ОБЩЕЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ИСПЫТАНИЙ ЛЕКЦИЯ 3 Пример 1. Пусть имеется

содержащие белые и чёрные шары,
одинаковые по форме. Состав шаров в

1-ой урне: 2 белых и 3 чёрных; во 2-ой : 2 белых и 2 чёрных; в 3-ей: 3 белых и 1 чёрный. Из 1-ой урны случайно выбирается один шар и перекладывается во 2-ую урну. После этого из 2-ой урны также случайно один шар перекладывается в 3-ю урну. Наконец, из 3-ей урны какой-то из шаров перекладывается в 1-ую урну.
Таким образом, мы имеем последовательность трёх испытаний. Построим математическую модель опыта. Обозначим событие, состоящее в том, что
При k – ом перекладывании (k = 1, 2, 3) , был переложен белый шар ( - переложен чёрный шар). Тогда пространство элементарных событий имеет вид

1

исходов, например,

элементарное событие, состоящее в том,

Здесь каждое элементарное событие есть цепочка

что при каждом перекладывании последовательно был переложен белый шар.

последовательности испытаний
2
Пусть множеством элементарных событий является множество

(1)
Элементарное событие

интерпретируется как цепочка исходов в n последовательных испытаниях, каждое из которых имеет N несовместных исходов 1, 2,…, N. Причём,

(2)

(3)

Если , то

(4)

не зависят от событий ,
то последовательность испытаний называется последовательностью независимых испытаний.Она определяется равенствами (1), (4) и формулами

(5)

(6)

Последовательность независимых испытаний является математической моделью
серии опытов, повторяющихся в одинаковых условиях. Вероятностную схему,
Определяемую равенствами (1), (4) – (6) называют также полиномиальной
схемой испытаний. Частный случай полиномиальной схемы при N =2
называют схемой Бернулли или испытаниями Бернулли.
В испытаниях Бернулли существуют два исхода в каждо отдельном испытании.
Один из этих исходов можно назвать «успехом», другой – «неуспехом» и
соответствующие вероятности обозначить буквами и .
Для n испытаний Бернулли элементарные события удобно обозначать цепочками
длины n , составленными из букв У и Н :

3

число успехов в n испытаниях Бернулли, то

(7)
4
- вероятность

успеха в отдельном испытании.

Доказательство. Каждая цепочка исходов, по предположению, содержит ровно
m успехов и n – m неуспехов . Тогда, из равенства (5) следует, что вероятность любой такой цепочки равна . Но таких цепочек несколько, они отличаются расположением m успехов на n местах цепочки. Поэтому число таких цепочек , а общая вероятность существования m успехов в n испытаниях равна .

При больших n формула Бернулли (7) становится неудобной в использовании.
Существуют несколько приближённых асимптотических выражений, следующих из (7).

и

так, что то

при любом постоянном m , m = 0, 1, 2,….

Доказательство. Положив при текущем n, представим вероятность
в виде

Устремляя теперь n к бесконечности, получим

.

.

(8)

5

Ù , P) - произвольное

вероятностное пространство. Случайной величиной назовём действительную функцию такую,
что при любом действительном существует множество элементарных событий , входящих в алгебру событий Ù таких, что

Коротко это можно записать так

Ù

(9)

6

Так как операции над событиями не выводят за пределы алгебры событий Ù, то
из (9) следует, что

Ù,

Ù.

(10)

Для вычисления вероятностей указанных событий достаточно знать вероятность

(11)

Функция действительной переменной , называется
функцией распределения случайной величины .

то согласно аксиоме конечной аддитивности т.е.

x1

x2

x

Так как то

СВОЙСТВА ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

7

Теорема 3. Функция распределения обладает следующими свойствами:

Если , то .

2.

3.

, (непрерывность слева).

если
существует конечное или счётное множество чисел

таких, что

Случайная величина, имеющая дискретный закон распределения, называется
дискретной.
Закон распределения случайной величины называется непрерывным, если
существует неотрицательная функция такая, что при любом

Случайная величина, имеющая непрерывный закон распределения, называется
непрерывной.

Функция называется плотностью распределения вероятности .
Очевидно, что

8

.

Наиболее часто встречающиеся законы распределения
Дискретные законы распределения

1. Гипергеометрическое распределение

9

- натуральные числа,

2. Биномиальное распределение

натуральное
число

a < b
10
2. Нормальное распределение с параметрами
Если

то нормальное распределение называется стандартным
нормальным распределением.

3. Показательное распределение

называется независимой от случайной величины

, если закон распределения величины не зависит от того, какое значение приняла случайная величина .

Зависимость или независимость случайных величин всегда взаимны. Если
не зависит от , то и не зависит от .

Случайные величины называются независимыми , если закон распределения
каждой из них не зависит от того, какое значение приобрела другая.

Для независимых непрерывных случайных величин имеет место теорема
умножения законов распределения в форме

т.е. плотность распределения вероятности системы независимых случайных
величин равна произведению плотностей распределения вероятности
отдельных случайных величин, входящих в систему.