kx выражает прямо пропорциональную зависимость у от х.
Дробно-рациональная функция
Эта функция определяется как отношение двух многочленов:
Пример: у=k/x – обратно пропорциональная
зависимость между х и у.
Её график – равносторонняя гипербола.
3. Степенная функция
y=xa, где
Пример1 : Пример2 :

в радианах.

x |х|≤1, 0≤у≤π; y=arсtg x |у|< π/2; y=arсctg x 0

π

себя эту точку.
Часто рассматривают - окрестность точки Х0,
когда эта

точка является центром окрестности.

В этом случае число называется радиусом
окрестности

Непрерывность и предел функции

математического анализа. Каждая операция математического
анализа связана с соответствующим предельным переходом.

Def:

Число А называется пределом функции y=f(x) при стремлении х к а
(или в точке а), если для любого числа ε>0 существует такое число
δ= δ(ε) >0, что для всех х, удовлетворяющих условию 0<|х-a|< δ,
имеет место неравенство |f(x)-А|< ε

Обозначается это так: или f(x)→A при x →a

Другими словами, число А есть предел функции f(x) вточке х=а, если для
всех х, достаточно близких к числу а и отличных от него, соответствующие
им значения функции f(x) оказываются сколь угодно близкими к числу А
(естественно, в тех точках х, в которых функция f(x) определена).

говорят, что функция непрерывна.
При этом малому изменению аргумента соответствует малое
изменение

функции. Дадим строгое определение:

Def: Функция f(x) называется непрерывной в точке х0, если она
определена в некоторой окрестности этой точки (включая
саму эту точку) и предел функции в точке х0 существует и
равен значению функции в самой этой точке, т.е.

x→a, если


Def: Функция называется бесконечно большой

при x→a, если

Бесконечно малые и бесконечно большие величины

было пределом
функции f(x) при

, необходимо и достаточно,
чтобы эта функция была представлена в виде
, где - бесконечно малая.

Следствие 1: Функция не может в одной точке иметь 2
различных предела.

Теорема 2: Предел постоянной величины равен самой
постоянной.

Теорема 3: Если функция для всех x в некоторой
окрестности точки a, кроме, быть может, самой точки a, и в точке
a имеет предел , то

имеют приделы при ,
то при

, имеет пределы также их сумма f1(x)+f2(x),
произведение f1(x)·f2(x), и при условии частное
f1(x)/f2(x), причем

Следствие 2: Если функция f(x) имеет предел при , то

Следствие 3: Постоянный множитель можно выносить за

где n – натуральное число.

знак предела

Методы:
Разложение числителя и знаменателя на множители с последующим сокращением.
Устранение

иррациональных разностей. Домножение на сопряженное.
Первый замечательный предел.

двух многочленов (при
условии, что аргумент стремится к ∞) равен

пределу
отношения их старших членов.