Электроемкость. Конденсаторы. Энергия электростатического поля

других провод­ников, тел и зарядов. Его потенциал, согласно (

), прямо пропорционален заряду проводника. Из опыта следует, что разные проводники, будучи одинаково заряжен­ными, имеют различные потенциалы. Поэтому для уединенного проводника можно записать

Величину

( 1)
называют электроемкостью (или просто емкостью) уединенного проводника. Емкость уединенного проводника определяется зарядом, сообщение которого проводнику изменяет его потенциал на единицу.
Емкость проводника зависит от его размеров и формы, но не зависит от материала, агрегатного состояния, формы и размеров полостей внутри проводника. Это связано с тем, что избыточные заряды распределяются на внешней поверхности проводника. Емкость не зависит также ни от заряда проводника, ни от его потенциала.
Единица электроемкости — фарад (Ф): 1 Ф — емкость такого уединенного проводника, потенциал которого изменяется на 1 В при сообщении ему заряда 1 Кл.
Согласно ( ), потенциал уединенного шара радиуса R, находящегося в однородной среде с диэлектрической проницаемостью ε, равен

(2)
Отсюда следует, что емкостью 1 Ф обладал бы

уединенный шар, находящийся в ваку­уме и имеющий радиус R=C/(4πε0)≈9⋅106 км, что примерно в 1400 раз больше радиуса Земли (электроемкость Земли С≈0,7 мФ). Следовательно, фарад — очень большая величина, поэтому на практике используются дольные единицы - миллифарад (мФ), микрофарад (мкФ), нанофарад (нФ), пикофарад (пФ). Из формулы ( ) вытекает также, что единица электрической постоянной ε0 — фарад на метр (Ф/м).
Как видно, для того чтобы проводник обладал большой емкостью, он должен иметь очень большие размеры. На практике, однако, необходимы устройства, обладающие способностью при малых размерах и небольших относительно окружающих тел потенциалах накапливать значительные по величине заряды, иными словами, обладать большой емкостью. Эти устройства получили название конденсаторов.
Если к заряженному проводнику приближать другие тела, то на них возникают индуцированные (на проводнике) или связанные (на диэлектрике) заряды, причем ближайшими к наводящему заряду Q будут заряды противоположного знака. Эти заряды, естественно, ослабляют поле, создаваемое зарядом Q, т. е. понижают потенциал проводника, что приводит ( ) к повышению его электроемкости.

Используя формулу (93.1), получим, что емкость шара

емкость конденсатора не должны оказывать влияния окружающие тела, поэтому проводникам

придают такую форму, чтобы поле, создаваемое накапливаемыми заря­дами, было сосредоточено в узком зазоре между обкладками конденсатора. Этому условию удовлетворяют: 1) две плоские пластины; 2) два коаксиальных цилиндра; 3) две концентрические сферы. Поэтому в зависимости от формы обкладок конденсаторы делятся на плоские, цилиндрические и сферические.
Так как поле сосредоточено внутри конденсатора, то линии напряженности начинаются на одной обкладке и кончаются на другой, поэтому свободные заряды, возникающие на разных обкладках, являются равными по модулю разноименными зарядами. Под емкостью конденсатора понимается физическая величина, равная отношению заряда Q, накопленного в конденсаторе, к разности потенциалов (ϕ1 —ϕ2) между его обкладками:

(3)

Рассчитаем емкость плоского конденсатора, состоящего из двух параллельных металлических пластин площадью S каждая, расположенных на расстоянии d друг от друга и имеющих заряды +Q и –Q. Если расстояние между пластинами мало по сравнению с их линейными размерами, то краевыми эффектами можно пренебречь и поле между обкладками считать однородным.

) и ( ). При наличии диэлектрика между обкладками разность потенциалов между ними, согласно ( ),

(4)

где ε — диэлектрическая проницаемость. Тогда из формулы (94.1), заменяя Q=σS, с учетом ( ) получим выражение для емкости плоского конденсатора:

(5)

Для определения емкости цилиндрического конденсатора, состоящего из двух полых коаксиальных цилиндров с радиусами r1 и r2 (r2 > r1), вставленных один в другой, опять пренебрегая краевыми эффектами, считаем поле радиально-симметричным и сосредоточенным между цилиндрическими обкладками. Разность потенциалов между обкладками вычислим по формуле ( ) для поля равномерно заряженного бесконечного

цилиндра с линейной плотностью τ =Q/l (l—длина обкладок). При наличии диэлектрика между обкладками разность потенциалов

(6)

Подставив (6) в (3), получим выражение для емкости цилиндрического конденсатора:

(7)

обкладок, разделенных сферическим слоем диэлектрика, используем формулу (

) для разности потенциалов между двумя точками, лежащими на расстояниях r1 и r2 (r2 > r1) от центра заряженной сферической поверхности. При наличии диэлектрика между обкладками разность потенциалов

(8)

Подставив (8) в (3), получим

Если d=r2—r1<Из формул (5), (7) и (9) вытекает, что емкость конденсаторов любой формы прямо пропорциональна диэлектрической проницаемости диэлектрика, заполняющего пространство между обкладками.

(9)

конденсаторов.
Конденсаторы характеризуются пробивным напряжением — разностью потенциалов между обкладками конденсатора,

при которой происходит пробой — электрический разряд через слой диэлектрика в конденсаторе. Пробивное напряжение зависит от формы обкладок, свойств диэлектрика и его толщины.
Для увеличения емкости и варьирования ее возможных значений конденсаторы соединяют в батареи, при этом используется их параллельное и последовательное соединения.

Параллельное соединение конденсаторов (рис. 1). У параллельно соединенных конденсаторов разность потенциалов на об
конденсаторов одинакова и равна ϕA – ϕB. Если емкости
отдельных конденсаторов С1, С2, ..., Сn, то, согласно (3),
их заряды равны

а заряд батареи конденсаторов

Полная емкость батареи

Рисунок 1

емкостей отдельных конденсаторов.
2. Последовательное соединение конденсаторов (рис. 2). У последовательно

соединенных конденсаторов заряды всех обкладок равны по модулю, а разность потенциалов на зажимах батареи

где для любого из рассматриваемых конденсаторов Δϕi = Q/Сi. С другой стороны,

Рисунок 2

откуда

т. е. при последовательном соединении конденсаторов суммируются величины, обратные емкостям. Таким образом, при .последовательном соединении конденсаторов результирующая емкость С всегда меньше наименьшей емкости, используемой в батарее.

), выражающую энергию плоского конденсатора посредством зарядов и потенциалов, воспользовав­шись выражением для емкости плоского конденсатора (C=ε0εS/d) и разности потенциалов между его обкладками (Δϕ=Ed. Тогда

(11)
Выражение (11) справедливо только для изотропного диэлектрика, для которого выполняется соотношение : Р =ε0Е.
Формулы ( ) и (10) соответственно связывают энергию конденсатора с зарядом на его обкладках и с напряженностью поля. Возникает, естественно, вопрос о локализации электростатической энергии и что является ее носителем — заряды или поле? Ответ на этот вопрос может дать только опыт. Электростатика изучает постоянные во времени поля неподвижных зарядов, т. е. в ней поля и обусловившие их заряды неотделимы друг от друга.

где V= Sd — объем конденсатора. Формула (10) показывает, что энергия конденсатора выражается через величину, характеризующую электростатическое поле, — напряженность Е.
Объемная плотность энергии электростатического поля (энергия единицы объема)

(10)

Поэтому

электростатика ответить на поставленные воп­росы не может. Дальнейшее развитие теории и эксперимента показало, что переменные во времени электрические и магнитные поля могут существовать обособленно, независимо от возбудивших их зарядов, и распространяются в пространстве в виде электромагнитных волн, способных переносить энергию. Это убедительно подтверждает основное положение теории близкодействия о том, что энергия локализована в поле и что носителем энергии является поле.