Особенности решения тригонометрических уравнений

Маргарита Петровна

о методах решения тригонометрических уравнений;
Уметь применять тригонометрические формулы для упрощения

выражений
Знать способы, позволяющие сделать отбор корней при решении тригонометрических уравнений;
Уметь распознавать вид тригонометрического уравнения, требующих для своего решения отбора корней;
Уметь правильно изображать на единичной окружности точки, соответствующие значениям тригонометрических функций, и в случае «табличных» значений уметь определять значения аргументов этих функций;
Владеть аппаратом способов решения тригонометрических уравнений, требующих для своего решения отбора корней.

у π/2 90°
1
120° 2π/3 π/3 60°

135° 3π/4 π/4 45°

150° 5π/6 1/2 π/6 30°



180° π -1 0 1 0 0° x
-1/2 ½ 2π 360 (cost)


210° 7π/6 -1/2 11π/6 330° [-π/6]

225° 5π/4 7π/4 315° [-π/4]

240° 4π/3 5π/3 300° [-π/3]

-1
270° 3π/2 [-π/2]
(sint)

что
cos t = а.
Причём, | а |≤ 1.
arccos(-

а) = π- arccos а

Примеры:

1)arccos(-1)

= π

2)arccos( )

Примеры:

а

- а

arcsin(- а)= - arcsin а

Арксинусом числа а называется
такое число (угол) t из [-π/2;π/2],
что sin t = а.
Причём, | а |≤ 1.

(-π/2;π/2),
что tg t = а .
Причём, а Є R.
arctg(-а)

= - arctg а

-а

arctg(-а )

Примеры:

1) arctg√3/3 =

π/6

2) arctg(-1) =

-π/4

из (0;π),
что ctg t = а.
Причём, а ЄR .

arcctg(- а) = π – arcctg а

- а

arcctg(- а)

1) arcctg(-1) =

Примеры:

3π/4

2) arcctg√3 =

π/6

≤ 1
или
Частные случаи
1) cost=0
t = π/2+πk‚ kЄZ
2) cost=1

t = 2πk‚ kЄZ

3) cost = -1
t = π+2πk‚ kЄZ

| а |≤ 1
или
Частные случаи
1) sint=0
t =

πk‚ kЄZ

2) sint=1
t = π/2+2πk‚ kЄZ

3) sint = - 1
t = - π/2+2πk‚ kЄZ

= arctg а + πk‚ k ЄZ
4. ctgt = а,

а ЄR

t = arcctg а + πk‚ kЄZ

+ b∙sinx + c=0
Пусть sinx = p, где |p| ≤1,

тогда a∙p² + b∙p + c = 0
Найти корни, вернуться к замене и решить простые уравнения.

2.Однородные
1)Первой степени:
Решаются делением на cos х (или sinx) и методом введения новой переменной.
a∙sinx + b∙cosx = 0
Т.к. sinx и cosx одновременно не равны нулю, то разделим обе части уравнения на cosx (или на sinx). Получим: простое уравнение
a∙tgx + b = 0 или tgx = m

sin²x) и методом введения новой переменной.
a∙sin²x + b∙sinx∙cosx + c∙cos²x

= 0
Разделим обе части на cos²x. Получим квадратное уравнение:
a∙tg²x + b∙tgx + c = 0.

3).Уравнение вида:
А sinx + B cosx = C. А, В, С  0

подстановка.
х   + 2n;

Проверка обязательна!

Понижение степени.
= (1 + cos2x ) : 2
= (1 – cos 2x) : 2

Метод вспомогательного аргумента.

- четная, то
.
Ответ:

к однородному уравнению.

Увидел сумму – делай произведение.

мы сужаем область определения.

2. Лишние корни:

возводим в

четную степень.
умножаем на g(х) (избавляемся от знаменателя).

Этими операциями мы расширяем область определения.

Потеря корней, лишние корни.