Лекц1-5A.ppt

предела последовательности.

где an ∈R, bn∈R, n∈N, называется системой вложенных отрезков, если

a1 ≤ a2 ≤ … an ≤ … ≤ bn ≤ … ≤ b2 ≤ b1,
т.е. если каждый следующий отрезок [an+1, bn+1] содержится в предыдущем.

ТЕОРЕМА.
Для всякой системы вложенных отрезков с длинами, стремящимися к нулю, существует единственная точка ξ, принадлежащая всем отрезкам данной системы, причем
ξ = sup{an} = inf{bn}.

a1

b1

a2

an

b2

bn

ξ

числом b1.
Тогда по свойству Вейерштрасса существует
По свойству верхней

грани an ≤ α ∀n.

Последовательность правых концов отрезков {bn} убывает и ограничена снизу, например, числом а1.
Тогда по свойству Вейерштрасса существует
По свойству нижней грани bn ≥ β ∀n.

С другой стороны bn= an+( bn– an), откуда, переходя к пределу, получим


Следовательно α = β = ξ и an ≤ ξ ≤ bn ∀n. Т.е. существует точка, принадлежащая всем отрезкам одновременно.

точка ξ1∈[an, bn] ∀n.
Тогда
0 ≤ ⎢ξ–ξ1⎢≤ bn –

an → 0 при n → ∞.

Отсюда, по теореме «о двух милиционерах», делаем вывод, что
ξ =ξ1.

строго возрастающую последовательность натуральных чисел {nk}, то есть такую, что

n1 < n2 < n3 <… Тогда числовая последовательность
называется подпоследовательностью числовой последовательности {xn}.

Пример.

{xn} = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, …

{yk} = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,11, 1213, 14, 15, 16, 17, 19, …

{zm} =2, 3, 4, 5, 6, 1, 8, 9, 10, 11, 12, 7, 14, 15, 16, 17, … 13, …

{yk} – подпоследовательность последовательности {xn};
{zm} не является подпоследовательностью последовательности {xn}.

последовательности {xn} имеет предел, то этот предел называется частичным пределом

числовой последовательности {xn}.



ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.
Наибольший и наименьший из частичных пределов последовательности {xn}, если они существуют, называют соответственно верхним и нижним пределом этой последовательности и обозначают символами



Пример.

{xn} = 1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 3, …

Пример.

{xn} = {1+ (-1)n };

0 – частичный предел этой ЧП.

подпоследовательность
(любая ограниченная ЧП имеет хотя бы один частичный предел) .

ПРИМЕР.

( Больцано-Вейерштрасса)

{xn} = {sin(nπ/2}

- ограничена, но не является сходящейся.

{x2n}={0},
{x4n-1}={–1}
{x4n-3}={1}

– сходящиеся подпоследовательности.

понятий математического анализа, обычно связываемых с более поздними исследованиями других

математиков.

по математическому анализу, теории функций, вариационному исчислению, дифференциальной геометрии и

линейной алгебре. Разработал систему логического обоснования математического анализа.

a, b, такие, что
a ≤ xn ≤ b ∀n∈N.

Разделим отрезок [a, b] пополам.
Обозначим [a1, b1] правую его половину, если в ней бесконечное число элементов ЧП, и левую – в противном случае.
Выберем

Разделим отрезок [a1, b1] пополам.
Обозначим [a2, b2] правую его половину, если в ней бесконечное число элементов ЧП, и левую – в противном случае.
Выберем

a

b

a1

b1

a2

b2

так чтобы n2 > n1.

И т. д.

что nk > nk-1.
Т.е. получим подпоследовательность
и систему

вложенных отрезков, длина которых стремится к нулю, так как



Тогда, согласно принципу вложенных отрезков, существует единственная точка ξ ∈ [ak, bk], ∀k.

ak

bk

ξ

0

Итак, построена подпоследовательность:

a

b

Расстояние между точками ξ и

не превосходит длины отрезка [ak, bk], т.е.

k → ∞

фундаментальной, если она удовлетворяет условию Коши:

для любого ε > 0

существует такое натуральное число N(ε), что для любого n ≥ N(ε) и любого m ≥ N(ε) выполняется неравенство
хn – хm ⎜< ε.

Условие Коши можно записать в другом виде:

∀ ε > 0 ∃ N(ε)∈ Ν : ∀ n ≥ N(ε) и ∀ р ∈ Ν →
хn+ р – хn ⎜< ε.

почетный член Петербургской АН (1831).
Разработал базу математического анализа –

теорию пределов.
Автор классических курсов математического анализа.

существует такое N(1), что для всех n ≥ N(1) и

m ≥ N(1) выполняется неравенство
⎜ хn- хm ⎜< 1
В частности, и для m = N
⎜ хn- хN ⎜< 1.
Тогда
⎜ хn ⎜= ⎜ хn- хN+ хN⎜≤ ⎜ хn- хN ⎜+ ⎜хN ⎜< 1+⎜хN ⎜.
Возьмем
С = max {1+⎜хN ⎜, ⎜ х1 ⎜, ⎜ х2 ⎜, ..., ⎜хN-1 ⎜}.
Тогда для всех n справедливо неравенство
⎜ хn ⎜≤ С.

чтобы она была фундаментальной.

Доказательство.
1. Необходимость.
Пусть существует

Согласно определению предела, ∀ε > 0 ∃ N(ε)∈ N : ∀n ≥ N(ε) и ∀m ≥ N(ε) →
⎜ хn - а ⎜< ε /2, ⎜ хm- а ⎜< ε /2.
Оценим модуль разности
⎜ хn– хm ⎜ = ⎜ хn – а + а – хm ⎜≤ ⎜ хn– а ⎜+ ⎜ хm– а ⎜ < ε/2 + ε/2 = ε.
Следовательно, ЧП удовлетворяет условию Коши, то есть является фундаментальной.

Докажем, что ЧП фундаментальна.

как фундаментальная ЧП {xn} является ограниченной, то, по теореме Больцано-Вейерштрасса,

из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность
Пусть
Возьмем ∀ε > 0.
По опр. предела последовательности ∃ N1(ε)∈N : ∀k ≥ N1(ε) →

По опр. фундаментальной ЧП ∃ N2(ε)∈N : ∀n ≥ N2(ε) , ∀m ≥ N2(ε) →
⎜ хn- хm ⎜< ε/2.
Пусть N(ε) = max{ N1(ε), N2(ε)}. Фиксируем номер nk ≥ N(ε).
Тогда при m = nk и ∀n ≥ N(ε) выполняется неравенство

Т.е. при ∀n ≥ N(ε) справедливо неравенство

Докажем, что а – предел исходной ЧП.

∀ε > 0. Найдём N(ε)∈N : ∀n ≥ N(ε) →

Решая

неравенство, получим N(ε) = [log2(1/ε)] + 1.
То есть ∀n ≥ N(ε) и ∀р ∈ N → ⎜ хn+p – хn⎜< ε.
Согласно критерию Коши, числовая последовательность сходится.

расходится, если не выполнено условие Коши, т.е.

∃ ε0 > 0: ∀ k∈ Ν ∃ n ≥ k ∃ m ≥ k : | хn – хm ⎜ ≥ ε0 .

Пусть задано ∀ k∈ Ν . Положим n = 2k , m = k . Тогда

| хn – хm ⎜ = | х2k – хk ⎜


Таким образом, условие
выполняется при ε0 = 1/2. Следовательно, в силу критерия Коши, числовая последовательность расходится.