Применение метода масс при решении геометрических задач Исследовательская

15-ю Уральскую выставку НТТМ «Евразийские ворота России – Шаг в

будущее»
(Ем- математика)

Селезнева Анна

МАОУ «Гимназия № 80 г. Челябинска», 10 класс

и математик Архимед начал доказывать разные математические факты, используя свойство

барицентра, поэтому его считают основателем барицентрического метода.
Метод масс позволяет ответить на многие математические вопросы, в частности решить многие геометрические задачи, в том числе и задания №26 в ОГЭ, №16 в ЕГЭ. Решения с использованием барицентра зачастую не только сокращают время на нахождение ответа, но и оказываются более лёгкими, чем другие.
Данная тема является актуальной, т.к. в школьном курсе метод решения задач, рассматривается только на профильной математике.

геометрии масс, показать применение метода масс при решении геометрических задач.

которого в условиях задачи можно пренебречь, но у которого есть

масса

масс:

существование и единственность
правило рычага (m1d1=m2d2)
однородность
правило группировки

одной точке, и каждая из них делится точкой пересечения в

отношении 2:1, если считать от вершины

Доказательство (1 способ:
рассматривается в учебниках геометрии): 
Медианы BB1 и AA1 треугольника ABC 
пересекаются в точке О. Проведём среднюю линию A1B1 ||AB. Из этого следует, что углы 1 и 2, 3 и 4 равны как накрест лежащие. Треугольники AOB и A1OB1 подобны по двум углам, а их стороны пропорциональны. Из чего следует, что  AO:A1O=BO:B1O=AB:A1B1. Но AB=2A1B1,поэтому AO=2A1O и BO=2B1O.
 Таким образом, точка O пересечения медиан  AA1 и BB1 делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины. Аналогично доказывается, что точка пересечения медиан BB1 и CC1 делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины, и совпадает с точкой O.

1 грамму. Имеем систему трёх материальных точек 1M, 1N, 1P

с барицентром Z (по первому свойству).  Если массы точек 1M и 1P перенести в Е (по второму свойству), то положение барицентра не изменится (по третьему свойству). Масса точки E становится равной 2. Но тогда Z будет являться барицентром только для 1N и 2E. Таким образом, Z  принадлежит NE.  Доказательство для MB и PA аналогично. Все три медианы ΔMNP имеют общую точку пересечения Z. По правилу рычага (свойство 2), 2EZ=1ZN, следовательно ZN:EZ=2:1.

медиана BM, а из вершины A проведена чевиана AN, делящая

сторону BC в отношении
BN : NC = 1 : 2. Найдите отношение отрезка BO к OM.

две материальные точки равноудалены от M, массы их равны, следовательно

M является их барицентром. Перенеся массы 1A и 1C в барицентр, мы получаем материальную точку M с массой 2. Рассмотрим систему материальных точек 1C и XB с центром масс в N. По правилу рычага, в B должна располагаться масса, равная 2. Теперь перейдём к системе 2B и 2C. По правилу рычага, 2d1=2d2, из чего следует отношение BO:OM=2:2=1:1.

ВN: NC=1:7, а АМ: МС=2:5. Найти какую часть площади АВС

составляет площадь СМОN.

правилу рычага в точку А должна быть помещена масса, равная

5, так как
АМ: МС=2:5.
Аналогично в точку В помещена масса, равная 14, т. к. ВN: NC=1:7,
а в точке С масса 2.
Введем систему материальных точек 5А,14В, 2С с центром масс в точке О.

с центром масс в точке О. По правилу рычага АО:ОN=16:5=3:1.

Ответ:

= 5, ВС = 12. Пусть точка О – центр

окружности, вписанной в треугольник АВС. Прямая, проходящая через точку О, параллельна стороне АС, и пересекает две другие стороны в точках К и Р. Найдите длину отрезка КР.

треугольника делят противоположные стороны на пропорциональные отрезки:
Используя правило рычага,

расставим массы материальных точек: 12А, 5С, 13В. Точка О – центр масс для А, В, С. Найдем отношение

С, следовательно в точке В1 сосредоточена масса 17, в точке

В – 13.

Прямая КР параллельна АС, треугольник АВС подобен треугольнику КВР,

Ответ:

решению геометрических задач.

Кроме того, метод масс показывает связь математики

и физики.

Изучение данного метода будет полезным для школьников разного возраста, и может быть включён в программу подготовки к ЕГЭ или ОГЭ