Слайд 1Механика вращательного движения
Пусть - проведенный из неподвижной в некоторой
инерциальной системе отсчета точки О радиус-вектор материальной точки, к которой
приложена сила . Рассмотрим векторное произведение
.
Вектор называется моментом силы относительно точки О. Определим также момент импульса материальной точки с помощью равенства
.
Слайд 2Рассмотрим производную
.
(1.41)
Вектор есть по определению скорость тела, а . Поэтому первое слагаемое в (1.41) обращается в ноль как векторное произведение коллинеарных векторов. Второе слагаемое преобразуем с помощью закона Ньютона и перепишем (1.41) в виде
(1.42)
Это уравнение называется уравнением моментов
Слайд 3Его можно обобщить на случай произвольной системы материальных точек. Определим
момент импульса системы точек относительно центра О как векторную сумму
моментов импульсов этих точек относительно того же центра. Определим также момент всех сил, действующих на систему как векторную сумму моментов отдельных сил.
Слайд 4Очевидно, что при вычислении суммарного момента сил можно не принимать
во внимание внутренние силы в системе точек. Согласно третьему закону
Ньютона внутренние силы всегда входят попарно, для каждой внутренней силы существует равная по величине и противоположная по направлению другая внутренняя сила, причем каждая такая пара сил направлена вдоль одной прямой. Поэтому полный момент внутренних сил относительно любого центра равен нулю
Слайд 5Значит, складывая уравнения (1.42) для всех точек системы получим следующий
важный результат:
(1.43)
т.е. производная по времени от момента импульса системы материальных точек относительно произвольного неподвижного центра равна геометрической суме моментов всех внешних сил относительно того же центра. Следствием этого результата является закон сохранения момента импульса: если суммарный момент внешних сил относительно произвольного неподвижного центра равен нулю, то момент импульса системы относительно того же центра не изменяется со временем.
Слайд 6Рассмотрим теперь проекцию равенства (1.42) на произвольную ось х, проходящую
через центр О:
.
Проекции и векторов и на ось х
называются соответственно моментами импульса и силы относительно оси х. Нетрудно показать, что вычисление момента может быть произведено следующим образом. Назовем плечом силы относительно оси х кратчайшее расстояние между осью и линией действия силы. Тогда можно найти как произведение перпендикулярной к оси составляющей силы на соответствующее плечо.
Слайд 7Для системы точек получим
,
(1.44)
где - суммарный момент внешних сил относительно оси х. Равенство (1.44) называется уравнением моментов относительно оси.
Применим уравнение (1.44) к рассмотрению вращения твердого тела относительно неподвижной оси. В качестве оси моментов примем ось вращения тела. Каждая точка вращающегося твердого тела движется по окружности, центр которой располагается на оси вращения. Если материальная точка вращается по окружности радиуса , то момент ее импульса относительно оси вращения равен . Скорость точки , где - угловая скорость
Слайд 8Все точки твердого тела вращаются с одинаковой угловой скоростью, поэтому
момент импульса твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси можно вычислить
так:
.
(Суммирование в этой формуле производится по всем точкам тела, которые, в общем случае, имеют различные массы и радиусы вращения.) Вводя независящую от скорости постоянную величину , которая называется моментом инерции системы точек (тела) относительно оси вращения, запишем момент импульса в виде:
.
Подставляя это выражение в (1.44) получим основное уравнение динамики вращательного движения вокруг неподвижной оси:
.
Слайд 9Если материальная точка вращается по окружности, то элементарная работа при
повороте на угол равна . Такое же выражение получится и
для твердого тела, поскольку точки твердого тела неподвижны относительно друг друга, и внутренние силы работы не совершают. Значит, для твердого тела
,
роль силы играет момент внешних сил, а роль линейного перемещения – угол поворота
Слайд 10Кинетическая энергия вращающегося твердого тела
.
