Разделы презентаций


Лекция 2. Плоскость как поверхность первого порядка. Уравнения плоскости и их презентация, доклад

Содержание

Элементы аналитической геометрии § 1. Плоскость.Имеем OXYZ и некоторуюповерхность S

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1Лекция 2. Плоскость как поверхность первого порядка. Уравнения плоскости и

их исследование. Прямая в пространстве, взаимное расположение прямых в пространстве,

плоскости и прямой в пространстве. Прямая на плоскости, уравнения прямой на плоскости, расстояние от точки до прямой на плоскости. Кривые второго порядка; вывод канонических уравнений, исследование уравнений и построение кривых. Поверхности II порядка, исследование канонических уравнений поверхностей. Метод сечений.
Лекция 2. Плоскость как поверхность первого порядка. Уравнения плоскости и их исследование. Прямая в пространстве, взаимное расположение

Слайд 2Элементы аналитической геометрии

§ 1. Плоскость.
Имеем OXYZ и некоторую
поверхность S

F(x,y,z) = 0

Определение 1: уравнение с тремя переменными называется уравнением поверхности S в пространстве, если этому уравнению удовлетворяют координаты каждой точки, лежащей на поверхности и не удовлетворяют координаты ни одной точки не лежащей на ней.
Элементы аналитической геометрии         § 1. Плоскость.Имеем OXYZ и некоторуюповерхность

Слайд 3Пример.
Уравнение (x - a)2 + (y - b)2 + (z

- c)2 = R2 (R > 0)
определяем сферу с центром

в точке C(a,b,c) и радиусом R.

M(x,y,z) – переменная
точка M ϵ (S)  |CM| = R

M

C

Пример.Уравнение (x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 = R2 (R > 0)определяем

Слайд 4Определение 2: Поверхность S называется поверхностью n-того порядка, если в

некоторой декартовой системе координат она задается алгебраическим уравнением n-той степени
F(x,y,z)

= 0 (1)
В примере (S) - окружность, поверхность второго порядка.
Если S - поверхность n-того порядка, то
F(x,y,z) - многочлен n-той степени относительно (x,y,z)
Рассмотрим единственную поверхность 1-го порядка – плоскость.
Составим уравнение плоскости проходящей через точку M0(x0,y0,z0), с вектором нормали
Определение 2: Поверхность S называется поверхностью n-того порядка, если в некоторой декартовой системе координат она задается алгебраическим

Слайд 5Пусть M(x,y,z) - это произвольная (текущая) точка плоскости.
или в

координатной форме:
Уравнение (2) - уравнение плоскости проходящей через точку М

с данным вектором нормали .

(2)

Пусть M(x,y,z) - это произвольная (текущая) точка плоскости. или в координатной форме:Уравнение (2) - уравнение плоскости проходящей

Слайд 6D
(*)

(3) - полное уравнение плоскости
Неполное уравнение плоскости.
Если в уравнении (3)

несколько коэффициентов (но не A,B,C одновременно) = 0, то уравнение

называется неполным и плоскость α имеет особенности в расположении.
Например если D = 0, то α проходит через начало координат.

D(*)(3) - полное уравнение плоскостиНеполное уравнение плоскости.Если в уравнении (3) несколько коэффициентов (но не A,B,C одновременно) =

Слайд 7Расстояние от точки М1 до плоскости α
М1(x1,y1,z1)

α:
приложим к точке M0
M0
M1
K
α
d

Расстояние от точки М1 до плоскости αМ1(x1,y1,z1)       α:приложим   к

Слайд 8- расстояние от точки M1 до плоскости α
Уравнение плоскости «в

отрезках»
Составим уравнение плоскости отсекающей на координатных осях ненулевые отрезки с

величинами a,b,c .
В качестве возьмем

Составим уравнение для т. A с

B(0,b,0)

A(a,0,0)

C(0,0,c)

- расстояние от точки M1 до плоскости αУравнение плоскости «в отрезках»Составим уравнение плоскости отсекающей на координатных осях

Слайд 9уравнение
плоскости,
проходящей
через точку А,
перпенди-
кулярно
вектору
нормали
-уравнение
плоскости α
"в отрезках"

уравнениеплоскости,проходящейчерез точку А,перпенди-кулярновекторунормали-уравнениеплоскости α

Слайд 10§2. Общее уравнение прямой.

Прямую в пространстве можно задать пересечением 2-х

плоскостей.

(1) уравнение
прямой

Система вида (1) определяет прямую в пространстве, если коэффициенты A1,B1,C1 одновременно непропорциональны A2,B2,C2.
§2. Общее уравнение прямой.Прямую в пространстве можно задать пересечением 2-х плоскостей.

Слайд 11Параметрические и канонические уравнения прямой
-произвольная точка прямой
M0
M

точка
Параметрическое уравнение
t -

параметр

Параметрические и канонические уравнения прямой-произвольная точка прямой M0MточкаПараметрическое уравнениеt - параметр

Слайд 12Исключив t получим:

- каноническое
уравнение

Система (3) определяет движение материальной точки, прямолинейное и равномерное из начального положения M0(x0,y0,z0) со скоростью


в направлении вектора .

Исключив t получим:

Слайд 13Расстояние от точки до прямой
-расстояние от точки M1
до прямой

Расстояние от точки до прямой-расстояние от точки M1 до прямой α

Слайд 14Угол между прямыми в пространстве.
Условия параллельности и перпендикулярности.
Пусть в

пространстве две прямые L1, L2 заданы своими каноническими уравнениями:





Тогда задача

определения угла между этими прямыми сводится к определению угла  между
Угол между прямыми в пространстве. Условия параллельности и перпендикулярности.Пусть в пространстве две прямые L1, L2 заданы своими

Слайд 15их направляющими векторами:


Пользуясь определением скалярного

произведения

и выражением в координатах указанного скалярного произведения и длин векторов q1 и q2, получим для нахождения :

их направляющими векторами:Пользуясь определением скалярного произведения

Слайд 16Условие параллельности прямых l1 и l2 соответствует коллинеарности q1 и

q2, заключается в пропорциональности координат этих векторов, т.е. имеет вид:



Условие

перпендикулярности следует из определения скалярного произведения и его равенства нулю (при cos  = 0) и имеет вид:
l1l2 + m1m2 + n1n2 = 0.
Условие параллельности прямых l1 и l2 соответствует коллинеарности q1 и q2, заключается в пропорциональности координат этих векторов,

Слайд 17Угол между прямой и плоскостью: условия параллельности и перпендикулярности прямой

и плоскости
Рассмотрим плоскость P, заданную общим уравнением: Ах + By

+ Cz + D = 0, и прямую L, заданную каноническим уравнением:
Угол между прямой и плоскостью: условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскостиРассмотрим плоскость P, заданную общим уравнением:

Слайд 18Т.к. угол  между прямой L и плоскостью

П является дополнительным к углу  между направляющим вектором прямой
q = (l, m, n) и нормальным вектором плоскости n = (А, В, С), то из определения скалярного произведения
qn =qncos и равенства cos = sin ( = 90 - ), получим:




Т.к. угол  между прямой L и плоскостью

Слайд 19Условие параллельности прямой L и плоскости П (включающее в себя

принадлежность L к П ) эквивалентно условию перпендикулярности векторовq и

n и выражается = 0 скалярного произведения этих векторов: qn = 0:
Аl + Bm + Cn = 0.
Условие перпендикулярности прямой L и плоскости П эквивалентно условию параллельности векторов n и q и выражается пропорциональностью координат этих векторов:
Условие параллельности прямой L и плоскости П (включающее в себя принадлежность L к П ) эквивалентно условию

Слайд 20Условия принадлежности двух прямых к одной плоскости
Две прямые в пространстве

L1 и L2 могут: 1) пересекаться; 2) быть параллельными; 3) скрещиваться.
В

первых двух случаях прямые L1 и L2 лежат в одной плоскости.
Установим условие принадлежности к одной плоскости двух прямых, заданных каноническими уравнениями:
Условия принадлежности двух прямых к одной плоскостиДве прямые в пространстве L1 и L2 могут: 1) пересекаться; 2)

Слайд 21Очевидно, что для принадлежности двух указанных прямых к одной плоскости

необходимо и достаточно, чтобы три вектора

= (х2 - х1, у2 - у1, z2 - z1);
q1 = (l1,m1,n1) и q2 = (l2,m2,n2), были компланарны, для чего в свою очередь необходимо и достаточно, чтобы смешанное произведение указанных трех векторов = 0.
Очевидно, что для принадлежности двух указанных прямых к одной плоскости необходимо и достаточно, чтобы три вектора

Слайд 22Записывая смешанные произведения указанных векторов в координатах получаем необходимое и

достаточное условие принадлежности двух прямых L1 и L2 к одной

плоскости:
Записывая смешанные произведения указанных векторов в координатах получаем необходимое и достаточное условие принадлежности двух прямых L1 и

Слайд 23Условие принадлежности прямой к плоскости
Пусть есть прямая



и плоскость Ах

+ Ву + Сz + D = 0.
Эти условия имеют

вид:
Ах1 + Ву1 + Сz1 + D = 0 и Аl + Вm + Сn = 0, первое из которых означает, что точка М1(х1,у1,z1), через которую проходит прямая, принадлежит плоскости, а второе – условие параллельности прямой и плоскости.
Условие принадлежности прямой к плоскостиПусть есть прямая и плоскость Ах + Ву + Сz + D =

Слайд 24Кривые второго порядка.
§ 1. Понятие об уравнении линии на плоскости.
Уравнение

f (x,y) = 0 называется уравнением линии L в выбранной

системе координат, если ему удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на линии, и не удовлетворяют координаты ни одной точки, не лежащей на ней.
Кривые второго порядка.§ 1. Понятие об уравнении линии на плоскости.Уравнение f (x,y) = 0 называется уравнением линии

Слайд 25Пример: (x - a)2 + (y - b)2 = R2

(R > 0) – уравнение окружности радиуса R и

центром в точке С(a,b).

Если 1.)
2.)
Пример: (x - a)2 + (y - b)2 = R2  (R > 0) – уравнение окружности

Слайд 26Линия L называется линией n-того порядка, если в некоторой декартовой

системе координат она задается алгебраическим уравнением n-той степени относительно x

и y.
Мы знаем единственную линию 1-го порядка – прямую: Ax + By + D = 0
Мы будем рассматривать кривые 2-го порядка:
эллипс, гиперболу, параболу.
Общее уравнение линий 2-ого порядка имеет вид:
Ax2 + By2 + Cxy + Dy + Ex + F = 0
Линия L называется линией n-того порядка, если в некоторой декартовой системе координат она задается алгебраическим уравнением n-той

Слайд 27Эллипс (Э)
Определение. Эллипс – множество всех точек плоскости, сумма расстояний

которых до двух фиксированных точек плоскости F1 и F2, называемых

фокусами, есть величина постоянная и большая расстояния между фокусами.
Обозначим постоянную 2а, расстояние между фокусами 2с
(а > с, а > 0, с > 0).

Проведем ось Х через фокусы, ось Y через середины фокусного расстояния.

Пусть М – произвольная точка эллипса,
т. М ϵ Э  r1 + r2 = 2a (1),
где r1, r2 – фокальные радиусы Э.

Эллипс (Э)Определение. Эллипс – множество всех точек плоскости, сумма расстояний которых до двух фиксированных точек плоскости F1

Слайд 28Запишем (1) в координатной форме:


(2)
Это уравнение эллипса в выбранной системе координат.

Упрощая (2) получим :

b2 = a2 - c2
(3) – каноническое уравнение эллипса.

Можно показать, что (2) и (3) эквивалентны:



Запишем (1) в координатной форме:

Слайд 29Исследование формы эллипса по каноническому уравнению

1) Эллипс – кривая 2-го

порядка
2) Симметрия эллипса.
т.к. x и y входят в (3) лишь

в четных степенях, то эллипс имеет 2 оси и 1 центр симметрии, которые в выбранной системе координат совпадают с выбранными осями координат и точкой О.
Исследование формы эллипса по каноническому уравнению1) Эллипс – кривая 2-го порядка2) Симметрия эллипса.т.к. x и y входят

Слайд 303) Расположение эллипса


Т.е. весь Э расположен внутри прямоугольника, стороны которого

x = ± a и y = ± b.
4) Пересечение

с осями.
С ОХ:


С ОУ:



В силу симметрии эллипса рассмотрим его поведение (↑↓) лишь в I четверти.

A1(-a;0); A2(a;0);

вершины эллипса

B1(0;b); B2(0;-b);





3) Расположение эллипсаТ.е. весь Э расположен внутри прямоугольника, стороны которого x = ± a и y =

Слайд 31Разрешив (3) относительно y получим:


в I четверти x > 0

и эллипс убывает.

Вывод: Э – замкнутая кривая, овальная, имеющая четыре

вершины.

План построения Э.
1) Строим прямоугольник со сторонами 2a, 2b
2) Вписываем выпуклую овальную линию
Разрешив (3) относительно y получим:в I четверти x > 0 и эллипс убывает.Вывод: Э – замкнутая кривая,

Слайд 32Построение эллипса

Построение эллипса

Слайд 33Гипербола (Г)
Определение : Г – множество всех точек плоскости, модуль

разности расстояний которых до 2-х фиксированных точек плоскости F1 ,

F2 есть величина постоянная и < этого расстояния.
2а, |F1F2| = 2c

Выберем систему
координат .
точка М ϵ Г  |r1 - r2|=2a
r1 - r2 = ± 2а
В координатной форме:

(1) – уравнение Г в выбранной системе координат
Гипербола (Г)Определение : Г – множество всех точек плоскости, модуль разности расстояний которых до 2-х фиксированных точек

Слайд 34Упрощая (1):


(2) – каноническое уравнение Г.
и (2) – эквивалентны.

Исследование

гиперболы по каноническому уравнению

1) Г- линия 2-го порядка
2) Г имеет

две оси и один центр симметрии, которые в нашем случае совпадают с координатными осями и началом координат.
3) Расположение гиперболы.
Упрощая (1):(2) – каноническое уравнение Г.и (2) – эквивалентны. Исследование гиперболы по каноническому уравнению1) Г- линия 2-го

Слайд 35Гипербола расположена вне полосы между прямыми
x = a, x =

-a.
4) Точки пересечения с осями.
OX:


OY:

не имеет решений

A1(-a;0); A2(a;0) – действительные вершины Г
B1(0;b); B2(0;-b) – мнимые вершины Г
2a – действительная ось Г
2b – мнимая ось Г

Гипербола расположена вне полосы между прямымиx = a, x = -a.4) Точки пересечения с осями.OX:OY:

Слайд 365) Асимптоты гиперболы.

В силу симметрии Г рассмотрим ее часть в

I четверти .
Разрешив (2) относительно y, получим:

уравнение Г в I четверти x ≥ 0

Рассмотрим прямую:

т.к. в I четверти x>0, то т.е. в I четверти при одной и той же абсциссе, ордината прямой > ординаты соответствующей точки Г, т.е. в I четверти Г лежит ниже этой прямой.
Вся Г лежит внутри вертикального угла со сторонами
5) Асимптоты гиперболы.В силу симметрии Г рассмотрим ее часть в I четверти .Разрешив (2) относительно y, получим:

Слайд 37Покажем, что при неограниченном удалении от начала координат Г приближается

к прямым

.

Покажем, что при неограниченном удалении от начала координат Г приближается к прямым

Слайд 386) Можно показать, что в I ч. Г возрастает
7)

План построения Г
а) строим прямоугольник 2a, 2b
б) проводим его диагонали
в)

отметим А1, А2 – действительные вершины Г и впишем эти ветви
6) Можно показать, что в I ч. Г возрастает 7) План построения Га) строим прямоугольник 2a, 2bб)

Слайд 39Парабола (П)

Рассмотрим d (директрису) и F (фокус) на плоскости.
Определение. П

– множество всех точек плоскости, равноудаленных от прямой d и

точки F (фокус)
Парабола (П)Рассмотрим d (директрису) и F (фокус) на плоскости.Определение. П – множество всех точек плоскости, равноудаленных от

Слайд 40d-директриса
F-фокус
XOY

точка М  П тогда, |MF| = |MN|

(1)
уравнение П, выбранной в системе координат
Упрощая (1) получим

y2 = 2px (2) – каноническое уравнение П.
(1) и (2) эквивалентны
d-директрисаF-фокусXOYточка М  П тогда, |MF| = |MN|

Слайд 41Исследование П по каноническому уравнению

x2=2py

x2=-2py y2=2px

y2=-2px

Исследование П по каноническому уравнению x2=2py       x2=-2py

Слайд 42§4. Цилиндры.
Цилиндрические поверхности с образующими, параллельными координатным осями
Через точку х

линии L проведем прямую параллельную оси OZ. Поверхность, образованная этими

прямыми называется цилиндрической поверхностью или цилиндром (Ц).
Любая прямая параллельная оси OZ называется образующей.
l - направляющая цилиндрической поверхности плоскости XOY.

Z(x,y) = 0 (1)

§4. Цилиндры.Цилиндрические поверхности с образующими, параллельными координатным осямиЧерез точку х линии L проведем прямую параллельную оси OZ.

Слайд 43Пусть М(x,y,z) – произвольная точка цилиндрической повер-хности. Спроецируем ее на

L.
M0 ϵ L => Z(x0,y0) = 0 (2)
x =

x0
y = y0



=> Z(x,y) = 0

Mϵ Ц
M0ϵ L

то есть координаты М удовлетворяют (1) очевидно, что если М Ц, то она не проектируется в точку М0 ϵ L и следовательно, координаты М не будут удовлетворять уравнению (1), которое определяет Ц с образующей параллельной оси OZ в пространстве.
Аналогично можно показать, что :
Ф(x,z) = 0 в пространстве Ц || OY
(y,z) = 0 определяет в пространстве Ц || OX

Пусть М(x,y,z) – произвольная точка цилиндрической повер-хности. Спроецируем ее на L.M0 ϵ L => Z(x0,y0) = 0

Слайд 44Примеры цилиндров второго порядка

1) Эллиптический







Примеры цилиндров второго порядка1) Эллиптический

Слайд 45
2) Гиперболический










3) Параболический y2=2px

2) Гиперболический3) Параболический   y2=2px

Слайд 46Проекция пространственной линии на координатной плоскости
Линию в пространстве можно задать

параметрически и пересечением поверхностей. Одну и ту же линию можно

задать ∩ различных поверхностей.
Пусть пространственная линия L задается ∩ двух поверхностей α:
S1: Ф1(x,y,z) = 0
S2: Ф2(x,y,z) = 0
уравнение L Ф1(x,y,z) = 0 (1)
Ф2(x,y,z) = 0
Найдем проекцию L на плоскость XOY из уравнения (1) исключаем Z. Получим уравнение: Z(x,y) = 0 – в пространстве это уравнение Ц с образующей || OZ
и направляющей L.
Проекция пространственной линии на координатной плоскостиЛинию в пространстве можно задать параметрически и пересечением поверхностей. Одну и ту

Слайд 47Проекция:
Lxy Z(x, y) = 0

Z = 0

Поверхности второго порядка
Эллипсоид – каноническое

уравнение поверхности имеет вид:



1) Эллипсоид – поверхность второго порядка.
2) X,Y,Z входят в уравнение лишь в четных степенях =>
поверхность имеет 3 плоскости и 1 центр симметрии, которые в выбранной системе координат совпадают с координатными плоскостями и началом координат.
Проекция:Lxy   Z(x, y) = 0       Z = 0Поверхности второго

Слайд 483) Расположение эллипсоида



Поверхность заключена между || плоскостями с уравнениями x

= a, x = -a.
Аналогично
т.е. вся поверхность заключена внутри прямоугольного

параллелепипеда.
х = ± а, y = ± b, z = ± с.
Будем исследовать поверхность методом сечений – пересекая поверхность координатными плоскостями и плоскостями || координатным. В сечении будем получать линии, по форме которых будем судить о форме поверхности.
3) Расположение эллипсоидаПоверхность заключена между || плоскостями с уравнениями x = a, x = -a.Аналогичнот.е. вся поверхность

Слайд 49Пересечем поверхность плоскостью XOY. В сечении получим линию.


Аналогично с плоскостью

YOZ



Плоскость || XOY






Если h(0,с), то оси эллипса убывают от a

и b до 0.

-эллипс с полуосями b и с

- эллипс a и b –
полуоси

Пересечем поверхность плоскостью XOY. В сечении получим линию.Аналогично с плоскостью YOZПлоскость || XOYЕсли h(0,с), то оси эллипса

Слайд 50a = b = с - сфера
Параболоиды
а) Гиперболический параболоид –

поверхность с каноническим уравнением:


1) Поверхность второго порядка
2) Так как

x,y входят в уравнение лишь в четных степенях, то поверхность имеет плоскости симметрии, которые при данном выборе координат совпадают с плоскостями XOZ, YOZ.
a = b = с - сфераПараболоидыа) Гиперболический параболоид – поверхность с каноническим уравнением:1) Поверхность второго порядка

Слайд 513) исследуем поверхность методом сечения








пл.XOZ


В сечении парабола симметричная оси OZ,

восходящая.
пл.YOZ

седло

3) исследуем поверхность методом сеченияпл.XOZВ сечении парабола симметричная оси OZ, восходящая.пл.YOZседло

Слайд 52пл.||YOZ



пл.||XOZ



пл.XOY







В сечении пара прямых, проходящих через начало координат

пл.||YOZпл.||XOZпл.XOYВ сечении пара прямых, проходящих через начало координат

Слайд 53пл.||XOY



при h > 0 гиперболы, с действительной полуосью вдоль OX,

при h < 0 гиперболы, с действительной полуосью вдоль оси

Y.

Эллиптический параболоид

1) поверхность второго порядка
2) имеет 2 плоскости симметрии, которые совпадают с XOZ и YOZ
3) левая часть уравнения неотрицательна => z ≥ 0, то есть, вся поверхность расположена над XOY.
4) исследуем поверхность методом сечения
пл.||XOYпри h > 0 гиперболы, с действительной полуосью вдоль OX, при h < 0 гиперболы, с действительной

Слайд 54пл.XOY



пл. ||XOY



пл.YOZ



пл.XOZ
парабола восходящая
с вершиной в начале координат
парабола восходящая с
вершиной в

начале координат

пл.XOYпл. ||XOYпл.YOZпл.XOZпарабола восходящаяс вершиной в начале координатпарабола восходящая свершиной в начале координат

Слайд 55Гиперболоиды

а) Однополосный гиперболоид


1) поверхность второго порядка
2) имеет 3 плоскости и

1 центр симметрии
3) метод сечений

Гиперболоидыа) Однополосный гиперболоид1) поверхность второго порядка2) имеет 3 плоскости и 1 центр симметрии3) метод сечений

Слайд 56пл.XOY



пл. ||XOY








при |h| –>∞ от a и b до ∞.
в

сечении эллипс с полуосями а и b - горловой

пл.XOYпл. ||XOYпри |h| –>∞ от a и b до ∞.в сечении эллипс с полуосями а и b

Слайд 57б) Двуполостный гиперболоид

1) поверхность второго порядка
2) имеет 3 плоскости и

1 центр симметрии
3) расположение поверхности
x2 ≥ a2 ; |x| ≥

a ; (a,b,c > 0)

Поверхность состоит из двух частей, расположенных вне полосы между плоскостями с уравнениями
x = a, x = -a

4) исследуем методом сечений (Самостоятельно!)

б) Двуполостный гиперболоид1) поверхность второго порядка2) имеет 3 плоскости и 1 центр симметрии3) расположение поверхностиx2 ≥ a2

Слайд 58Конус второго порядка

Конусом второго порядка называется поверхность, каноническое уравнение которой

имеет вид:


1) поверхность второго порядка
2) имеет 3 плоскости и 1

центр симметрии
3) исследуем методом сечений
пл.XOY

Конус второго порядкаКонусом второго порядка называется поверхность, каноническое уравнение которой имеет вид:1) поверхность второго порядка2) имеет 3

Слайд 59пл.||XOY



|h|

–>∞ от 0 до ∞

пл.YOZ




пара прямых, проходящих через начало координат
пл.XOZ

пара прямых, проходящих через начало координат

пл.||XOY

Обратная связь

Если не удалось найти и скачать доклад-презентацию, Вы можете заказать его на нашем сайте. Мы постараемся найти нужный Вам материал и отправим по электронной почте. Не стесняйтесь обращаться к нам, если у вас возникли вопросы или пожелания:

Email: Нажмите что бы посмотреть 

Что такое TheSlide.ru?

Это сайт презентации, докладов, проектов в PowerPoint. Здесь удобно  хранить и делиться своими презентациями с другими пользователями.


Для правообладателей

Яндекс.Метрика