Разделы презентаций
- Разное
- Английский язык
- Астрономия
- Алгебра
- Биология
- География
- Геометрия
- Детские презентации
- Информатика
- История
- Литература
- Математика
- Медицина
- Менеджмент
- Музыка
- МХК
- Немецкий язык
- ОБЖ
- Обществознание
- Окружающий мир
- Педагогика
- Русский язык
- Технология
- Физика
- Философия
- Химия
- Шаблоны, картинки для презентаций
- Экология
- Экономика
- Юриспруденция
Лекция 2. Плоскость как поверхность первого порядка. Уравнения плоскости и их
Содержание
- 1. Лекция 2. Плоскость как поверхность первого порядка. Уравнения плоскости и их
- 2. Элементы аналитической геометрии
- 3. Пример.Уравнение (x - a)2 + (y -
- 4. Определение 2: Поверхность S называется поверхностью n-того
- 5. Пусть M(x,y,z) - это произвольная (текущая) точка
- 6. D(*)(3) - полное уравнение плоскостиНеполное уравнение плоскости.Если
- 7. Расстояние от точки М1 до плоскости αМ1(x1,y1,z1)
- 8. - расстояние от точки M1 до плоскости
- 9. уравнениеплоскости,проходящейчерез точку А,перпенди-кулярновекторунормали-уравнениеплоскости α "в отрезках"
- 10. §2. Общее уравнение прямой.Прямую в пространстве можно
- 11. Параметрические и канонические уравнения прямой-произвольная точка прямой M0MточкаПараметрическое уравнениеt - параметр
- 12. Исключив t получим:
- 13. Расстояние от точки до прямой-расстояние от точки M1 до прямой α
- 14. Угол между прямыми в пространстве. Условия параллельности
- 15. их направляющими векторами:Пользуясь определением скалярного произведения
- 16. Условие параллельности прямых l1 и l2 соответствует
- 17. Угол между прямой и плоскостью: условия параллельности
- 18. Т.к. угол между прямой L и
- 19. Условие параллельности прямой L и плоскости П
- 20. Условия принадлежности двух прямых к одной плоскостиДве
- 21. Очевидно, что для принадлежности двух указанных прямых
- 22. Записывая смешанные произведения указанных векторов в координатах
- 23. Условие принадлежности прямой к плоскостиПусть есть прямая
- 24. Кривые второго порядка.§ 1. Понятие об уравнении
- 25. Пример: (x - a)2 + (y -
- 26. Линия L называется линией n-того порядка, если
- 27. Эллипс (Э)Определение. Эллипс – множество всех точек
- 28. Запишем (1) в координатной форме:
- 29. Исследование формы эллипса по каноническому уравнению1) Эллипс
- 30. 3) Расположение эллипсаТ.е. весь Э расположен внутри
- 31. Разрешив (3) относительно y получим:в I четверти
- 32. Построение эллипса
- 33. Гипербола (Г)Определение : Г – множество всех
- 34. Упрощая (1):(2) – каноническое уравнение Г.и (2)
- 35. Гипербола расположена вне полосы между прямымиx =
- 36. 5) Асимптоты гиперболы.В силу симметрии Г рассмотрим
- 37. Покажем, что при неограниченном удалении от начала
- 38. 6) Можно показать, что в I ч.
- 39. Парабола (П)Рассмотрим d (директрису) и F (фокус)
- 40. d-директрисаF-фокусXOYточка М П тогда, |MF| =
- 41. Исследование П по каноническому уравнению x2=2py
- 42. §4. Цилиндры.Цилиндрические поверхности с образующими, параллельными координатным
- 43. Пусть М(x,y,z) – произвольная точка цилиндрической повер-хности.
- 44. Примеры цилиндров второго порядка1) Эллиптический
- 45. 2) Гиперболический3) Параболический y2=2px
- 46. Проекция пространственной линии на координатной плоскостиЛинию в
- 47. Проекция:Lxy Z(x, y) = 0
- 48. 3) Расположение эллипсоидаПоверхность заключена между || плоскостями
- 49. Пересечем поверхность плоскостью XOY. В сечении получим
- 50. a = b = с - сфераПараболоидыа)
- 51. 3) исследуем поверхность методом сеченияпл.XOZВ сечении парабола симметричная оси OZ, восходящая.пл.YOZседло
- 52. пл.||YOZпл.||XOZпл.XOYВ сечении пара прямых, проходящих через начало координат
- 53. пл.||XOYпри h > 0 гиперболы, с действительной
- 54. пл.XOYпл. ||XOYпл.YOZпл.XOZпарабола восходящаяс вершиной в начале координатпарабола восходящая свершиной в начале координат
- 55. Гиперболоидыа) Однополосный гиперболоид1) поверхность второго порядка2) имеет 3 плоскости и 1 центр симметрии3) метод сечений
- 56. пл.XOYпл. ||XOYпри |h| –>∞ от a и
- 57. б) Двуполостный гиперболоид1) поверхность второго порядка2) имеет
- 58. Конус второго порядкаКонусом второго порядка называется поверхность,
- 59. пл.||XOY
- 60. Слайд 60
- 61. Скачать презентанцию
Элементы аналитической геометрии § 1. Плоскость.Имеем OXYZ и некоторуюповерхность S
Слайды и текст этой презентации
Слайд 2Элементы аналитической геометрии
§ 1. Плоскость.
Имеем OXYZ и некоторую
поверхность S
F(x,y,z) = 0Определение 1: уравнение с тремя переменными называется уравнением поверхности S в пространстве, если этому уравнению удовлетворяют координаты каждой точки, лежащей на поверхности и не удовлетворяют координаты ни одной точки не лежащей на ней.
Слайд 3Пример.
Уравнение (x - a)2 + (y - b)2 + (z
- c)2 = R2 (R > 0)
определяем сферу с центром
в точке C(a,b,c) и радиусом R.M(x,y,z) – переменная
точка M ϵ (S) |CM| = R
M
C
Слайд 4Определение 2: Поверхность S называется поверхностью n-того порядка, если в
некоторой декартовой системе координат она задается алгебраическим уравнением n-той степени
F(x,y,z)
= 0 (1)В примере (S) - окружность, поверхность второго порядка.
Если S - поверхность n-того порядка, то
F(x,y,z) - многочлен n-той степени относительно (x,y,z)
Рассмотрим единственную поверхность 1-го порядка – плоскость.
Составим уравнение плоскости проходящей через точку M0(x0,y0,z0), с вектором нормали
Слайд 5Пусть M(x,y,z) - это произвольная (текущая) точка плоскости.
или в
координатной форме:
Уравнение (2) - уравнение плоскости проходящей через точку М
с данным вектором нормали .(2)
Слайд 6D
(*)
(3) - полное уравнение плоскости
Неполное уравнение плоскости.
Если в уравнении (3)
несколько коэффициентов (но не A,B,C одновременно) = 0, то уравнение
называется неполным и плоскость α имеет особенности в расположении.Например если D = 0, то α проходит через начало координат.
Слайд 8- расстояние от точки M1 до плоскости α
Уравнение плоскости «в
отрезках»
Составим уравнение плоскости отсекающей на координатных осях ненулевые отрезки с
величинами a,b,c .В качестве возьмем
Составим уравнение для т. A с
B(0,b,0)
A(a,0,0)
C(0,0,c)
Слайд 9уравнение
плоскости,
проходящей
через точку А,
перпенди-
кулярно
вектору
нормали
-уравнение
плоскости α
"в отрезках"
Слайд 10§2. Общее уравнение прямой.
Прямую в пространстве можно задать пересечением 2-х
плоскостей.
(1) уравнение прямой
Система вида (1) определяет прямую в пространстве, если коэффициенты A1,B1,C1 одновременно непропорциональны A2,B2,C2.
Слайд 11Параметрические и канонические уравнения прямой
-произвольная точка прямой
M0
M
точка
Параметрическое уравнение
t -
параметр
Слайд 12Исключив t получим:
- каноническое
уравнение
Система (3) определяет движение материальной точки, прямолинейное и равномерное из начального положения M0(x0,y0,z0) со скоростью
в направлении вектора .
Слайд 14Угол между прямыми в пространстве.
Условия параллельности и перпендикулярности.
Пусть в
пространстве две прямые L1, L2 заданы своими каноническими уравнениями:
Тогда задача
определения угла между этими прямыми сводится к определению угла между
Слайд 15их направляющими векторами:
Пользуясь определением скалярного
произведения
и выражением в координатах указанного скалярного произведения и длин векторов q1 и q2, получим для нахождения :
Слайд 16Условие параллельности прямых l1 и l2 соответствует коллинеарности q1 и
q2, заключается в пропорциональности координат этих векторов, т.е. имеет вид:
Условие
перпендикулярности следует из определения скалярного произведения и его равенства нулю (при cos = 0) и имеет вид:l1l2 + m1m2 + n1n2 = 0.
Слайд 17Угол между прямой и плоскостью: условия параллельности и перпендикулярности прямой
и плоскости
Рассмотрим плоскость P, заданную общим уравнением: Ах + By
+ Cz + D = 0, и прямую L, заданную каноническим уравнением: 
Слайд 18Т.к. угол между прямой L и плоскостью
П является дополнительным к углу между направляющим вектором прямой
q = (l, m, n) и нормальным вектором плоскости n = (А, В, С), то из определения скалярного произведения
qn =qncos и равенства cos = sin ( = 90 - ), получим:
Слайд 19Условие параллельности прямой L и плоскости П (включающее в себя
принадлежность L к П ) эквивалентно условию перпендикулярности векторовq и
n и выражается = 0 скалярного произведения этих векторов: qn = 0:Аl + Bm + Cn = 0.
Условие перпендикулярности прямой L и плоскости П эквивалентно условию параллельности векторов n и q и выражается пропорциональностью координат этих векторов:
Слайд 20Условия принадлежности двух прямых к одной плоскости
Две прямые в пространстве
L1 и L2 могут: 1) пересекаться; 2) быть параллельными;
3) скрещиваться.
В
первых двух случаях прямые L1 и L2 лежат в одной плоскости.Установим условие принадлежности к одной плоскости двух прямых, заданных каноническими уравнениями:
Слайд 21Очевидно, что для принадлежности двух указанных прямых к одной плоскости
необходимо и достаточно, чтобы три вектора
= (х2 - х1, у2 - у1, z2 - z1);q1 = (l1,m1,n1) и q2 = (l2,m2,n2), были компланарны, для чего в свою очередь необходимо и достаточно, чтобы смешанное произведение указанных трех векторов = 0.
Слайд 22Записывая смешанные произведения указанных векторов в координатах получаем необходимое и
достаточное условие принадлежности двух прямых L1 и L2 к одной
плоскости:
Слайд 23Условие принадлежности прямой к плоскости
Пусть есть прямая
и плоскость Ах
+ Ву + Сz + D = 0.
Эти условия имеют
вид:Ах1 + Ву1 + Сz1 + D = 0 и Аl + Вm + Сn = 0, первое из которых означает, что точка М1(х1,у1,z1), через которую проходит прямая, принадлежит плоскости, а второе – условие параллельности прямой и плоскости.
Слайд 24Кривые второго порядка.
§ 1. Понятие об уравнении линии на плоскости.
Уравнение
f (x,y) = 0 называется уравнением линии L в выбранной
системе координат, если ему удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на линии, и не удовлетворяют координаты ни одной точки, не лежащей на ней.
Слайд 25Пример: (x - a)2 + (y - b)2 = R2
(R > 0) – уравнение окружности радиуса R и
центром в точке С(a,b).Если 1.)
2.)
Слайд 26Линия L называется линией n-того порядка, если в некоторой декартовой
системе координат она задается алгебраическим уравнением n-той степени относительно x
и y.Мы знаем единственную линию 1-го порядка – прямую: Ax + By + D = 0
Мы будем рассматривать кривые 2-го порядка:
эллипс, гиперболу, параболу.
Общее уравнение линий 2-ого порядка имеет вид:
Ax2 + By2 + Cxy + Dy + Ex + F = 0
Слайд 27Эллипс (Э)
Определение. Эллипс – множество всех точек плоскости, сумма расстояний
которых до двух фиксированных точек плоскости F1 и F2, называемых
фокусами, есть величина постоянная и большая расстояния между фокусами.Обозначим постоянную 2а, расстояние между фокусами 2с
(а > с, а > 0, с > 0).
Проведем ось Х через фокусы, ось Y через середины фокусного расстояния.
Пусть М – произвольная точка эллипса,
т. М ϵ Э r1 + r2 = 2a (1),
где r1, r2 – фокальные радиусы Э.
Слайд 28Запишем (1) в координатной форме:
(2)
Это уравнение эллипса в выбранной системе координат.
Упрощая (2) получим :
b2 = a2 - c2
(3) – каноническое уравнение эллипса.
Можно показать, что (2) и (3) эквивалентны:
Слайд 29Исследование формы эллипса по каноническому уравнению
1) Эллипс – кривая 2-го
порядка
2) Симметрия эллипса.
т.к. x и y входят в (3) лишь
в четных степенях, то эллипс имеет 2 оси и 1 центр симметрии, которые в выбранной системе координат совпадают с выбранными осями координат и точкой О.
Слайд 303) Расположение эллипса
Т.е. весь Э расположен внутри прямоугольника, стороны которого
x = ± a и y = ± b.
4) Пересечение
с осями.С ОХ:
С ОУ:
В силу симметрии эллипса рассмотрим его поведение (↑↓) лишь в I четверти.
A1(-a;0); A2(a;0);
вершины эллипса
B1(0;b); B2(0;-b);
Слайд 31Разрешив (3) относительно y получим:
в I четверти x > 0
и эллипс убывает.
Вывод: Э – замкнутая кривая, овальная, имеющая четыре
вершины.План построения Э.
1) Строим прямоугольник со сторонами 2a, 2b
2) Вписываем выпуклую овальную линию
Слайд 33Гипербола (Г)
Определение : Г – множество всех точек плоскости, модуль
разности расстояний которых до 2-х фиксированных точек плоскости F1 ,
F2 есть величина постоянная и < этого расстояния.2а, |F1F2| = 2c
Выберем систему
координат .
точка М ϵ Г |r1 - r2|=2a
r1 - r2 = ± 2а
В координатной форме:
(1) – уравнение Г в выбранной системе координат
Слайд 34Упрощая (1):
(2) – каноническое уравнение Г.
и (2) – эквивалентны.
Исследование
гиперболы по каноническому уравнению
1) Г- линия 2-го порядка
2) Г имеет
две оси и один центр симметрии, которые в нашем случае совпадают с координатными осями и началом координат.3) Расположение гиперболы.
Слайд 35Гипербола расположена вне полосы между прямыми
x = a, x =
-a.
4) Точки пересечения с осями.
OX:
OY:
не имеет решенийA1(-a;0); A2(a;0) – действительные вершины Г
B1(0;b); B2(0;-b) – мнимые вершины Г
2a – действительная ось Г
2b – мнимая ось Г
Слайд 365) Асимптоты гиперболы.
В силу симметрии Г рассмотрим ее часть в
I четверти .
Разрешив (2) относительно y, получим:
уравнение Г в I четверти x ≥ 0Рассмотрим прямую:
т.к. в I четверти x>0, то т.е. в I четверти при одной и той же абсциссе, ордината прямой > ординаты соответствующей точки Г, т.е. в I четверти Г лежит ниже этой прямой.
Вся Г лежит внутри вертикального угла со сторонами
Слайд 386) Можно показать, что в I ч. Г возрастает
7)
План построения Г
а) строим прямоугольник 2a, 2b
б) проводим его диагонали
в)
отметим А1, А2 – действительные вершины Г и впишем эти ветви 
Слайд 39Парабола (П)
Рассмотрим d (директрису) и F (фокус) на плоскости.
Определение. П
– множество всех точек плоскости, равноудаленных от прямой d и
точки F (фокус)
Слайд 40d-директриса
F-фокус
XOY
точка М П тогда, |MF| = |MN|
(1)
уравнение П, выбранной в системе координат
Упрощая (1) получим
y2 = 2px (2) – каноническое уравнение П.
(1) и (2) эквивалентны
Слайд 42§4. Цилиндры.
Цилиндрические поверхности с образующими, параллельными координатным осями
Через точку х
линии L проведем прямую параллельную оси OZ. Поверхность, образованная этими
прямыми называется цилиндрической поверхностью или цилиндром (Ц).Любая прямая параллельная оси OZ называется образующей.
l - направляющая цилиндрической поверхности плоскости XOY.
Z(x,y) = 0 (1)
Слайд 43Пусть М(x,y,z) – произвольная точка цилиндрической повер-хности. Спроецируем ее на
L.
M0 ϵ L => Z(x0,y0) = 0 (2)
x =
x0y = y0
=> Z(x,y) = 0
Mϵ Ц
M0ϵ L
то есть координаты М удовлетворяют (1) очевидно, что если М Ц, то она не проектируется в точку М0 ϵ L и следовательно, координаты М не будут удовлетворять уравнению (1), которое определяет Ц с образующей параллельной оси OZ в пространстве.
Аналогично можно показать, что :
Ф(x,z) = 0 в пространстве Ц || OY
(y,z) = 0 определяет в пространстве Ц || OX
Слайд 46Проекция пространственной линии на координатной плоскости
Линию в пространстве можно задать
параметрически и пересечением поверхностей. Одну и ту же линию можно
задать ∩ различных поверхностей.Пусть пространственная линия L задается ∩ двух поверхностей α:
S1: Ф1(x,y,z) = 0
S2: Ф2(x,y,z) = 0
уравнение L Ф1(x,y,z) = 0 (1)
Ф2(x,y,z) = 0
Найдем проекцию L на плоскость XOY из уравнения (1) исключаем Z. Получим уравнение: Z(x,y) = 0 – в пространстве это уравнение Ц с образующей || OZ
и направляющей L.
Слайд 47Проекция:
Lxy Z(x, y) = 0
Z = 0
Поверхности второго порядка
Эллипсоид – каноническое
уравнение поверхности имеет вид:1) Эллипсоид – поверхность второго порядка.
2) X,Y,Z входят в уравнение лишь в четных степенях =>
поверхность имеет 3 плоскости и 1 центр симметрии, которые в выбранной системе координат совпадают с координатными плоскостями и началом координат.
Слайд 483) Расположение эллипсоида
Поверхность заключена между || плоскостями с уравнениями x
= a, x = -a.
Аналогично
т.е. вся поверхность заключена внутри прямоугольного
параллелепипеда.х = ± а, y = ± b, z = ± с.
Будем исследовать поверхность методом сечений – пересекая поверхность координатными плоскостями и плоскостями || координатным. В сечении будем получать линии, по форме которых будем судить о форме поверхности.
Слайд 49Пересечем поверхность плоскостью XOY. В сечении получим линию.
Аналогично с плоскостью
YOZ
Плоскость || XOY
Если h(0,с), то оси эллипса убывают от a
и b до 0.-эллипс с полуосями b и с
- эллипс a и b –
полуоси
Слайд 50a = b = с - сфера
Параболоиды
а) Гиперболический параболоид –
поверхность с каноническим уравнением:
1) Поверхность второго порядка
2) Так как
x,y входят в уравнение лишь в четных степенях, то поверхность имеет плоскости симметрии, которые при данном выборе координат совпадают с плоскостями XOZ, YOZ.
Слайд 513) исследуем поверхность методом сечения
пл.XOZ
В сечении парабола симметричная оси OZ,
восходящая.
пл.YOZ
седло
Слайд 53пл.||XOY
при h > 0 гиперболы, с действительной полуосью вдоль OX,
при h < 0 гиперболы, с действительной полуосью вдоль оси
Y.Эллиптический параболоид
1) поверхность второго порядка
2) имеет 2 плоскости симметрии, которые совпадают с XOZ и YOZ
3) левая часть уравнения неотрицательна => z ≥ 0, то есть, вся поверхность расположена над XOY.
4) исследуем поверхность методом сечения
Слайд 54пл.XOY
пл. ||XOY
пл.YOZ
пл.XOZ
парабола восходящая
с вершиной в начале координат
парабола восходящая с
вершиной в
начале координат
Слайд 55Гиперболоиды
а) Однополосный гиперболоид
1) поверхность второго порядка
2) имеет 3 плоскости и
1 центр симметрии
3) метод сечений
Слайд 57б) Двуполостный гиперболоид
1) поверхность второго порядка
2) имеет 3 плоскости и
1 центр симметрии
3) расположение поверхности
x2 ≥ a2 ; |x| ≥
a ; (a,b,c > 0)Поверхность состоит из двух частей, расположенных вне полосы между плоскостями с уравнениями
x = a, x = -a
4) исследуем методом сечений (Самостоятельно!)
Слайд 58Конус второго порядка
Конусом второго порядка называется поверхность, каноническое уравнение которой
имеет вид:
1) поверхность второго порядка
2) имеет 3 плоскости и 1
центр симметрии3) исследуем методом сечений
пл.XOY
Слайд 59пл.||XOY
|h|
–>∞ от 0 до ∞пл.YOZ
пара прямых, проходящих через начало координат
пл.XOZ
пара прямых, проходящих через начало координат
