Законы и правила математической логики

(27.6.1806-18.3. 1871)-шотландский математик и логик. Секретарь Королевcкого астрономического общества (1847г.),

член Лондонского королевского общества. Первый президент Лондонского математического общества. Родился в Мадуре (Индия). Учился в Тринити-колледж (в Кембридже). Профессор математики в университетском колледже в Лондоне. Основные труды по алгебре, математическому анализу и математической логике. В теории рядов описал логарифмическую шкалу для критериев сходимости; занимался теорией расходящихся рядов. Один из основателей формальной алгебры. Продолжая работы Дж. Пикока, Морган в 1841-1847гг. опубликовал ряд работ по основам алгебры. В трактате "Формальная логика или исчисление выводов необходимых и возможных" (1847г.), Морган некоторыми своими положениями опередил Дж. Буля. Позднее Морган успешно изучал логику отношений - область, не охваченную исследованиями предшественников. В книге "Тригонометрия и двойная алгебра" (1849г.) развил мысль У. Гамильтона о распространении идей символической алгебры на исчисление комплексных величин. Благодаря этому комплексные величины были строго обоснованы не только геометрически, но и алгебраически. Написал много исторических работ, в частности книгу "Бюджет парадоксов" (1872г.). Большой вклад внес также в дедуктивную логику вообще и математическую в частности. Лондонское математическое общество учредило медаль им. О. Моргана.

_ X

∙ Y V X ∙ Y

Воспользуемся распределительным законом:
Х ∙ ( Y V Z ) = X ∙ Y V X ∙ Z
(или вынесем общий множитель за скобку)

1

X ∙ Y V X ∙ Y =

_
X ∙(Y V Y ) =

= Х ∙ 1 = Х

_____
F= (A v B)→ (B v C).

Избавимся от импликации и отрицания. Воспользуемся (¬(A→B)=A& ¬ B). Получится: ¬((AvB)→ ¬(BvC))= (AvB)& ¬ (¬(BvC)).
Применим закон двойного отрицания, получим: (A v В) & ¬(¬(В v С)) = (A v В) & (B v С).
Применим правило дистрибутивности ((A∙B) +(A∙C) = A∙(B+C)). Получим: (AvВ)& (B v С)= (AvB)&Bv(AvB)&C
Применим закон коммутативности (A&B=B&A ) и дистрибутивности (16). Получим: (AvB)&Bv(AvB)&C = A&BvB&BvA&CvB&C.
Применим (А& A= A) и получим: A&BvB&BvA&CvB&C= A&BvBvA&CvB&C
Применим ((A&B) v(A&C) = A&(BvC) ), т.е. вынесем за скобки В. Получим:A&BvBvA&CvB&C= B& (Av1)vA&CvB&C.
Применим (Аv 1= 1 ). Получим:B& (Av1) vA&CvB&C= BvA&CvB&C.
Переставим местами слагаемые, сгруппируем и вынесем В за скобки. Получим:BvA&CvB&C = B& (1vC)vA&C.
Применим (Аv 1= 1 ) и получим ответ: B&(1vC)vA&C=BvA&C.

(BvC).
F = (A→B) v (B→A).
F = A&CvĀ&C.
F =•Av•Bv•CvAvBvC
Ответы:
F = ¬

(A&B) v ¬ (BvC) =•Av•B.
F= (A→B) v (B→A) = 1.
F = A&CvĀ&C=C.
F =•Av•Bv•CvAvBvC=1.

(•YvX).
F = (XvZ) & (Xv•Z) & (•YvZ).
Ответы:
F = ¬(X&Yv

¬(X&Y)) = 0.
F = •X&¬ (•YvX) = •X&Y.
F = (XvZ) & (Xv•Z) & (•YvZ) =X&(•YvZ).

= A& (•AvB).
F = (AvB) & (•BvA) & (•CvB).
F =

(1V (AvB)) V ((AvC) &1).

II. Дана следующая логическая схема. Упростите ее, используя минимальное количество вентилей.

III. Как составить расписание.
При составлении расписания учителя высказали следующие пожелания: учитель физики хочет иметь первый и второй урок; учитель химии - первый или третий; учитель информатики — второй или третий. Предложите возможные варианты расписания.