Множества и операции над ними

2. Способы задания множеств. Отношения между множествами и их свойства.

3. Операция пересечения множеств. Свойства пересечения.
4. Операция объединения множеств. Свойства объединения.
5. Вычитание множеств. Дополнение. Свойства вычитания множеств
6. Классификация
7. Декартово произведение множеств

поэтому не определяется через другие.
Обозначение:
А, В, С -

множества;
а, b, с - элементы множества
аА -объект а принадлежит множеству А;
аА -объект а не принадлежит множеству А.
Множество, не содержащее никаких элементов, называют пустым и обозначают .
Множества бывают конечными и бесконечными.

принадлежит он этому множеству или не принадлежит.

Способы задания множества:
1. Перечисление

всех элементов множества.
Например, А ={2, 4, 6, 8 }.

2. Указание характеристического свойства элементов, т.е. такого свойства, которым обладает каждый элемент, принадлежащий множеству, и не обладает ни один элемент, который ему не принадлежит.
Например, А ={ х  х N и х  175}

т.е. элементы, принадлежащие одновременно A и B, то говорят, что

эти множества пересекаются.
Если множества A и B не имеют общих элементов, т.е. нет элементов, принадлежащих одновременно A и B, то говорят, что эти множества не пересекаются.
Множество В называется подмножеством множества А, если каждый элемент множества В является также элементом множества А. (В  А)
Пустое множество считают подмножеством любого множества. ( А )
Любое множество является подмножеством самого себя. (А  А )
Если число элементов множества B равно n, то число различных подмножеств данного множества 2n.
Множества А и В называются равными, если А  В и В  А. (А=В)
Задача. В каком отношении находятся множества А= {1,2, 3, 4,5} , В= {1,5,7, 9 }, C= {7, 9} D= {7, 9, 5, 1} ?

кругов Эйлера.

тех и только тех элементов, которые принадлежат как множеству А,

так и множеству В. (обоз. A  B )
A  B = {x | x  A и x  B}.
Пересечение любых множеств А и В всегда существует, и оно единственно.
Когда множества А и В не имеют общих элементов, то говорят, что их пересечение пусто ( АВ= ).
Операция, при помощи которой находят пересечение множеств, называется также пересечением.

 (ВС) = (АВ) С=АВС; - ассоциативность операции пересечения
5)

АВ АВ=А;

тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному

из множеств А и В. (обоз. A  B )
A  B = {х | х  A или х  B}.
Объединение любых множеств А и В всегда существует, и оно единственно.
Операция, при помощи которой находят объединение множеств, называется также объединением.

С=АВС;
5. АВ  АВ=В;

в выражении есть знаки пересечения и объединения множеств и нет

скобок, то сначала выполняют пересечение, так как считают, что пересечение более «сильная» операция, чем объединение.

и только те элементы, которые принадлежат множеству A и не

принадлежат множеству B. (обоз. A \ B).
A \ B = {x | x  A и x  B}.
Операция, при помощи которой находят разность множеств, называется вычитанием.
Если A  B= , A \ B = A
Если A  B, A \ B = 

A называется множество, содержащее те и только те элементы множества

A, которые не принадлежат множеству B. (обоз.BA)
B  A, A\B = BA
Задача. Пусть A = {1, 2, 3, 4, 5}, а B = {2, 4}. Найдите BA.

операция, чем вычитание. Объединение и вычитание множеств считают равноправными.
Задача. Расставьте

порядок действий в выражении A \ B  C   D.

\ C) \ B;
2. (A  B) \ C =

(A \ C)  (B \ C);
3. (A \ B)  C = (A C) \ (B  C);
4. A \ (B  C) = (A \ B)  (A \ C);
5. A \ (B  C) = (A \ B)  (A \ C).

..., Xn, если:
1) подмножества X1, X2, ..., Xn попарно не

пересекаются;
2) объединение подмножеств X1, X2, ..., Xn совпадает с мно­жеством X.
Пример правильной классификации: множество Х треугольников разбили на классы остроугольных, тупоугольных, прямоугольных.
Пример неправильной классификации: множество X треугольников разбили на классы равнобедренных, равносторонних и разносторонних треугольников

выделением его подмножеств, то классификацию можно выполнять при помощи свойств

элементов множеств.
Вообще, если на множестве X задано одно свойство, то это множество разбивается на два класса. Первый – это класс объектов, обладающих этим свойством, а второй – дополнение первого класса до множества X. Во втором классе содержатся такие объекты множества X, которые заданным свойством не обладают. Такую классификацию называют дихотомической.

первая — любая согласная из П, Р, С, а вторая

— любая гласная из А, У?

С={П, Р, С} и V = {А, У}

S={(П; A), (П; У), (Р; A), (Р; У), (С; A), (С; У)}

Задача 2. Составьте слоги, состоящие из двух букв, из которых первая — любая гласная из А, У, а вторая — любая согласная из П, Р, С?

С={П, Р, С} и V = {А, У}

М={(А; П), (У; П), (А; Р), (У; Р), (А; С), (У; С)}

всех пар, первая компонента которых принадлежит множеству А, а вторая

принадлежит множеству В. (обоз. A х B )
А х В = {(х; у)  хА и уВ}.
Если какое-либо из множества А и В пусто, то декартово произведение А х В считается пустым множеством.

это число элементов, из которых он состоит.
Например, (3; 6;

7) – это кортеж длины 3, (м, а, т, е, м, а, т, и, к, а) – это кортеж длины 10.

An называется множество всех кортежей длины n, первая компонента которых

принадлежит множеству A1, вторая – множеству A2, ..., n-я – множеству An. (A1  A2  ...  An).

А
(А х В) х С  А х

(В х С )

1. (АВ) х С = (АхС)  (ВхС)
2. (А\В) х С = (АхС) \ (ВхС)

двух множеств можно использовать
1. графы
2. таблицы
3. график 

= a - множество A содержит a элементов

n(A  B)

= n(A) + n(B) = a + b, если А и В не пересекаются
n(A1  A2  ...  At) = n(A1) + n(A2) + ... + n(At), если множества попарно не пересекаются
n(A  B) = n(A) + n(B) – n(A  B), если А и В пересекаются
Если B  A, то n(BA) =  n(A) – n(B)
n(A  B) = n(A)n(B) = аb

и 7.