Свойства функций, имеющих предел. Асимптоты графика функции и методы их отыскания.

функции и методы их отыскания.

точке а, то найдется такая проколотая окрестность точки а, в

которой функция ограничена.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Пусть
Тогда, по определению предела, для ε = 1 найдется такая проколотая δ-окрестность точки а , что для всех
выполняется неравенство
А – 1 < f(x) < А+1.
Это и означает ограниченность функции на множестве

отличный от нуля, то найдется такая проколотая окрестность точки а,

в которой функция сохраняет знак предела.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Пусть
Тогда, по определению предела, для
найдется такая проколотая δ-окрестность точки а , что

Если А > 0, то из левого неравенства ⇒
если А < 0, то из правого неравенства ⇒

точки а и

то А ≥ 0.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Воспользуемся определением предела

по Гейне.
Возьмем числовую последовательность
Тогда

Следовательно, по соответствующей теореме для числовых последовательностей, А ≥ 0.

и f( xn ) ≥ 0 для всех n.

сходящуюся к а.

точки а справедливы неравенства f(x)

≤ g(x) ≤ ϕ(x)
и существуют то

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Воспользуемся определением предела по Гейне. Возьмем
сходящуюся к а. Тогда
и f( xn) ≤ g( xn) ≤ ϕ ( xn) для всех n. Следовательно по теореме о двух
милиционерах для числовых последовательностей
т.е. существует

проколотой окрестности точки а, то
Если существуют

тогда существуют и

сходящуюся к

а. Тогда f(xn) = с для всех n и
следовательно
2. Воспользуемся определением предела по Гейне. Возьмем ЧП
сходящуюся к а. Тогда

по теореме о пределе суммы для ЧП
то есть

проколотой окрестности точки а

и то А ≥ В.

Если существует то для любого числа С

большая функция произвольного знака;
+ ∞ – бесконечно большая положительная

функция;
– ∞ – бесконечно большая отрицательная функция;
0 – бесконечно малая функция;
1 – функция, предел которой равен 1.

Тогда имеют место следующие соотношения:
С⋅∞ = ∞
С/0 = ∞
С/∞ = 0
+ ∞ + ∞ = + ∞
–∞ – ∞ = – ∞
(+∞)С = + ∞, если С>0 (0, если C < 0)
(+∞)+∞ = + ∞

0⋅∞
∞/∞
∞ –

∞
1∞
00
∞0

асимптотой графика функции f(x), если выполнено хотя бы одно из

условий:


ПРИМЕР.
Прямая х = 1 является вертикальной
асимптотой графика функции
так как

асимптотой графика функции f(x) при х→ + ∞ (при х→

– ∞), если



СПОСОБ ОТЫСКАНИЯ НАКЛОННОЙ АСИМПТОТЫ.
ТЕОРЕМА.
Прямая у = kx + b является наклонной асимптотой графика функции f(x) при х→ + ∞ (при х→ – ∞) тогда и только тогда, когда существуют конечные пределы

бесконечно малая при х→ + ∞. Отсюда получим, что

= b+ α(х) – b = α(х) → 0 при

х→ +∞.

ЗАМЕЧАНИЕ.
Для случая горизонтальной асимптоты теорема формулируется так:
Для того, чтобы прямая y = b была асимптотой графика функции f(x) при х→ + ∞, необходимо и достаточно, чтобы

необходимые пределы:










Аналогично при х→ – ∞.