Вторичное квантование Одночастичный базис. Многочастичный базис. Операторы физических величин

частицы:
В качестве одночастичных состояний можно выбрать, например, плоские волны, образующие

полный набор:

В формализме чисел заполнения такие состояния будут представлены следующим образом:

Оператор рождения по определению рождает частицу в одночастичном состоянии, описываемом плоской волной с волновым вектором k
Ортонормированность одночастичного базиса:

коммутационных соотношений:


Возможна либо коммутация, либо антикоммутация операторов рождения. Частицы, операторы

которых коммутируют, называются бозонами, частицы с антикоммутационными соотношениями – фермионами. Все элементарные частицы разделены на эти два основных класса

состоянии не могут находиться два фермиона:

Связь между коммутацией операторов рождения

и перестановкой частиц. Рассмотрим движение двух частиц в системе их центра масс. Соотношения коммутации:

Пусть центр масс движется равномерно и описывается плоской волной; тогда волновая функция двух частиц представима в виде:

С учетом уравнений коммутации:


Волновая функция бозонов должна быть симметричной относительно перестановки частиц, а фермионная – антисимметричной

с ферми-статистикой на шести узлах. Узельный базис в числах заполнения

будет состоять из 20 функций:

скалярное произведение двух функций равно нулю, если состояние хотя бы

одного узла в одной функции отличается от аналогичного состояния другой функции
Правила действия операторов физических величин на базисные волновые функции с учетом принципа тождественности:



Кроме указанных правил действия на волновые функции операторов рождения и уничтожения, необходимо также учесть антисимметрию волновых функций системы из ферми-частиц
Антикоммутационные соотношения:

узлов, N↑ частиц со спином вверх и N↓ частиц со

спином вниз:

Операторы, действующие на одночастичные состояния:


Оператор импульса:


Оператор импульса диагонален в базисе
плоских волн

кулоновском поле:




Если центр поля в начале координат:

одночастичному случаю, имеем:




Окончательно находим: