Метод параллельного проектирования. Изображение пространственных фигур на

г.Минск

Как всегда нам необходимо уметь изображать геометрические фигуры, причем все

чертежи мы по-прежнему выполняем на плоскости (на странице тетради, на доске и т.д.). Каким образом пространственную фигуру (например, куб) можно «уложить» в плоскость?

Для решения этой задачи применяется метод параллельного проектирования. Выясним его суть на примере простейшей геометрической фигуры – точки.

Итак, у нас есть геометрическая фигура в пространстве – точка А.

А

плоскостью проекций)

и любую прямую a   (она задает направление
параллельного

проектирования).

а

заданной плоскости проекцию данной фигуры. Таким образом можно получить изображение

(или «проекцию») любой плоской или пространственной фигуры на плоскости (см.рис.).

а



Наглядным примером параллельного проектирования является отбрасываемая любым объектом (прообраз) в пространстве тень (образ) от солнечных лучей (направление параллельного проектирования) на Земле (плоскость проекций).

проекцией пространственной фигуры Φ называется множество Φ1 параллельных проекций всех

точек данной фигуры.

Каждой точке A пространства сопоставляется ее проекция A1 на плоскость . Это соответствие называется параллельным проектированием на плоскость  в направлении прямой l.

параллельно плоскости проекции (обоснуйте почему).
А
а


параллельного проектирования параллельно плоскости, которой принадлежит эта плоская фигура, т.к.

получающаяся при этом проекция не отражает свойства данной плоской фигуры.

А

а



B

C

такое параллельное проектирование называется ортогональным (прямоугольным) проектированием.
А
а

B
C

данная фигура параллельны (||(АВС)), то получающееся при этом изображение…
А
а

B
C
…правильно

– равно прообразу!

одной прямой сохраняется;
Параллельное проектирование обладает свойствами:
параллельность прямых (отрезков, лучей) сохраняется;

а
A
D
C
B
М

плоских фигур(длины отрезков, величины углов) не сохраняются.
2) отношение

длин отрезков, лежащих на параллельных или на одной прямой сохраняется;

β

β’

C

C’

параллельна направлению проектирования.
Сколько точек может получиться при параллельном проектировании трех

различных точек пространства?

?

СД – пересекающиеся прямые
Проекция АВ – прямая, а СД –

точка на этой прямой.

то они проектируются или в две параллельные прямые (их плоскость

не параллельна направлению проектирования) (рис. 1), или в две точки (прямые параллельны направлению проектирования) (рис.2), или в одну прямую (их плоскость параллельна направлению проектирования, но сами они не параллельны направлению проектирования) (рис. 3).

?

и ни одна из них не параллельна направлению проектирования и

не лежат в плоскостях, параллельных проектирующей прямой,, то они проектируются соответственно в пересекающиеся прямые (рис.1), если прямые скрещиваются и одна из них параллельна направлению проектирования, то они проектируются соответственно в прямую и не принадлежащую ей точку (рис.2), если скрещивающиеся прямые лежат в плоскостях, параллельных проектирующей прямой, то они проектируются в параллельные прямые (рис.3).

1

2

3

?

проектировании длины отрезков?
B1
?

отношения отрезков одной прямой сохраняются, т.е. если ВК=КС, то и

В1К1=К1С1 !

?

треугольник
Произвольный треугольник

(окружность)
Овал (эллипс)

части: прямоугольник FBCE и два равнобедренных треугольника ΔFAB и ΔCDE.

Построим вначале изображение прямоугольника FBCE – произвольный параллелограмм FBCE. Осталось найти местоположение двух оставшихся вершин – точек A и D.

Вспомнив свойства правильного шестиугольника, заметим, что: 1) эти вершины лежат на прямой, проходящей через центр прямоугольника и параллельной сторонам BC и FE; 2) OK=KD и ON=NA.

K

N

Значит, 1) находим на изображении точку О и проводим через неё прямую, параллельную BC и FE, получив при этом точки N и K;

O

N

K

2) откладываем от точек N и K от центра О на прямой такие же отрезки – в итоге получаем две оставшиеся вершины правильного шестиугольника A и D.

равнобокую трапецию и равнобедренный треугольник, а затем пользуясь свойствами этих

фигур и ,конечно же, свойствами параллельного проектирования строим пятиугольник.

A

C

D

E

B

треугольника равна произведению площади треугольника на косинус угла между их

плоскостями.

Дано: АВС
АВС1 – ортогональная
проекция на плоскость .

равна площади проектируемого многоугольника, умноженной на косинус угла между плоскостью

многоугольника и плоскостью проекций:
Sпроекции = Sфигуры·cos φ.

Площадь ортогональной проекции многоугольника

плоскость α, образующая с плоскостью треугольника угол 60°. Найти площадь

проекции АВС
на α.

А

С

В1



Н



В