Структуры и алгоритмы обработки данных

длины
в выходную битовую строку фиксированной длины.
Такие преобразования

также называются хеш-функциями или функциями свертки, а их результаты называют хешем, хеш-кодом, хеш-таблицей или дайджестом сообщения (message digest).

разные, массивы гарантированно различаются; если одинаковые — массивы, скорее всего, одинаковы.

В общем случае однозначного соответствия между исходными данными и хеш-кодом нет в силу того, что количество значений хеш-функций меньше, чем вариантов входного массива.

возникновения коллизий играет немаловажную роль в оценке качества хеш-функций.
Существует множество

алгоритмов хеширования с различными характеристиками. Выбор той или иной хеш-функции определяется спецификой решаемой задачи.

меморандума IBM в январе 1953 г. с предложением использовать для

разрешения коллизий (ситуаций, когда разным ключам соответствует одно значение хеш-функции) метод цепочек.

Примерно в это же время другой сотрудник IBM, Жини Амдал, высказала идею использования открытой линейной адресации.

год), указавшим, что в качестве хеш-адреса удобно использовать остаток от

деления на простое число. А.Думи описывал метод цепочек для разрешения коллизий, но не говорил об открытой адресации.
Подход к хешированию, отличный от метода цепочек, был предложен
А.П. Ершовым (1957 год), который разработал и описал метод линейной открытой адресации.

то есть она позволяет хранить пары вида "ключ- значение" и

выполнять три операции:

операцию добавления новой пары;
операцию поиска;
операцию удаления пары по ключу.

Хеш-таблица является массивом, формируемым в определенном порядке хеш-функцией

удовлетворяет следующим условиям:
функция должна быть простой с вычислительной точки зрения;
функция

должна распределять ключи в хеш-таблице наиболее равномерно;
функция не должна отображать какую-либо связь между значениями ключей в связь между значениями адресов;
функция должна минимизировать число коллизий,то есть ситуаций, когда разным ключам соответствует одно значение хеш-функции (ключи в этом случае называются синонимами).

бы очень простые (например, несколько битов ключа).
Однако,на практике случайные данные

встречаются достаточно редко, и приходится создавать функцию, которая зависит от всего ключа.
Если хеш-функция распределяет совокупность возможных ключей равномерно по множеству индексов, то хеширование эффективно разбивает множество ключей.
Наихудший случай: все ключи хешируются в один индекс

найти новое место для хранения ключей, претендующих на одну и

ту же ячейку хеш-таблицы.
Причем, если коллизии допускаются, то их количество необходимо минимизировать.
В некоторых специальных случаях удается избежать коллизий вообще. Например, если все ключи элементов известны заранее (или очень редко меняются), то для них можно найти некоторую инъективную1 хеш-функцию, которая распределит их по ячейкам хеш-таблицы без коллизий. Хеш-таблицы, использующие подобные хеш-функции, не нуждаются в механизме разрешения коллизий, и называются хеш-таблицами с прямой адресацией.

1 - Организация связи «один к одному» между таблицами реляционной базы данных на основе первичных ключей.
Слово «реляционный» - от англ. relation - отношение

вычисления хеш-функции от ключа. Получающееся хеш-значение является индексом в исходном

массиве.
Количество хранимых элементов массива, деленное на число возможных значений хеш-функции, называется коэффициентом заполнения хеш-таблицы (load factor) и является важным параметром, от которого зависит среднее время выполнения операций.
Операции поиска, вставки и удаления должны выполняться в среднем за время O(1). Однако при такой оценке не учитываются возможные аппаратные затраты на перестройку индекса хеш-таблицы, связанную с увеличением значения размера массива и добавлением в хеш-таблицу новой пары.Механизм разрешения коллизий является важной составляющей любой хеш-таблицы.

в малом объеме памяти, и нужен способ быстрого, практически произвольного

доступа

Хеш-таблицы часто применяются в
базах данных,
языковых процессорах типа компиляторов и ассемблеров, где они повышают скорость обработки таблицы идентификаторов.

В качестве использования хеширования в повседневной жизни можно привести примеры:
распределение книг в библиотеке по тематическим каталогам,
упорядочивание в словарях по первым буквам слов,
шифрование специальностей в вузах и т.д.

хеш-функции, осложняют использование хеш-таблиц, т.к. нарушают однозначность соответствия между хеш-кодами

и данными.
Тем не менее, существуют способы преодоления возникающих сложностей:
метод цепочек (внешнее или открытое хеширование);
метод открытой адресации (закрытое хеширование).

которым соответствует одно и то же хеш-значение, связываются в цепочку-список:

в позиции номер i хранится указатель на голову списка тех элементов, у которых хеш-значение ключа равно i;
если таких элементов в множестве нет, в позиции i записан NULL.

два значения, которые организуются в линейный список.
Каждая ячейка массива является

указателем на связный список (цепочку) пар ключ-значение, соответствующих одному и тому же хеш-значению ключа. Коллизии просто приводят к тому, что появляются цепочки длиной более одного элемента.

ему цепочки, чтобы найти в ней элемент с заданным ключом.

Для добавления данных нужно добавить элемент в конец или начало соответствующего списка, и, в случае если коэффициент заполнения станет слишком велик, увеличить размер массива и перестроить таблицу.

....

любую позицию таблицы с равной вероятностью и независимо от того,

куда попал любой другой элемент, среднее время работы операции поиска элемента составляет O(1+k), где k – коэффициент заполнения таблицы.

открытой адресации никаких списков нет, а все записи хранятся в

самой хеш-таблице. Каждая ячейка таблицы содержит либо элемент динамического множества, либо NULL.
В этом случае, если ячейка с вычисленным индексом занята, то можно просто просматривать следующие записи таблицы по порядку до тех пор, пока не будет найден ключ K или пустая позиция в таблице. Для вычисления шага можно также применить формулу, которая и определит способ изменения шага.
Два значения претендуют на ключ 002, для одного из них находится первое свободное (еще незанятое) место в таблице.

для поиска элемента необходимо более 3–4 сравнений, то эффективность использования

такой хеш-таблицы пропадает и ее следует реструктуризировать (т.е. найти другую хеш-функцию), чтобы минимизировать количество сравнений для поиска элемента.

Для успешной работы алгоритмов поиска, последовательность проб должна быть такой, чтобы все ячейки хеш-таблицы оказались просмотренными ровно по одному разу.

Метод открытой адресации

заводят логический флаг для каждой ячейки, помечающий, удален ли элемент

в ней или нет. Тогда удаление элемента состоит в установке этого флага для соответствующей ячейки хеш-таблицы, но при этом необходимо модифицировать процедуру поиска существующего элемента так, чтобы она считала удаленные ячейки занятыми, а процедуру добавления – чтобы она их считала свободными и сбрасывала значение флага при добавлении.

Метод открытой адресации

свои преимущества и недостатки и основана на представлении данных

таблица прямого доступа.

В такой таблице ключ является адресом записи

в таблице или может быть преобразован в адрес, причем таким образом, что никакие два разных ключа не преобразуются в один и тот же адрес.

При создании таблицы выделяется память для хранения всей таблицы и заполняется пустыми записями.

свое место, определяемое ее ключом.

При поиске ключ используется как

адрес и по этому адресу выбирается запись.

Если выбранная запись пустая, то записи с таким ключом вообще нет в таблице.

Таблицы прямого доступа очень эффективны в использовании, но, к сожалению, область их применения весьма ограничена.

ключей записи.
Пространство записей - множество тех ячеек памяти, которые

выделяются для хранения таблицы.

Таблицы прямого доступа применимы только для таких задач, в которых размер пространства записей может быть равен размеру пространства ключей.

меньше, чем пространства ключей.

Например, если в качестве ключа используется фамилия,

то, даже ограничив длину ключа десятью символами кириллицы, получаем 3310 возможных значений ключей.

пространство записей такого размера, то значительная часть этого пространства будет

заполнена пустыми записями, так как в каждом конкретном заполнении таблицы фактическое множество ключей не будет полностью покрывать пространство ключей.

записей равным размеру фактического множества записей или превосходящим его незначительно.

В этом случае необходимо иметь некоторую функцию, обеспечивающую отображение точки из пространства ключей в точку в пространстве записей, то есть, преобразование ключа в адрес записи: a=h(k), где a – адрес, k – ключ.

Идеальной хеш-функцией является функция, которая для любых двух неодинаковых ключей дает неодинаковые адреса.

Key на размер пространства записи HashTableSize. Результат интерпретируется как адрес

записи.

Однако операция деления по модулю обычно применяется как последний шаг в более сложных функциях хеширования, обеспечивая приведение результата к размеру пространства записей.

можно использовать деление по модулю, то есть остаток от деления

целочисленного ключа Key на размерность массива HashTableSize, то есть: Key % HashTableSize
Данная функция очень проста, хотя и не относится к хорошим. Вообще, можно использовать любую размерность массива, но она должна быть такой, чтобы минимизировать число коллизий. Для этого в качестве размерности лучше использовать простое число. В большинстве случаев подобный выбор вполне удовлетворителен. Для символьной строки ключом может являться остаток от деления, например, суммы кодов символов строки на размерность массива HashTableSize. Например,

HashTableSize = 100

∑ = 741

Ключ этой символьной строки => 741 % 100 = 7

возводит это число в квадрат,
из числа выбирает несколько средних

цифр,
интерпретирует эти цифры как адрес записи.

имеет длину, равную длине требуемого адреса.
Над частями производятся определенные

арифметические или поразрядные логические операции, результат которых интерпретируется как адрес.

Например, для сравнительно небольших таблиц с ключами – символьными строками неплохие результаты дает функция хеширования, в которой адрес записи получается в результате сложения кодов символов, составляющих строку-ключ.

счисления P, интерпретируется как число в системе счисления Q>P. Обычно

выбирают Q=P+1.
Это число переводится из системы Q обратно в систему P, приводится к размеру пространства записей и интерпретируется как адрес.

в том, что
 потенциальное множество (возможно, бесконечное) разбивается на

конечное число классов.
 для В классов, пронумерованных от 0 до В-1, строится хэш-функция h(x) такая, что для любого элемента х исходного множества функция h(x) принимает целочисленное значение из интервала 0,1,...,В-1, соответствующее классу, которому принадлежит элемент х.

принадлежит сегменту h(x).
Массив, называемый таблицей сегментов и проиндексированный номерами

сегментов 0,1,...,В-1, содержит заголовки для B списков.
Элемент х, относящийся к i-му списку – это элемент исходного множества, для которого h(x)=i
Если сегменты примерно одинаковы по размеру, то в этом случае списки всех сегментов должны быть наиболее короткими при данном числе сегментов. Если исходное множество состоит из N элементов, тогда средняя длина списков будет N/B элементов.
Если можно оценить величину N и выбрать В как можно ближе к этой величине, то в каждом списке будет один или два элемента. Тогда время выполнения операторов словарей будет малой постоянной величиной, не зависящей от N.

тоже 10
25 элементов и размер таблицы 5
Примеры хеш-таблиц

элементы, а не заголовки списков элементов. Поэтому в каждой записи

(сегменте) может храниться только один элемент.

При закрытом хешировании применяется методика повторного хеширования:

Если осуществляется попытка поместить элемент х в сегмент с номером h(х), который уже занят другим элементом (коллизия), то в соответствии с методикой повторного хеширования выбирается последовательность других номеров сегментов h1(х),h2(х),..., куда можно поместить элемент х.
Каждое из этих местоположений последовательно проверяется, пока не будет найдено свободное. Если свободных сегментов нет, то, следовательно, таблица заполнена, и элемент х добавить нельзя.

пока не будет найден х или пока не встретится пустой

сегмент.
Чтобы объяснить, почему можно остановить поиск при достижении пустого сегмента, предположим, что в хеш-таблице не допускается удаление элементов.
Пусть h3(х) – первый пустой сегмент. В такой ситуации невозможно нахождение элемента х в сегментах h4(х),h5(х) и далее, так как при вставке элемент х вставляется в первый пустой сегмент, следовательно, он находится где-то до сегмента h3(х).

пустого сегмента, не найдя элемента х, нельзя быть уверенным в

том, что его вообще нет в таблице, т.к. сегмент может стать пустым уже после вставки элемента х.

Поэтому, чтобы увеличить эффективность данной реализации, необходимо в сегмент, который освободился после операции удаления элемента, поместить специальную константу, которую назовем, например, DEL.

В качестве альтернативы специальной константе можно использовать дополнительное поле таблицы, которое показывает состояние элемента.

в сегментах, которые никогда не содержали элементов. При таком подходе

выполнение поиска элемента не требует просмотра всей хеш-таблицы. Кроме того, при вставке элементов сегменты, помеченные константой DEL, можно трактовать как свободные, таким образом, пространство, освобожденное после удаления элементов, можно рано или поздно использовать повторно.
Но, если невозможно непосредственно сразу после удаления элементов пометить освободившиеся сегменты, то следует предпочесть закрытому хешированию схему открытого хеширования.
Существует несколько методов повторного хеширования, то есть определения местоположений h(x),h1(х),h2(х),...:
линейное опробование;
квадратичное опробование;
двойное хеширование.

i – номер попытки разрешить коллизию;

c – константа, определяющая шаг перебора.
При шаге, равном единице, происходит последовательный перебор всех сегментов после текущего.

зависит от номера попытки найти свободный сегмент:
адрес=h(x)+ci+di2, где i

– номер попытки разрешить коллизию,
c и d – константы. Благодаря нелинейности такой адресации уменьшается число проб при большом числе ключей-синонимов.
Однако, даже относительно небольшое число проб может быстро привести к выходу за адресное пространство небольшой таблицы вследствие квадратичной зависимости адреса от номера попытки.

перехода к началу будет происходить просмотр одних и тех же

ранее занятых сегментов, тогда как между ними могут быть еще свободные сегменты.

Более корректным будет использование сдвига адреса на 1 в случае каждого циклического перехода к началу таблицы. Это повышает вероятность нахождения свободных сегментов.

В случае применения схемы закрытого хеширования скорость выполнения вставки и других операций зависит не только от равномерности распределения элементов по сегментам хеш-функцией, но и от выбранной методики повторного хеширования (опробования) для разрешения коллизий, связанных с попытками вставки элементов в уже заполненные сегменты.

лучший выбор:
Как только несколько последовательных сегментов будут заполнены, образуя группу,

любой новый элемент при попытке вставки в эти сегменты будет вставлен в конец этой группы, увеличивая тем самым длину группы последовательно заполненных сегментов.
Другими словами, для поиска пустого сегмента в случае непрерывного расположения заполненных сегментов необходимо просмотреть больше сегментов, чем при случайном распределении заполненных сегментов.
Отсюда также следует очевидный вывод, что при непрерывном расположении заполненных сегментов увеличивается время выполнения вставки нового элемента и других операций.

таблицы тоже 10
Примеры хеш-таблиц

позволяющим однозначно идентифицировать запись.
Такие ключи называются первичными.
Возможен вариант

организации таблицы, при котором отдельный ключ не позволяет однозначно идентифицировать запись. Такая ситуация часто встречается в базах данных. Идентификация записи осуществляется по некоторой совокупности ключей.
Ключи, не позволяющие однозначно идентифицировать запись в таблице, называются вторичными ключами. Даже при наличии первичного ключа, для поиска записи могут быть использованы вторичные.

запись в таблице.
Закрытое хеширование или Метод открытой адресации – это

технология разрешения коллизий, которая предполагает хранение записей в самой хеш-таблице.
Коллизия – это ситуация, когда разным ключам соответствует одно значение хеш-функции.
Коэффициент заполнения хеш-таблицы – это количество хранимых элементов массива, деленное на число возможных значений хеш-функции.
Открытое хеширование или Метод цепочек – это технология разрешения коллизий, которая состоит в том, что элементы множества с равными хеш-значениями связываются в цепочку-список.
Первичные ключи – это ключи, позволяющие однозначно идентифицировать запись.
Повторное хеширование – это поиск местоположения для очередного элемента таблицы с учетом шага перемещения.

выделяются для хранения таблицы.
Пространство ключей – это множество всех теоретически

возможных значений ключей записи.
Синонимы – это совпадающие ключи в хеш-таблице.
Хеширование – это преобразование входного массива данных определенного типа и произвольной длины в выходную битовую строку фиксированной длины.
Хеш-таблица – это структура данных, реализующая интерфейс ассоциативного массива, то есть она позволяет хранить пары вида "ключ- значение" и выполнять три операции: операцию добавления новой пары, операцию поиска и операцию удаления пары по ключу.
Хеш-таблицы с прямой адресацией – это хеш-таблицы, использующие инъективные хеш-функции и не нуждающиеся в механизме разрешения коллизий.

хеш-таблиц?
Почему возможно возникновение коллизий?
Каковы методы устранения коллизий? Охарактеризуйте их

эффективность в различных ситуациях.
Назовите преимущества открытого и закрытого хеширования.
В каком случае поиск в хеш-таблицах становится неэффективен?
Как выбирается метод изменения адреса при повторном хешировании?

строке. Вывести таблицу на экран. Осуществить поиск введенной буквы в

хеш-таблице.

Постройте хеш-таблицу из слов произвольного текстового файла, задав ее размерность с экрана. Выведите построенную таблицу слов на экран. Осуществите поиск введенного слова. Выполните программу для различных размерностей таблицы и сравните количество сравнений. Удалите все слова, начинающиеся на указанную букву, выведите таблицу.

Постройте хеш-таблицу для зарезервированных слов, используемого языка программирования (не менее 20 слов), содержащую HELP для каждого слова. Выдайте на экран подсказку по введенному слову. Добавьте подсказку по вновь введенному слову, используя при необходимости реструктуризацию таблицы. Сравните эффективность добавления ключа в таблицу или ее реструктуризацию для различной степени заполненности таблицы.

В текстовом файле содержатся целые числа. Постройте хеш-таблицу из чисел файла. Осуществите поиск введенного целого числа в хеш-таблице. Сравните результаты количества сравнений при различном наборе данных в файле.