Обработка экспериментальных данных

истинного значения измеряемой величины.
Причины появления:
условия эксперимента (влажность, температура

среды и др.),
дефект измерительного прибора,
его плохая регулировка (например, смещение указательной стрелки от нулевого положения) и т. д.
Методы устранения:
наладка аппаратуры
введение соответствующих поправок.

средней величины в ту или другую стороны при повторении измерений

и не могут быть устранены в эксперименте, как бы тщательно он ни проводился.
Причины появления:
Случайность
Методы устранения:
Статистическая обработка экспериментальных данных при повторении измерений достаточное число раз, поскольку с вероятностной точки зрения математическое ожидание случайной ошибки равно нулю.

обычно пропадают при повторении опыта.
Причины появления:
Случайность
Ошибка при проведении

опыта
Ошибка при записи результата
Методы устранения:
Повторное проведение опыта
Отбрасывание измерения с такими ошибками (в расчет при окончательной обработке результатов измерений эти точки не принимаются)

точки (xi, yi), как в случае интерполяции.


Это приводит к

тому, что экспериментальные данные в некоторой степени сглаживаются, а интерполяционная формула повторила бы все ошибки, имеющиеся в экспериментальных данных.

ней параметров.

u, и током, i, в резисторе определяется законом Ома:
u

= R∙ i ,
где R - активное сопротивление.
Задача сводится к определению одного неизвестного параметра R по известной линейной зависимости.

произвольным.
Первоначально выбирается из геометрических соображений: экспериментальные точки наносятся на

график и примерно угадывается общий вид зависимости путем сравнения полученной кривой с графиками известных функций (многочлена, показательной или логарифмической функций и т. п.).

данной экспериментальной зависимости)
Проверка линейности:
Если при этом k ≈ const, то

точки (xi, yi) расположены приблизительно на одной прямой

должна быть записана в виде

проверить путем вычисления вторых разностей:


При Δ2yi ≈ const квадратичный

трехчлен может быть выбран в качестве эмпирической формулы

Квадратный трехчлен

ее можно представить в виде


где φ - известная

функция, ai - неизвестные постоянные параметры, которые необходимо определить.

такие значения параметров, при которых эмпирическая формула дает хорошее приближение

данной функции.
Здесь не ставится условие (как в случае интерполяции) совпадения опытных данных yi со значениями эмпирической функции в точках xi. Разность между этими значениями (отклонения) обозначают через εi


И задача нахождения наилучших значений параметров a0, a1,…, am сводится к некоторой минимизации отклонений εi. Существует несколько способов решения этой задачи.

координатной плоскости наносится система точек. Затем проводится простейшая плавная линия

(например, прямая), которая наиболее близко примыкает к данным точкам. На этой линии выбираются точки, которые, вообще говоря, не принадлежат исходной системе точек. Число выбранных точек должно быть равным количеству искомых параметров эмпирической зависимости. Координаты этих точек тщательно измеряются и используются для записи условия прохождения графика эмпирической функции через выбранные точки

с использованием условия равенства нулю суммы отклонений во всех точках

xi:


Из одного уравнения нельзя однозначно определить все m+1 параметров. Однако, поскольку других условий нет, то имеющееся равенство путем группировки (достаточно произвольной) отклонений εi разбивается на систему, состоящую из m+1 уравнений.

условия минимума функции S = S(a0,a1,…,am).


Поскольку здесь параметры a0, a1,…,

am - независимые переменные функции S, то ее минимум находится из условия равенства нулю частных производных по этим переменным:
…

две функции
intercept (Х,Y)
slope (Х,Y).
Функция intercept (от англ. to

intercept – отсекать) возвращает значение коэффициента а.
Функция slope (англ. slope – наклон) – возвращает значение коэффициента b.

одна функция:
line (Х,Y)
Функция возвращает вектор, первый элемент которого – значение

коэффициента а, в второй – значение коэффициента b, вычисленных по методу наименьших квадратов.
Пример использования этой функции :

функция:
medfit (Х,Y)
Функция возвращает вектор, первый элемент которого – значение коэффициента

а, в второй – значение коэффициента b, вычисленных по методу медиан.
Метод медиан довольно примитивен по сравнению с методом наименьших квадратов, и в большинстве случаев дает худший результат. Однако у метода медиан есть одно преимущество: он куда менее чувствителен к наличию в выборке промахов, то есть точек, полученных с недопустимо высокой погрешностью. Поэтому к нему нужно обращаться, если данные плохо ложатся на прямую.
Пример использования этой функции :

связь между парами точек близка к линейной


Чем меньше отличается абсолютная

величина r от единицы, тем ближе связь между парами точек к линейной.
Если коэффициент парной корреляции равен нулю, то переменные X и Y называют некоррелированными

Пирсона)-




Если rn = 1, то связь линейна и a>0.

Если же rn = - 1, то связь линейна и a<0.
Коэффициент парной корреляции Пирсона вычисляют с помощью встроенной функции
corr(vx, vy),
vx и vy – вектора, содержащие анализируемые данные.

vg, присваивают предполагаемые значения параметров a, b и с.

комбинации произвольных функций (обобщенного многочлена)


φ (х)– функции заданного вида (базисные

функции). Задача аппроксимации сводится к задаче нахождения коэффициентов с.

vy, F).
vx и vy – вектора, содержащие исходные данные
F –

вектор, каждый элемент которого является базисной функцией.

В качестве результата функция linfit возвращает вектор коэффициентов .

комбинации произвольных функций


Задача аппроксимации сводится к задаче нахождения

коэффициентов.
Из всех видов регрессии этот является наиболее универсальным, однако и наименее точной и трудной в использовании.
Огромное влияние на точность расчета неизвестных параметров с помощью нелинейной регрессии оказывает близость значений начального приближения коэффициентов к истинным их величинам.

vy, g, F).
vx и vy – вектора, содержащие исходные данные

g — вектор приближений для неизвестных параметров.
F(x, g) — вектор-функция из n+1 элемента, где n — количество рассчитываемых параметров.
Первый элемент данной функции — это описывающая экспериментальную зависимость функция, параметры которой должны быть рассчитаны. Следующие n элементов вектор-функции F должны быть заполнены выражениями частных производных описывающей зависимость функции по искомым параметрам. Последовательность частных производных должна быть такой же, как последовательность приближений к соответствующим им параметрам в векторе g.
В качестве результата функция genfit возвращает вектор коэффициентов .
В отличие от всех остальных встроенных функций регрессии, точность результата вычислений с помощью genfit зависит от значения системной переменной TOL.

vy – вектора, содержащие исходные данные;
m – степень многочлена

В качестве результата функция regress возвращает вектор, в котором первые три элемента содержат некоторые значения, используемые функцией interp, а остальные – значения коэффициентов полинома в порядке возрастания степеней, начиная со свободного члена.
Далее можно применить функцию interp.

Для этого используется встроенная функция:
loess (х, у, span)

х — вектор действительных данных аргумента, элементы которого расположены в порядке возрастания;
у — вектор действительных данных значений того же размера;
span — параметр, определяющий размер отрезков полиномов (положительное число, хорошие результаты дает значение порядка span=0.75).
Функция возвращает вектор коэффициентов для построения регрессии данных отрезками полиномов.

Параметр span задает степень сглаженности данных. При больших значениях span регрессия практически не отличается от регрессии одним полиномом (span=2 дает почти тот же результат, что и приближение точек параболой).

а регрессия отрезками полиномов оказывается полезной в противоположном случае.

регрессии данных.
loess (x, z, span) —
вектор коэффициентов

для построения регрессии данных отрезками полиномов.
interp(s,x,z,v) —
скалярная функция, аппроксимирующая данные выборки двумерного поля по координатам х и у кубическими сплайнами.

соответствуют меткам х и у).
z — вектор действительных

данных размерности N.
k — степень полинома регрессии (целое положительное число).
span — параметр, определяющий размер отрезков полиномов.
s — вектор, созданный одной из сопутствующих функций loess или regress
v — вектор из двух элементов, содержащий значения аргументов х и у, для которых вычисляется интерполяция

например, для двумерной интерполяции, которая требует их представления в виде

матрицы NxN). В связи с этим данные представляются как вектор.

с m действительными числами возвращает m-мерный вектор сглаженных данных по методу скользящей

медианы, параметр n задает ширину окна сглаживания (n должно быть нечетным числом, меньшим m);
сглаживание алгоритмом «бегущих медиан»

и VY — n-мерные векторы действительных чисел. Параметр b (полоса пропускания) задает ширину

окна сглаживания ( b должно в несколько раз превышать интервал между точками по оси х );
сглаживание на основе функции Гаусса

линейного сглаживания методом наименьших квадратов по правилу k-ближайших соседей с

адаптивным выбором k. VX и VY — n-мерные векторы действительных чисел. Элементы вектора VX должны идти в порядке возрастания;
локальное сглаживание адаптивным алгоритмом, основанное на анализе ближайших соседей каждой пары данных