Высшая математика

прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида, в котором по крайней

мере один из коэффициентов отличен от нуля.

уравнение гиперболы имеет вид
Это уравнение называется каноническим уравнением гиперболы.

Отметим следующие свойства гиперболы:

ось Ox пересекает в двух точках A  ( a ; 0)

и B  (– a ; 0), которые называются вершинами гиперболы .
Доказательство
Для определения координат точек пересечения гиперболы с осью Oy нужно совместно решить их уравнения Подставляя x  = 0

в уравнение гиперболы, получим  а это означает, что система не имеет решений. Следовательно, гипербола не пересекает ось ординат.
Для определения координат точек пересечения гиперболы с осью Ox нужно решить совместно их уравнения
Отсюда, подставляя y  = 0 в уравнение гиперболы, получаем x  = ± a.
Таким образом, точками пересечения гиперболы с осью Ox будут точки A  ( a ; 0) и B  (– a ; 0).
Отрезок AB называется действительной осью гиперболы, его длина равна 2 a . Число a называется действительной полуосью гиперболы, число b – мнимой полуосью .

1 свойство

Доказательство
Обоснование этого свойства аналогично тому, как обосновано свойство 10.3

для эллипса.
3 свойство 
Гипербола имеет центр симметрии.
Доказательство
Если координаты точки M  ( x ;  y ) удовлетворяют уравнению гиперболы, тому же уравнению удовлетворяют и координаты точки N  (– x ; – y ). Точка N , очевидно, симметрична точке M относительно начала координат.
Центр симметрии гиперболы называют центром гиперболы .

в двух точках. Если

то общих точек у прямой и гиперболы нет.

y  =  kx нужно решить систему уравнений

Исключая y , получаем или

При  то есть при полученное уравнение, а потому и система решений не имеют. Прямые с уравнениями и называются асимптотами гиперболы.
При то есть при  система имеет два решения:
и Следовательно, каждая прямая, проходящая через начало координат, с угловым коэффициентом, модуль которого меньше пересекает гиперболу в двух точках. При k  = 0 получаем точки пересечения A  ( a ; 0) и B  (– a ; 0) – вершины гиперболы.

ее форму в первом квадранте координатной плоскости. Из полученных формул

видно, что при

возрастании k от нуля до (при этом угол наклона прямой к оси Ox возрастает от нуля до некоторого значения) и абциссы, и ординаты точек пересечения прямой с гиперболой возрастают. Прямая y  =  kx пересекает гиперболу во все более далеких от начала координат точках. Таким образом, гипербола имеет вид, изображенный на рис.а), и состоит из двух не связанных между собой частей, называемых ее ветвями.

двух данных точек, называемых фокусами и
есть величина

постоянная (ее обозначают через 2*а ). Причем эта постоянная больше расстояния между фокусами.
Если оси координат расположены по отношению к эллипсу так, как показано на рисунке 1, а фокусы эллипса находятся на ось

на равных расстояниях от начала координат в точках то получится простейшее(каноническое) уравнение эллипса:

Здесь и - малая

полуоси эллипса, причем и и с - половина расстояния между фокусами) связаны соотношения Форма эллипса (мера его "сжатия") характеризуется его эксцентриситетом. (так как то
Прямые: и перпендикулярные главной оси и

проходящие на расстоянии от центра, называются директрисами эллипса.

;
- центр.

точки (центра окружности) на заданное расстояние (радиус окружности).
Определение 2. Кругом

называется геометрическое место точек удаленных от данной точки (центра круга) неболее чем на заданное расстояние (радиус круга).

Здесь: точка О - центр А - точка на окружности ОА = r - радиус

Определение 3. Радиус - отрезок, соединяющий центр окружности с любой её точкой.

общие точки (на рисунке 1 показана секущая l ). Отрезок

секущей , лежащий внутри окружности, называется хордой (на рисунке 1 показана хорда АВ).

Определение 5. Хордой называется отрезок соединяющий две произвольные (несовпадающие) точки окружности. Определение 6. Части, на которые хорда разбивает круг (I и II на рис1), называются сегментами. В случае, когда хорда совпадает с диаметром, эти сегменты превращаются в полукруги.

круга называют часть круга, ограниченная двумя его радиусами и дугой

окружности, соединяющей концы этих радиусов (на рис2 показаны секторы I и II)



Ь на рисунке мы видим АВ - хорда, CD - диаметр. Теорема 1. Перпендикуляр, опущенный на хорду из центра окружности, делит эту хорду пополам. Действительно, из равенства прямоугольных треугольников ОАН и ОВН по катету и гипотенузе (ОН - общая, ОА=ОВ - радиусы), мы получаем равенство соответственных сторон АН и ВН.

формуле:
Длину окружности можно вычислить по формуле:
Площадь сектора можно вычислить по

формуле:


Длину сектора можно вычислить по формуле:
Площадь сегмента можно вычислить по формуле: