Теория вероятностей и математическая статистика

распределения

Оценка моментов и параметров распределения
Оценка моментов и параметров распределения

168
[2]. С. 116-128
[1]. В. А. Фигурин, В. В. Оболонкин, Теория вероятностей

и математическая статистика; ООО "Новое знание": Минск, 2000.

[2]. Горяинов, В.Б., и др., Математическая статистика, п/р. В.С. Зарубин and А.П. Крищенко. 2001, М.: Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана. 424.

 

оценки определяется дисперсией. Вопрос, насколько оценка близка к истинному параметру,

не рассматривается

Интервальная
Возможно получение вероятностной характеристики точности оценивания параметра. Речь идет об интервале, который с заданной вероятностью накрывает истинное значение параметра

Интервальная оценка параметров
Рассматриваем случайную выборку

объема n с функцией распределения

.
- неизвестный параметр.

Для построен интервал
.
Причем, и - функции (статистики) случайной выборки ,

такие что выполняется равенство

θ

θ

доверительный интервал,
γ-доверительный интервал,
интервальная оценка с коэффициентом доверия γ,
γ-доверительная оценка для θ.

-коэффициент доверия,
-доверительная вероятность

является длиной интервала

.

Тема 9. Оценка моментов и параметров распределения

Интервальная оценка параметров

и - верхняя и нижняя границы интервальной оценки.

θ

,

- Вероятностная характеристика точности оценивания параметра .

Параметры могут оценивать только сверху или только снизу. Соответвующие статистики называют односторонними нижними или верхними γ-доверительными границами.

с функцией распределения, зависящей от неизвестного параметра θ

Один из наиболее распространенных методов построения интервальных оценок для связан с использованием центральной статистики - любой статистики , функция распределения которой не зависит от параметра θ.

Для упрощения будет предполагать следующее.
Функция распределения Ft(t) непрерывна и возрастающая;
Заданы такие положительные коэффициенты α и β, что γ=1- α – β;
Для любой выборки из генеральной совокупности X функция является непрерывной и возрастающей (убывающей) функцией параметра θ.

Из допущения 1 следует, что для любого q из интервала (0,1) существует единственный корень hq уравнения Ft(t)=q, который является квантилью уровня q функции Ft(t)=q распределения случайной величины .
 Принимая во внимание допущение 2


Равенство справедливо для любого значения параметра θ, так как . - центральная статистика и ее функция распределения Ft(t) не зависит от параметра θ.

Тема 9. Оценка моментов и параметров распределения

Построение интервальных оценок

,

- возрастающая функция, тогда

по допущению 3, для кажой выборки уравнения имеют единственные
решения и .

При этом неравенства являются равносильными, так как они выполняются или не выполняются одновременно для любой выборки.


Таким образом,


- искомая оценка

Тема 9. Оценка моментов и параметров распределения

Построение интервальных оценок

,

.

- искомая оценка

и ее

функции распределения Ft(t).

Представление заданного коэффициета доверия в виде γ=1- α – β.

Нахождение квантилей hα h1– β уровней α и 1 – β функции распределения Ft(t).

Нахождение нижней и верхней границ искомой интервальной оценки решением уравнений
 

если центральная статистика возрастающая функция и уравнений
 

Тема 9. Оценка моментов и параметров распределения

Построение интервальных оценок

,

.

,

,

,

.

,
Построение интервальных оценок для

нормального распределения

Рассмотрим случайную выборку объема n из генеральной совокупности X, распределенную по нормальному закону с параметрами μ и σ2.

Определим оценку для математического ожидания при известной дисперсии.
 
Рассмотрим статистику

Она имеет стандартное нормальное распределение с параметрами μ=0 и σ2=1, т.е. является центральной статистикой. Функция убывающая по μ.
 
Соответсвующая система уравнений имеет вид



uq – квантиль стандрартного нормального распредления. Учитывая, что u1-α =- uα, (четная функция) получаем нижнюю и верхнюю границы доверительног интервала для параметра μ при γ=1- α – β.


Смысл полученного соотношения: с надежностью γ можно утверждать, что доверительный интервал покрывает неизвестный параметр.

,
Построение интервальных оценок для

нормального распределения

Рассмотрим случайную выборку объема n из генеральной совокупности X, распределенную по нормальному закону с параметрами μ и σ2.

Определим оценку для математического ожидания при неизвестной дисперсии.
 
Рассмотрим статистику

Здесть используется

Она имеет статистикой, имеет распределение Стьюдента с n-1 степенями свободы, т.е. является центральной статистикой.
 
Соответсвующая система уравнений имеет вид



– квантиль уровня q распределения Стьюдента с n-1 степенями свободы. Учитывая, что t1-α (n-1)= - tα(n-1) (четная функция), получаем нижнюю и верхнюю границы доверительного интервала для параметра μ при γ=1- α – β.

,
Построение интервальных оценок для нормального распределения
Рассмотрим

случайную выборку объема n из генеральной совокупности X, распределенную по нормальному закону с параметрами μ и σ2.

Определим оценку для среднего квадратичного отклонения.
 
Рассмотрим статистику

Она имеет статистикой, имеет распределение Стьюдента с n-1 степенями свободы, т.е. является центральной статистикой.
 
Соответсвующая система уравнений имеет вид



– квантиль уровня q распределения «хи»-квадрат с с n-1 степенями свободы. Учитывая, что t1-α (n-1)= - tα(n-1) (четная функция), получаем нижнюю и верхнюю границы доверительного интервала для параметра μ при γ=1- α – β.

,
Построение интервальных оценок для нормального распределения

На практике используются формулы:

оценка для математического ожидания при известной дисперсии




оценка для математического ожидания при неизвестной дисперсии




оценка для среднего квадратичного отклонения

γ=1- α

γ=1- α

γ=1- α

Распределение Стьюдента



,
Плотность распределения Стьюдента

определяется параметром n- объемом выборки, или числом степеней свободы k=n-1.

распределения


Замечание.


Статистика




является несмещенной и состоятельной

оценкой дисперсии генеральной совокупности.