Слайд 1
лекция № 1 для студентов 1 курса, обучающихся по специальности
060101 – Лечебное дело
К.п.н., доцент Шилина Н.Г.
Красноярск, 2013
Тема: Интегральное исчисление
Дифференциальные
уравнения
Кафедра медицинской и биологической физики
Слайд 2План лекции:
Понятие неопределенного интеграла.Свойства неопределенного интеграла
Понятие определенного интеграла.Свойства определенного интеграла
Таблица
интегралов от некоторых функций. Способы вычисления интегралов
Типы дифференциальных уравнений и
способы их решения
Слайд 3Понятие неопределенного интеграла
Функция F(x), называется первообразной для функции f(x), если
ее производная F'(x) равна данной функции, F'(x) = f(x), а
dF(x)=f(x)dx.
Совокупность всех первообразных F(x)+C для данной функции f(x) называется неопределенным интегралом (обозначается ∫f(x)dx=F(x)+C, где f(x)dx – подынтегральное выражение, f(x) – подынтегральная функция, С- постоянная).
Слайд 4Свойства неопределенного интеграла
дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению: d∫F(x)dx =
F(x)dx;
неопределенный интеграл от дифференциала функции равен этой функции: ∫dF(x)= F(x)
+ C;
постоянный множитель выносится за знак интеграла: ∫kf(x)dx = k∫f(x)dx;
интеграл суммы (разности) функций равен сумме (разности) интегралов этих функций: ∫(f1(x) ± f2(x) ± f3(x))dx= ∫(f1(x)dx± ∫f2(x)dx ± ∫f3(x))dx.
Слайд 5Таблица интегралов основных функций
Слайд 6Методы интегрирования
Интегрирование по формулам. Этот метод основан на использовании таблицы
интегралов основных функций и свойствах неопределенного интеграла
Интегрирование методом замены
переменной (или метод подстановки). Этот способ применяется для упрощения подынтегрального выражения и сведения интеграла к табличному. Вводится новая переменная z=f(x), находится ее дифференциал dz=z'dx , выражается , и все подынтегральное
выражение записывается в новых переменных z.
Слайд 7Понятие определенного интеграла
Слайд 8Понятие определенного интеграла
Выражение называют определенным
интегралом функции f(x) на отрезке [ab].
Если неопределенный
интеграл представляет собой совокупность функций, отстоящих друг от друга на величину С, то определенный интеграл – это всегда число, значение которого определяется видом подынтегральной функции и значениями верхнего (b) и нижнего (а) пределов интегрирования.
Слайд 9Свойства определенного интеграла
при смене пределов интегрирования меняется знак у определенного
интеграла
если пределы интегрирования равны между собой, то определенный интеграл
равен нулю
если точка с принадлежит отрезку [ab], то выполняется равенство
Слайд 10Формула Ньютона -Лейбница
Чтобы вычислить определенный интеграл необходимо найти его первообразную
(неопределенный интеграл) и подставить пределы интегрирования
Слайд 11Дифференциальные уравнения
Уравнение, содержащее независимую переменную х, функцию f(x) и ее
производные от первого до n-го порядка, называется дифференциальным. F(x,f(x),f'(x),f''(x),…,f(n)(x),С)=0.
Порядок
дифференциального уравнения определяется порядком наивысшей производной.
Решением дифференциального уравнения называется функция y=f(x), которая при подстановке обращает это уравнение в тождество.
Слайд 12Алгоритм решения дифференциальных уравнений
представить производную в дифференциальной форме, т.е.
;
разделить переменные, т.е. все, что относится
к одной переменной (х) собрать в одной части равенства, а все, что относится к другой переменной (у) – в другой части равенства;
проинтегрировать обе части равенства и записать решение в виде y=f(x);
выполнить проверку.
Слайд 13Основные типы дифференциальных уравнений и способы их решения
уравнение вида
y'= f(x).
Слайд 15уравнение с разделяющимися переменными вида
f1(x)Ψ1(y)dx+f2(x)Ψ2(y)dy=0
Слайд 16Общее и частное решение дифференциального уравнения
Константа может быть выбрана в
любом виде (произвольно) для удобства решения. И тогда получают общее
решение дифференциального уравнения.
Если же заданы начальные условия, то константа вычисляется и имеет вполне определенное значение. Тогда можно говорить о частном решении дифференциального уравнения.
Слайд 17Заключение
Нами рассмотрены:
понятия неопределенного и определенного интегралов, а также показаны
на примерах способы их решения;
виды дифференциальных уравнений, алгоритмы их решения.
Слайд 18Тест-контроль
Порядок дифференциального уравнения определяется порядком входящей в него:
функции
аргумента
высшей
производной
низшей производной
Слайд 19РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
Обязательная:
Павлушков И.В. Основы высшей математики и математической статистики: учебник
для мед.вузов.- М.: ГЭОТАР-Медиа, 2007.-
Дополнительная:
Математика в примерах и задачах: учебное
пособие /Л.Н.Журбенко, Г.А. Никонова, Н.В.Никонова и др.- М.: ИНФРА-М, 2010.-
Шаповалов К.А. Основы высшей математики: учебное пособие. -Красноярск: Печатные технологии, 2004
Математика: метод. указания к внеаудит. работе для студ. по спец. – педиатрия /сост. Л.А.Шапиро и др.- Красноярск: тип.КрасГМУ, 2009.-
Электронные ресурсы:
ЭБС КрасГМУ
Ресурсы интернет
