Закон сохранения момента импульса

силы. Уравнение моментов

http://prezentacija.biz/
http://lekcija.com/

скоростью v. Положение частицы в пространстве зададим радиусом-вектором r, проведенным

из неподвижной точки O.
Моментом импульса частицы относительно неподвижной точки O называется вектор L:


(где p = mv – импульс частицы).

Угол α – угол между векторами p и r; lp – кратчайшее расстояние от точки O до линии, вдоль которой направлен вектор p (плечо импульса).
Вектор L перпендикулярен плоскости, в которой расположены векторы p и r.

неподвижной оси Z называется проекция на эту ось момента импульса

L частицы, вычисленная относительно неподвижной точки оси Z.

Момент импульса Lz относительно неподвижной оси является скалярной величиной
Значение Lz не зависит от выбора точки O на оси Z.

относительно неподвижной точки O называется вектор, равный:




Здесь α – угол

между векторами r и F, h = rsinα - плечо силы – кратчайшее расстояния между линией действия силы F и точной O.

Вектор M перпендикулярен плоскости, в которой расположены векторы F и r.

Z называется проекция на эту ось вектора момента силы относительно

произвольной точки O на оси Z.

Величина Mz является скалярной и не зависит от выбора точки O на оси Z.

по времени момента импульса частицы равна моменту действующей на нее

силы.

движении в гравитационном поле. Второй закон Кеплера

движется в поле неподвижного гравитационного центра – тела C массы

M.
Действующая на частицу сила равна:



здесь r – радиус-вектор частицы, проведенный из точки C, r – расстояние между центром гравитационного поля и частицей.

Поскольку в любой момент времени Fгр↑↓r, то ее момент относительно точки C равен нулю, следовательно, момент импульса L частицы относительно точки C сохраняется.

гравитационного поля: при движении в центральном гравитационном поле момент импульса

частицы относительно центра поля сохраняется

Рассмотрим следствия, вытекающие из этого свойства.

плоской кривой; плоскость движения проходит через центр поля.

При движении частицы

ее момент импульса относительно поля L = [r×p]. По свойству векторного произведения, r⊥L. А поскольку вектор L = const, его направление в пространстве остается неизменным. Следовательно, при движении частицы вектор r остается в одной плоскости, перпендикулярной к L, которая проходит через центр поля. Что и требовалось доказать.

при ее движении в центральном гравитационном поле за равные промежутки

времени описывает одинаковые площади

Докажем это свойство.

называется секториальной скоростью (площадь, описываемая за единицу времени радиусом-вектором частицы).

Поскольку

L = const, то и σ = const.

системы частиц

системе отсчета равны p1, p2, …, pi, …, pN. Положения

этих частиц в пространстве задаются радиусами-векторами r1, r2, …, ri, …, rN, проведенными из некоторой неподвижной точки O (неподвижного начала).

Моментом импульса L системы частиц относительно неподвижной точки O называется векторная сумма всех моментов импульса Li всех частиц системы относительно той же точки:

как вычисляется момент импульса системы, состоящей из двух частиц

определяет скорость изменения момента импульса системы частиц, продифференцируем по времени

обе части формулы для L:



(поскольку на каждую частицу действуют как внутренние, так и внешние силы).

1 и 2. По III закону Ньютона F1 = –

F2. Вычислим сумму моментов этих внутренних сил:



Поскольку все внутренние силы – это силы попарного взаимодействия частиц друг с другом, и момент каждой пары сил равен нулю, то суммарный момент всех внутренних сил, действующих в системе, равен нулю:

для системы частиц:




В соответствии с этим уравнением, производная по времени

момента импульса системы частиц равна сумме моментов всех внешних сил, действующих на частицы.

импульса системы частиц: момент импульса L замкнутой системы частиц с

течением времени не изменяется (т.е. сохраняется).

Действительно, если система замкнута, т.е. внешние силы отсутствуют, то:



Однако, в некоторых случаях момент импульса незамкнутой системы частиц может сохраняться. Рассмотрим эти случаи.

система не замкнута, но моменты внешних сил, вообще говоря, отличны

от нуля, но при этом сумма моментов внешних сила равна нулю, то момент импульса системы сохраняется:

горизонтально пуля со скоростью v0 массой m застревает в небольшом

деревянном шаре массой M, подвешенном на вертикальном стержне, который может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через точку подвеса O.

На пулю и шар действуют внешние силы mg, Mg и N (сила N в момент удара пули может быть очень большой). Однако, если за время удара стержень не успевает значительно отклониться, то моменты всех внешних сил относительно точки O равны нулю (линии действия этих сил проходят через точку O), то момент импульса системы сохраняется:

проекция на некоторую неподвижную ось Z момента всех внешних сил

равна нулю, то в проекции на ось Z момент импульса Lz сохраняется:

на нити шарик вращается с постоянной скоростью в горизонтальной плоскости

по окружности. В этом случае проекция на проходящую через точку подвеса O вертикальную ось Z момента импульса шарика сохраняется в процессе движения.
Действительно, на шарик действуют: сила натяжения нити T (не создающая момента, т.к. линия ее действия проходит через точку O); сила тяжести, момент которой M = [r×mg] в проекции на ось Z равен нулю (см. рисунок). Поэтому Lz = const.
Вектор L имеет постоянную длину и вращается в пространстве вместе с шариком, описывая поверхность кругового конуса, в то время как его проекция на ось Z остается постоянной.

импульса системы приблизительно сохраняется, если момент Mвнеш ограниченной по модулю

внешней силы действует в течение короткого промежутка времени Δt (т.е. Δt ≈ 0):