Непрерывные функции и их свойства

если предел этой функции и ее значение в этой точке

равны, т.е.

1.1. Через односторонние пределы:

1.2. На языке e – d

точке х0, если для любой последовательности значений аргумента {xn}, сходящейся

к х0, последовательность соответствующих значений функций {f(xn)} сходится к f(x0).

Если то функцию f(x) называют непрерывной в точке х0 справа (слева). Если функция f(x) непрерывна в точке х0 и справа и слева, то она непрерывна в этой точке.

непрерывны в точке х0.
Тогда функции f(x)  g(x), f(x)g(x)

и f(x)/g(x) также
непрерывны в этой точке (последняя при g(x)0).
Доказательство. Теорема следует из определения
непрерывности функций.

f(x), если f(x) в точке х0 не является непрерывной.
Точка х0

называется точкой разрыва 1-го рода функции
f(x), если в этой точке функция имеет конечные, но не
равные друг к другу правый и левый пределы:

Если существует , но функция в точке x0 не определена, то разрыв функции в точке называется устранимым.

Пример.

если в этой точке функция не имеет по крайней мере

одного из односторонних пределов или хотя бы один из них из односторонних пределов бесконечен. Определение. Функция называется кусочно-непрерывной на отрезке [a,b], если она непрерывна во всех внутренних точках [a,b], за исключением, быть может, конечного числа точек, в которых имеет разрыв 1-го рода и, кроме того, имеет односторонние пределы в точках а и b. Определение. Функция называется кусочно-непрерывной на числовой прямой, если она кусочно-непрерывна на любом отрезке.

f(x) непрерывна в точке х0 и
f(x0)  0. Тогда существует

d > 0 такое, что для
всех х(х0 – , х0+) функция f(x) имеет тот же
знак, что f(x0).

определения 2 непрерывности функции для >0 >0 такое, что неравенство

|f(x) – f(x0)|< выполняется для всех х, удовлетворяющих неравенству |x – x0| < .
Или f(x0) –  < f(x) < f(x0) +  для всех х(х0 – , х0 + ). Возьмем  = f(x0). Тогда f(x) > 0 для всех х  (х0 – , х0 + ). Ч.т.д.

и на концах отрезка имеет значения разных знаков. Тогда существует

точка с(a,b), в которой f(с) = 0.

значение функции в середине [a,b] равно нулю, то теорема доказана.

В противном случае выберем тот из двух полученных отрезков, на концах которого f(x) имеет значения разных знаков, обозначим его [a1,b1]. Разделим его пополам. Если значение функции в середине отрезка [a1, b1] равно нулю, то теорема доказана. В противном случае выберем тот из двух полученных отрезков, на концах которого f(x) имеет значения разных знаков. Обозначим его [a2, b2]. И т.д. Получим последовательность [a,b][a1, b1][a2, b2]…[an, bn]… вложенных отрезков. По теореме о вложенных отрезках с, принадлежащая всем отрезкам, причем f (с)=0. Ч.т.д. Теорема имеет простой геометрический .смысл.

= A, f(b) = B. Пусть С – любое число,

заключенное между А и В.
Тогда на отрезке [a, b] найдется точка с такая, что f(с) = С.
Другими словами, непрерывная функция при переходе от одного значения к другому принимает и все промежуточные значения.

Теорема (вторая теорема Больцано-Коши)

на отрезке
[a,b], то она ограничена на этом отрезке.
Замечание.
Теорема

неверна, если отрезок [a, b] заменить интервалом
(а, b).

b], то она
имеет на этом отрезке наибольшее и наименьшее
значения.

Замечание
Разность между

наибольшим и наименьшим значениями
непрерывной функции f(x) на отрезке [a, b] называется
колебанием непрерывной функции.

Х, если для любого  > 0
существует  > 0

такое, что для любых двух точек х1, х2 Х,
удовлетворяющих неравенству |x2 – x1| < , выполняется
неравенство |f(х2) – f(x1)| < .

Символика:

Теорема Кантора (о равномерной непрерывности)
Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она и
равномерно непрерывна на нем.