Раздел 4 Колебания и волны

Л.Г.





Кафедра общей и экспериментальной физики НТУ «ХПИ»




Харьков -

физическую природу, в той или иной степени повторяющиеся во времени.
В

5.1.1. Понятие о колебательных процессах. Единый подход к колебаниям различной физической природы. Характеристики гармонических колебаний: смещение от положения равновесия, амплитуда, период, линейная и циклические частоты, фаза, начальная фаза.

5. ФИЗИКА КОЛЕБАНИЙ И ВОЛН. ОПТИКА
5.1. КИНЕМАТИКА СВОБОДНЫХ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ.
ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР

Механические колебания совершают маятники, струны, пружины.

Механическими являются колебания давления в упругой среде,
в которой распространяются звук или сейсмические колебания.

совершают напряжение и сила тока
в электрических сетях и колебательных контурах

Все эти колебания обусловлены двумя из четырёх фундаментальных взаимодействий в природе - гравитационным и электромагнитным.

и изменяющихся
при колебаниях, повторяются через равные промежутки времени,
наименьший из которых

Тела или системы тел, способные без внешнего воздействия
совершать колебания, называются колебательными системами.
Колебания, совершаемые без внешнего воздействия,
называются свободными.
Переменное внешнее воздействие обуславливает возникновение
в колебательной системе вынужденных колебаний.

Математический аппарат, описывающий все виды
колебательных процессов, является общим.
Независимо от физической природы колебаний, они описываются одинаковыми уравнениями и аналогичными параметрами.
Это позволяет широко использовать аналогии - закономерности,
полученные при изучении колебаний одного вида, переносить на другой вид.

Простейшими являются гармонические или синусоидальные колебания,
при которых колеблющаяся физическая величина S
(безразлично механическая или электромагнитная) изменяется со временем по гармоническому, т.е. синусоидальному закону :

S(t) = S0 sin (t) = S0 sin (t + 0) = S0 cos (t + 0*)

(0* = 0 - /2).

+ nТ), где n = 1,2,3....
Если колебательное движение может

то есть в виде ряда гармонических функций с частотами nω, кратными основной частоте, и амплитудами Аn, где n=1,2,3… - номер гармоники.

Гармонические колебания достаточно широко распространены
в природе. Всякий периодический процесс можно представить
как наложение большего или меньшего числа
гармонических колебаний (гармоник).

Математически это выражается в разложении периодической функции, описывающей колебательный процесс, в ряд Фурье.

со временем,
т.е. производная от гармонической функции S(t) по времени,
также изменяется

При механических колебаниях эта величина есть
скорость движения колеблющейся точки, т.е.

где v0 = S0 - амплитуда скорости.

При механических колебаниях эта величина есть ускорение точки, т.е.

.

;

v(t) = - S0.sin(t + 0) = - v0.sin(t + 0) = v0.cos(t + 0 + π/2)

Быстрота изменения скорости,
т.е. вторая производная от гармонической функции S(t) по времени, также изменяется по гармоническому закону:

,

а(t) = - S02.cos(t + 0) = - a0 cos(t + 0) = a0 cos(t + 0 + )

где а0 = S02 - амплитуда ускорения.

.

,

ускорение, принимают вид:
S(t) = S0 sin(t),
v(t) = v0 sin (t

вращающегося вектора. Комплексная форма представления колебаний.
Гармонические колебания удобно сопоставлять с

Выбирается горизонтальная ось Х, называемая опорной линией. Из некоторой точки О на этой линии проводится вектор , называемый вектором амплитуды, модуль которого равен амплитуде S0, направленный под углом, равным начальной фазе колебаний 0, к опорной линии.

Вектор амплитуды равномерно вращается против часовой стрелки
с угловой скоростью, равной циклической частоте  колебаний.
В момент времени t вектор амплитуды составляет с осью Х угол, равный фазе колебаний (t) = t + 0. Соответственно, проекция вектора на ось Х совершает колебания по гармоническому закону: S(t) = S0 cos(t + 0).
Описанный метод называется методом векторных диаграмм.

комплексной формой записи уравнений колебаний.
Для этого необходимо воспользоваться формулами Эйлера:
Здесь

Комплексная форма записи гармонического колебания имеет вид:

где - комплексная амплитуда колебаний.
Физический смысл имеют только отдельно
действительная и мнимая части комплексного уравнения.

Сложение гармонических колебаний одного направления.

Одной из фундаментальных задач теории колебаний является задача
нахождения уравнения движения, являющегося суперпозицией
двух или нескольких гармонических скалярных или векторных колебаний.
Сложение векторных колебаний всегда можно свести к сложению колебаний одного направления и взаимно перпендикулярных колебаний.

Рассмотрим задачу о сложении двух гармонических колебаний
одинаковой частоты и одного направления
(сложение скалярных колебаний или сложение колебаний двух коллинеарных векторов).
Уравнения этих колебаний имеют вид:

Уравнение результирующего колебания представляет собой сумму:

Задача нахождения функции S(t) решается методом векторных диаграмм.

.
Поскольку циклическая частота  складываемых колебаний одинакова,

(1)

Вектор амплитуды результирующего колебания совпадает с диагональю параллелограмма и вращается с той же угловой скоростью .
Длина его не изменяется со временем и может быть определена
по теореме косинусов:

фаза 0 может быть определена из векторной диаграммы:
Таким образом,

(2)

в которой амплитуда S0 определяется формулой (1), а начальная фаза 0 - формулой (2).

Главным результатом является то, что
амплитуда результирующего колебания S0 и его интенсивность I, пропорциональная квадрату амплитуды (I  S02),
не являются суммой амплитуд и интенсивностей составляющих колебаний, а существенным образом зависят от разности фаз  складываемых колебаний.

где n =1,2,3,...  S0 = S01 +

Этот вывод является предпосылкой к рассмотрению явления интерференции.

Рассмотренные выше колебания являются когерентными.
Когерентные колебания происходят согласовано во времени так,
что разность их фаз остаётся постоянной.
Гармонические колебания одинаковой частоты всегда когерентны.

Гармонические колебания с разными частотами (1  2) - не когерентны, так как разность фаз складываемых колебаний непрерывно меняется.
Векторы амплитуды и вращаются с разными скоростями,
а построенный на них параллелограмм непрерывно деформируется.
Результирующее колебание не является гармоническим.

Особый интерес представляет сложение одинаково направленных гармонических колебаний с разными, но близкими частотами - |1-2|<<1 .
Результирующие колебания являются негармоническими и называются биениями.

одинаковы, а начальные фазы равны 0.
Уравнение результирующего колебания можно представить

Частота  = |1-2| называется
частотой биений, а величина Тб=2/ называется периодом биений.

Характер зависимости S(t)
при биениях представлен на рисунке.

Величина называется условной амплитудой биений и
изменяется от 0 до 2S0 c циклической частотой

2S0

-2S0

сложения колебаний.
Рассмотрим задачу о сложении взаимно перпендикулярных гармонических колебаний материальной

где х и y - декартовы координаты точки М.

Эти уравнения представляют траекторию точки М в параметрическом виде (параметром является время t). Для получения уравнения траектории
в аналитическом виде необходимо из этих уравнений исключить параметр t.

Это уравнение эллипса с неприведенными осями.
Точка М описывает этот эллипс за время Т = 2/. Результирующее движение точки М называют эллиптически поляризованным колебанием.
Форма эллипса и ориентация его осей зависят от разности фаз складываемых колебаний и от их амплитуды.

2, 3, ...
Уравнение движения точки М имеет вид:
Точка совершает колебания

т.е. её движение ограничено точками с координатами (x0,y0) и (-x0,-y0).

2)  =(2m + 1), где m = 0,1,2,3, ...

Уравнение движения точки М имеет вид:

Точка совершает колебания вдоль прямой, проходящей через второй и четвёртый квадранты с амплитудой

т.е. её движение ограничено точками с координатами (-x0,y0) и (x0,-y0).

Колебания, совершаемые точкой М в первом и втором случаях, называются линейно поляризованными.

0,1,2,3, ...
Уравнение движения точки М имеет вид:
Точка совершает движение

Такое колебание называется циркулярно поляризованным или поляризованным по кругу.

Если х0 = y0 , то траектория точки М обращается в окружность.

Колебания, совершаемые точкой М в третьем случае, называются эллиптически поляризованными.

то результирующее движение
будет представлять собой сложную кривую линию.
Замкнутые траектории, прочерчиваемые

где p и q - целые числа.

Фигуры Лиссажу вписываются в прямоугольник с центром в начале координат и длиной сторон 2х0 вдоль оси ОХ и 2y0 вдоль оси ОY.
Отношение числа касаний кх и кy фигуры Лиссажу
с соответствующими сторонами прямоугольника
обратно пропорционально отношению соответствующих частот:

Наиболее простой вид имеют фигуры Лиссажу для колебаний с кратными частотами:

можно определить неизвестную частоту сигнала, подаваемого на одну из пар

Наблюдение фигур Лиссажу - удобный метод исследования соотношений между периодами и фазами колебаний, а также формы колебаний.
Это обуславливает широкое применение метода в электро- и радиотехнике.

Период колебаний точки М равен наименьшему общему кратному
периодов складываемых колебаний вдоль осей ОХ и ОY.

и нелинейные колебательные системы.
Всякое устройство, способное совершать гармонические колебания, называется

из которого следует, что гармонически изменяющаяся величина S удовлетворяет дифференциальному уравнению :

(1)

(2)

Уравнение (1) является общим решением дифференциального уравнения (2), а S0 и 0 - произвольные постоянные величины, значения которых определяются начальными условиями (т.е. при t = 0).

Уравнение (1) является кинематическим, а уравнение (2) - динамическим дифференциальным уравнением гармонических колебаний.

производная входит в уравнение в первой степени).
Физические системы, совершающие колебания,

Примеры нелинейных колебательных систем:
1) Механические системы тел, модули упругости которых зависят от деформации.
2) Электромагнитные системы, содержащие сегнетоэлектрики или ферромагнетики,
диэлектрическая и магнитная проницаемости которых зависят
от напряжённости электрического или магнитного полей.
К нелинейным системам не применяется принцип суперпозиции колебаний. Однако, именно эта особенность нелинейных систем позволяет с их помощью осуществлять генерирование и преобразование частоты электромагнитных колебаний - выпрямление, умножение частоты, модуляцию колебаний.

маятник.
Математический маятник - это идеализированная система, состоящая из материальной точки

Материальная точка А отклоняется от положения равновесия на угол  против часовой стрелки, а затем отпускается.
Сила тяжести создаёт вращательный момент М,

где I = m2 - момент инерции материальной точки; - угловое ускорение.

стремящийся вернуть точку в положение равновесия (по часовой стрелке).

Сила натяжения нити не создаёт вращательный момент, так как её направление проходит через точку подвеса.

Основное уравнение вращательного движения имеет вид:

(если угол  невелик, то sin  ).

Т.о. уравнение движения маятника принимает вид:

колебаний следует, что
и
.
частота и период колебаний математического маятника равны

Решением дифференциального уравнения является:

где 0 и 0 - постоянные величины, определяемые начальными условиями.

Поскольку угол  мал, то линейное отклонение точки А от положения равновесия (от точки 0) можно выразить через проекцию её на ось 0Х.

Его решением является уравнение:

В этом случае движение (колебание) точки А описывается дифференциальным уравнением:

где х - координата точки А,
а х0 и 0 - постоянные величины, определяемые начальными условиями.

на пружине и совершающее колебания под действием силы упругости.
Динамическое уравнение

Поскольку движение происходит вдоль оси ОХ, то
сила упругости в соответствии с законом Гука равна: Fупр= -kх (k - коэффициент жёсткости пружины), а ускорение ах= .

Таким образом, уравнение движения
в скалярной форме представляется так:

Из сравнения уравнения движения пружинного маятника
с дифференциальным уравнением гармонических колебаний
следует, что и





Решением динамического уравнения является кинематическое уравнение:

где х0 и 0 - постоянные величины, определяемые начальными условиями.

в простом колебательном контуре, состоящем из конденсатора с электроёмкостью С,

Конденсатор заряжается путём сообщения его обкладкам электрического заряда +q и -q. При этом между обкладками возникает напряжение U=q/C.
В результате перетекания зарядов с одной обкладки на другую в контуре возникает электрический ток, сила которого равна . Нарастающий электрический ток возбуждает в контуре ЭДС самоиндукции: . Согласно второму правилу Кирхгофа си= U или . Это уравнение является
дифференциальным уравнением идеального колебательного контура.

В стандартной форме оно имеет вид:

Сравнение его с дифференциальным уравнением
гармонических колебаний позволяет выразить
частоту и период колебаний идеального контура:

Формула, определяющая период колебаний называется формулой Томсона.

,



Решением дифференциального уравнения является :

где q0 и 0 - постоянные величины, определяемые начальными условиями.

в механической системе происходит периодическое преобразование кинетической энергии системы в

Очевидно, что полная механическая энергия колебательной системы в процессе колебаний не меняется.

На рисунке представлены
временные зависимости
кинетической и потенциальной энергии механического осциллятора.

происходит периодическое преобразование энергии электрического поля Wэ конденсатора в энергию

Колебания, происходящие в электрическом колебательном контуре, называются электромагнитными.
Колебания электрической и магнитной (Wэ и Wм) составляющих происходят в противофазе, то есть, в те моменты, когда энергия электрического поля обращается в нуль, энергия магнитного поля становится максимальной, и наоборот.
Полная же энергия электромагнитных колебаний в контуре
с течением времени не изменяется:

График зависимостей Wэ(t) и Wм(t) выглядит аналогично
графику зависимостей Wп(t) и Wк(t) соответственно.

колебания и их дифференциальное уравнение.
Логарифмический декремент затухания, добротность, время релаксации.

Свободные колебания в реальных системах всегда с течением времени затухают.
Затухание колебаний обусловлено потерей энергии системой с течением времени.
Затухание механических колебаний обусловлено трением, сопротивлением окружающей среды и возбуждением в ней упругих волн.
Затухание электромагнитных колебаний контура обусловлено тепловыми потерями в проводниках, потерями на излучение электромагнитных волн.
В нелинейных колебательных системах - тепловыми потерями в диэлектриках и ферромагнетиках вследствие электрического или магнитного гистерезиса.

Получим дифференциальное уравнение затухающих колебаний линейных систем.

1. Механическая система - пружинный маятник.

Материальная точка массой m, прикреплённая к пружине с жёсткостью k, совершает колебания в вязкой среде вдоль оси ОХ. На такой пружинный маятник действуют две силы:

1) сила упругости Fупр = - kх (в соответствии с законом Гука);

2) сила сопротивления вязкой среды , пропорциональная скорости v движения и направленная против движения (r - коэффициент вязкости среды).

В стандартной форме это уравнение имеет вид:

или

где

,

2. Электромагнитная система система –
электромагнитный колебательный контур.

В реальных колебательных контурах электрическое сопротивление проводников R не равно 0.
Поэтому в уравнении, выражающем второе правило Кирхгофа,

необходимо учитывать падение напряжения на активном сопротивлении контура:

или

В стандартной форме это уравнение имеет вид:

или

где

,

.

можно представить в обобщённой форме:

Это уравнение является дифференциальным уравнением
свободных затухающих колебаний линейных систем, где

S - изменяющаяся при колебаниях физическая характеристика системы,
 - коэффициент затухания колебательной системы,
0 - циклическая частота свободных незатухающих колебаний
той же системы в отсутствие потерь ( = 0).

Это линейное, однородное дифференциальное уравнение имеет
следующее решение:

в котором величина называется

условной частотой затухающих колебаний.
а постоянные величины S0 и 0 находятся из начальных условий,
то есть по значениям:

S, достигаемое в некоторый момент времени, далее не повторяется. Однако,

а величина S0 - начальной амплитудой затухающих колебаний.

Величина называется амплитудой затухающих колебаний,

Амплитуда затухающих колебаний уменьшается с течением времени по экспоненциальному закону тем быстрее, чем больше коэффициент затухания .

S(t)

t



Зависимости S(t) и для затухающих колебаний представлены на рисунке.

Промежуток времени , в течение которого амплитуда затухающих
колебаний уменьшается в е раз, называется временем релаксации:

затухания, определяющий, во сколько раз уменьшается амплитуда затухающих колебаний за

Часто для характеристики затухающих колебаний более удобно использовать не декремент, а логарифм декремента затухания. Эта величина называется логарифмическим декрементом затухания:

где N - число колебаний, в течение которых амплитуда уменьшается в е раз.

Для характеристики быстроты убывания энергии колебательной системы
за один условный период затухающих колебаний вводится добротность Q :

(здесь использовано приближение - при <<1 e-2T  1 - 2T).

Для пружинного маятника :

для электромагнитного колебательного контура:

(здесь - волновое сопротивление колебательного контура).

под воздействием синусоидальной силы.
Процесс

Под действием переменной внешней силы механическая система совершает
вынужденные колебания.
Получим дифференциальное уравнение вынужденных колебаний простейшей линейной колебательной системы – пружинного маятника, происходящих вдоль оси ОХ под действием вынуждающей силы, изменяющейся по гармоническому закону:

Fx(t) = F0cos(t),

где F0 - амплитуда вынуждающей силы,  - частота вынуждающей силы.

Вынужденные колебания пружинного маятника совершаются под действием трёх сил: силы упругости, силы сопротивления среды и вынуждающей силы.
Их динамическое уравнение имеет вид: Fупр + Fсопр + Fx = ma или

сумма общего решения х1(t) однородного уравнения (аналогичного уравнению затухающих колебаний)

В стандартной форме уравнение вынужденных колебаний имеет вид:

Первое решение х1(t) играет роль только в процессе установления вынужденных колебаний.
Его амплитудное значение, равное х0.е-t , более или менее быстро уменьшается.
За время 0=ln100/β амплитуда затухающих колебаний уменьшается в 100 раз.

переходит в состояние установившихся вынужденных колебаний, совершающихся с частотой 

Значения амплитуды А и начальной фазы 0В вынужденных колебаний зависят от соотношения между частотой  вынуждающей силы и частотой 0 собственных (свободных незатухающих) колебаний, а также от коэффициента затухания :

При  = 0 0В = 0 и

То есть, под действием постоянной силы Fx=F0 происходит статическое смещение маятника от положения равновесия.
При    0В   и А() 0.

значения :
Резонансное значение амплитуды равно:
Резкое возрастание амплитуды вынужденных механических колебаний

По мере увеличения коэффициента затухания  пики на резонансных кривых сглаживаются, а резонансная частота р уменьшается.

Графики на рисунке называются
резонансными кривыми.

Явление механического резонанса используется в акустике для анализа звуков и их усиления.
В различных сооружениях, машинах и механизмах, подвергающихся периодически изменяющимся нагрузкам, явление резонанса может играть отрицательную роль и приводить к их поломке и даже разрушению. Для предотвращения резонанса необходимо либо устранять периодически действующую силу, либо добиваться большой разности между собственной частотой колебаний устройства и частотой возмущающей силы.

электромагнитном колебательном контуре в него нужно включить источник энергии,
ЭДС которого

где 0 – амплитудное значение ЭДС,
 - частота переменной ЭДС.

Второе правило Кирхгофа в этом случае имеет вид:

В стандартной форме уравнение вынужденных колебаний имеет вид:

Это уравнение является дифференциальным уравнением
вынужденных электромагнитных колебаний контура
(по структуре оно полностью соответствует уравнению для механических колебаний).
Решение уравнения, как и в случае механических колебаний, является
суммой общего решения однородного уравнения q1(t) и
частного решения неоднородного уравнения q2(t).

В наиболее простом случае ЭДС изменяется по гармоническому закону:

~(t)

q2(t).
Амплитуда q0 и начальная фаза 0В вынужденных электромагнитных колебаний находятся

Если учесть, что то эти формулы приобретают вид:

Сила тока при установившихся вынужденных колебаниях в контуре равна:
I = = - q0 sin(t + 0В) = q0 cos(t + 0В + /2) = I0cos(t - ),
где I0 = q0 - амплитудное значение силы тока,
 = - (0В +/2) – сдвиг фаз между током и напряжением в контуре.

между током и напряжением определяются формулами:
Графики зависимостей I0() и ()

Зависимости I0() при разных R называются резонансными кривыми колебательного контура. Максимальный ток в контуре возникает в случае, когда
L - 1/C = 0 или при частоте внешнего напряжения, равной:

Эта частота называется резонансной.
Рассмотренное явление называется резонансом напряжений.
Амплитуда силы тока при резонансе напряжений равна: I0(р) = 0/R,
а сдвиг фаз между током и напряжением: (р) = 0.

волны. Упругие волны в твёрдых

Волны - это изменения состояния среды (возмущения), распространяющиеся в среде или вакууме и несущие с собой энергию.
Основное свойство волн, не зависящее от их природы - это перенос энергии без переноса вещества.

В реальных колебательных системах амплитуда колебаний с течением времени уменьшается из-за рассеяния энергии в окружающей среде.
Это происходит в результате возбуждения в среде
механических или электромагнитных волн.
В природе и технике встречается три типа волн:
1) упругие; 2) электромагнитные; 3) волны на поверхности жидкости.

2) цуг - ограниченный ряд

В продольной волне возмущения (смещения) происходят в направлении распространения волны. Пример - звук.
В поперечной волне возмущения (смещения) перпендикулярны направлению распространения волны. Примеры - колебания струны, электромагнитные волны.

Волны на поверхности жидкости возникают под влиянием внешнего воздействия, выводящего жидкость из состояния равновесия.
В результате этого возникают силы, восстанавливающие равновесие –
силы поверхностного натяжения и гравитации.
Молекулы в этом случае совершают движение по эллипсу.
Таким образом, эти волны не являются ни продольными, ни поперечными.
Это особый вид волн, математическое описание которых достаточно сложное.

процесс распространения механических колебаний в упругой среде.
Упругая (сплошная) среда -

Механические продольные волны
связаны с объёмной деформацией среды - сжатием и растяжением.
Они могут возникать как в твёрдых телах, так и жидкостях и газах.
Механические поперечные волны
связаны с деформацией формы среды - сдвигом.
Они могут возникать
только в твёрдых телах.

волновое число и волновой вектор. Связь фазовой скорости с волновым

Упругая волна называется гармонической, если соответствующие ей колебания частиц среды являются гармоническими.

На рисунке представлен график гармонической поперечной волны, распространяющейся со скоростью вдоль оси Х. Источник колебаний находится в начале координат.
На графике S(x,t*) изображена зависимость смещения S частиц среды от их координаты x в некоторый фиксированный момент времени t*.

Аналогично может быть представлен график S(x*,t) зависимости смещения S любой частицы среды с фиксированной координатой х* от времени t.

Расстояние между ближайшими точками,
колеблющимися в одинаковой фаза, называется длиной волны  .
Длина волны равна тому расстоянию, на которое распространяется определённая фаза колебания за один период, то есть:

λ = vT = v/ ν

(здесь  - линейная частота колебаний).

t* - фиксировано

S(x,t*)

v.
В фиксированный момент времени волновых поверхностей существует бесчисленное множество, а

Если источник колебаний находится в некоторой среде,
то с течением времени в колебательный процесс
будут вовлекаться всё новые области этой среды.

Геометрическое место точек, до которых доходят колебания к моменту времени t, называется волновым фронтом.

Геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе, называется волновой поверхностью.

Распространение механических волн в среде связано
с переносом энергии (в отличие от стоячих волн).
Поэтому такие волны принято называть бегущими.

(х = 0) и
совершает колебания по закону:

Это и есть уравнение плоской бегущей волны.
Если волна распространяется в противоположном оси Х направлении,
её называют встречной волной, а её уравнение имеет вид:

Для характеристики волн используется волновой вектор, ориентированный вдоль направления распространения волны и равный:

Фазовая скорость и волновой вектор связаны друг с другом соотношением:

волны представить:
- в экспоненциальной форме
(на основании формул Эйлера),

- в векторной форме

- в скалярной форме







Уравнение сферической волны, волновые поверхности которой - концентрические сферы, записывается так:

где S0(r) ~1/r; r - расстояние от источника колебаний до рассматриваемой точки сферы (r значительно превышает размеры источника волны).
Амплитуда сферической волны даже в среде, не поглощающей энергию, убывает обратно пропорционально расстоянию от источника волны.

,
а оба эти вектора перпендикулярны волновой поверхности.
Фазовая скорость

Фазовая скорость поперечной волны в струне равна:

где Е - модуль Юнга,  - плотность материала стержня
(Е = σ/ε,  = F/S - механическое напряжение,
 = l/l - относительное удлинение стержня).

где G - модуль сдвига,  - плотность материала струны
(G = /,  = F/S - напряжение сдвига;  - деформация сдвига).

Скорость распространения гармонической волны является
фазовой скоростью.
Она равна скорости перемещения волновой поверхности
(то есть точек, имеющих определённое значение фазы:  = const).
В случае плоской гармонической волны из условия
(t,x) = t - kx + 0 = const следует:

Х со скоростью v. называемое волновым уравнением.
Кинематическое уравнение такой волны:

Отсюда следует волновое уравнение плоской гармонической волны:

Кинематическое уравнение плоской гармонической волны

является решением этого дифференциального уравнения.

где  - оператор Лапласа, равный:

В общем случае распространение волн в однородной
изотропной среде описывается волновым уравнением:

Решениями дифференциальных уравнений являются
кинематические уравнения плоских или сферических волн.

распространяется механическая волна, обладает как кинетической энергией колебательного движения частиц,

Выделим в среде малый объём V такой, что для всех его частиц
производные (S/ t) и (S/ x) были одинаковыми.

Кинетическая энергия частиц этого объёма равна:

Потенциальная энергия равна:

Полная энергия равна:

которой распространяется волна, обладает
дополнительным запасом энергии.
Волна переносит эту энергию от

Интенсивность потока характеризуется плотностью потока энергии –
векторной величиной, направленной в сторону переноса энергии,
численно равной потоку энергии через единичную площадку, перпендикулярную этому направлению.

По модулю плотность потока энергии равна:

А в векторной форме:

Этот вектор называется
вектором Умова.

Если плотность потока энергии в среде постоянна, то Р = J.S.

Если же она в разных точках различна , то

Когерентность. Интерференция синусоидальных волн.

В линейных средах, свойства которых не изменяются при распространении
в них волн, волновые процессы подчиняются принципу суперпозиции -

При сложении в пространстве когерентных волн наблюдается явление интерференции - усиление или ослабление результирующей волны
в зависимости от соотношения между фазами этих волн.

Особый интерес представляет суперпозиция когерентных волн.
Обычно амплитуда, частота и фаза волн,
излучаемых реальными источниками, изменяется беспорядочно.

Когерентными могут быть только волны, имеющие одинаковую частоту.
К когерентным волнам применимы известные законы сложения колебаний.

Если при этом разность фаз двух или нескольких волн
остаётся постоянной во времени, то волны называются когерентными.

результирующее возмущение в какой-либо точке линейной среды
при одновременном распространении в ней нескольких волн равно
сумме возмущений, соответствующих каждой из этих волн.

в направлениях и соответственно.
Уравнения этих волн:
S1(r,t)

в котором амплитуда определяется формулой:

где  = kr (при 01 = 02).

Величина r называется геометрической разностью хода волн.
Формула устанавливает
связь между разностью фаз и разностью хода волн.

в которых выполняется условие:
наблюдается усиление интенсивности результирующей волны.
Эти точки

В точках, в которых выполняется условие:

наблюдается ослабление интенсивности результирующей волны.
Эти точки соответствуют интерференционным минимумам.

Число m называется порядком интерференционного
максимума или минимума.

стоячие волны,
которые образуются при наложении двух встречных бегущих волн
с одинаковой

Точки, в которых амплитуда равна нулю, называются
узлами стоячей волны.

Все точки между соседними узлами колеблются в одинаковых фазах,
но с

Из этих уравнений следует, что:
1) расстояние между любыми соседними пучностью и узлом равно: хпу = λ/4,
2) расстояние между двумя соседними пучностями или двумя соседними узлами
равно: хпп = хуу = λ/2 .

Узлы S0ст=0

Пучности S0ст=2S0

от более плотной среды
волна меняет фазу на противоположную.
Поэтому на границе

Бегущая и отражённая волны несут
одинаковую энергию в противоположные стороны,
поэтому полная энергия результирующей стоячей волны,
заключённая между узлами, остаётся постоянной.
Таким образом, стоячая волна не переносит энергию в пространстве. Отсюда возникло название - стоячая волна.
Только в пределах расстояния, равного половине длины волны,
происходит взаимное превращение кинетической энергии движения частиц
в потенциальную энергию их взаимодействия (энергию деформации)
и обратно.

соответствуют частоты, которые называются собственными:
Частота 1=v/2l
называется основной.
Например, в струнах

Фигуры Хладни образуются мелким песком вблизи пучностей на поверхности упругой колеблющейся пластинки.

Трубка Кундта - простое приспособление для демонстрации стоячих звуковых волн.

её связь с фазовой скоростью.

В пределах пакета волны в большей или
меньшей степени усиливают друг друга,
вне пакета - практически полностью гасят друг друга.

Понятие фазовой скорости имеет смысл только для монохроматических волн. Реально существуют ограниченные цуги волн.
Любую ограниченную волну можно представить, как наложение большого числа монохроматических волн с различной частотой.

Суперпозиция волн с мало отличающимися частотами, занимающими в каждый момент времени ограниченную область пространства, называется
группой волн или волновым пакетом.

Если дисперсии нет, то волновой пакет распространяется со скоростью, равной фазовой.
В диспергированных средах волновой пакет со временем расплывается.

Скорость распространения волн может зависеть от частоты (длины волны).
В этом случае наблюдается дисперсия волн.

можно приписать некоторую скорость u, называемую групповой, которая характеризует скорость

В диспергированной среде групповая скорость отличается от фазовой.
В зависимости от знака производной групповая скорость может быть больше или меньше фазовой:

Групповая скорость всегда меньше скорости света в вакууме u < с.
Для фазовой скорости таких ограничений не существует.
Обычно понятие групповой скорости вводится для сред с малым поглощением энергии.

если дисперсия называется нормальной и u < v,
если дисперсия называется аномальной и u > v,
если дисперсии нет и u = v.

для электромагнитной волны. Скорость распространения электромагнитных волн в средах. Закон

Электромагнитные волны - это возмущения электромагнитного поля, распространяющиеся в пространстве. Существование электромагнитных волн вытекает из уравнений Максвелла.

Из уравнений Максвелла следует, что в однородной изотропной среде
вдали от электрических зарядов и токов, создающих электромагнитное
поле, векторы напряжённости электрического и магнитного полей
удовлетворяют волновым уравнениям:

Решающую роль в утверждении теории Максвелла явились опыты Герца (1888 год), доказавшие, что электромагнитное поле, действительно, распространяется в виде волн.

Здесь  - лапласиан, v - фазовая скорость,
определяемая законом Максвелла:

совпадает со скоростью света в вакууме.
В вакууме v = c, а в любой среде r r > 1 и v < c.

равной c = 3.108 м/с. Этот факт указывает на
глубокую

Следствием теории Максвелла является поперечность электромагнитных волн. Векторы напряжённости электрического и магнитного полей взаимно перпендикулярны и лежат в плоскости, перпендикулярной вектору скорости распространения волн:

Из теории Максвелла следует,
что векторы
колеблются в одинаковых фазах,
причём мгновенные значения Е и Н
в любой точке связаны соотношением:

Векторы образуют правую тройку векторов .

образуют правую тройку векторов, то волновые уравнения можно записать в

(другие компоненты векторов равны нулю).

Этим уравнениям, в частности, удовлетворяет плоская монохроматическая электромагнитная волна, описываемая уравнениями:
Еy = E0 cos (t -kx + 0), Hz = H0 cos (t -kx + 0)

(фазы колебаний одинаковы).

Если векторы в электромагнитной волне колеблются каждый
в определённой плоскости, то волна называется линейно поляризованной.
Плоскость, в которой колеблется вектор , называется плоскостью поляризации. Если концы векторов описывают эллипсы в плоскости, перпендикулярной вектору , то волна называется эллиптически поляризованной, если окружности - то циркулярно поляризованной.

радиосвязи Поповым. Работы Пильчикова.
Источником электромагнитного (ЭМ) поля является любой колебательный

В закрытом колебательном контуре электрическое поле сосредоточено
внутри конденсатора, а магнитное - внутри катушки индуктивности.

Генрих Герц в своих опытах (1888 г.) использовал
открытый колебательный контур - так называемый вибратор Герца.

к высокочастотному трансформатору - индуктору (катушке Румкорфа).
Когда

Идея Герца состояла в том, что он уменьшил по возможности число витков катушки и площадь пластин конденсатора и раздвинул пластины так, что переменное электромагнитное поле заполняло окружающее контур пространство.

Для регистрации электромагнитных волн Герц использовал другой вибратор - резонатор, имеющий такую же собственную частоту, как и вибратор (то есть резонатор настроен в резонанс с вибратором).
Когда электромагнитные волны достигали резонатора,
в его зазоре возникала искра. Полученные таким образом ЭМ волны имели длину   3 м и частоту   108Гц.

При исчезновении искры контур размыкался и колебания прекращались.
Затем индуктор снова заряжал конденсатор,
и процесс возобновлялся.

массой m1200 кг) Герц осуществил отражение и преломление ЭМ волн,

Герцу удалось также с помощью металлических зеркал получить
стоячие электромагнитные волны, что позволило точно измерять длину ЭМ волны и её скорость, которая оказалась равной с - скорости света в вакууме.

С помощью решётки, состоящей из параллельных друг другу
металлических проволок, он доказал поперечность электромагнитных волн
(когда проволоки были ориентированы параллельно вектору ,
то решётка пропускала ЭМ волну без помех).

устройств для генерирования и приёма миллиметровых ЭМ волн (=4-6 мм),
установил

Так были получены ЭМ волны в диапазоне длин волн  от 50 мм до 80 мкм, т.е. был перекрыт диапазон между радиоволнами и инфракрасным излучением.

ЭМ волны, полученные в описанных экспериментах, имели малую мощность.
В 20-х годах генерирование электромагнитных волн стали осуществлять
с помощью электроламповых генераторов –
автоколебательных систем, позволяющих получать колебания
заданной мощности, имеющие синусоидальную форму.

В 1923 году профессор Московского университета
А.А.Глаголева-Аркадьева сконструировала

массовый излучатель в котором короткие ЭМ волны возбуждались
колебаниями электрических зарядов в молекулах и атомах.
Эти колебания происходили под воздействием искрового разряда, возникающего между металлическим опилками, взвешенными в масле.

их генерации и регистрации, а также по их свойствам.
Диапазоны электромагнитных

радиоволны - 103  10-4 м;
свет - инфракрасный - 5.10-4  8.10-7 м;
видимый - 8.10-7  4.10-7 м;
ультрафиолетовый - 4.10-7  10-9 м;
рентгеновское излучение - 2.10-9  6.10-12 м;
-излучение - менее 6.10-12 м.

В 1888 году русский физик А.С.Попов повторил опыты Герца,
а в 1889 году впервые указал на возможность их использования
для передачи сигналов на расстояние.
В 1894 году он сконструировал генератор электромагнитных колебаний и когерер - элемент приёмника электромагнитных волн.
7 мая 1895 года продемонстрировал на заседании Российского физико-химического общества радиоприёмник (грозоотметчик), а 24 марта 1896 года наглядно продемонстрировал при помощи своих приборов передачу сигналов на расстояние 250 м.
Первая в мире радиограмма состояла из двух слов - «Генрих Герц».

В 1898 году в Одессе Н.Д.Пильчиков впервые продемонстрировал радиоуправляемые часы.

Материальность электромагнитного поля.
Объёмная плотность энергии электромагнитной волны равна сумме
объёмных

Поскольку

то

Модуль плотности потока энергии электромагнитной волны равен:

S = w v = E H

(здесь v - фазовая скорость).

Вектор плотности потока энергии электромагнитной волны
параллелен вектору скорости, называется вектором Умова-Пойнтинга и равен:

Таким образом, электромагнитные волны, как и любой другой вид материи, обладают энергией, а значит и импульсом.
Они оказывают давление на поверхности, на которые падают,
что подтвердил своими блестящими опытами П.Н.Лебедев.