Эволюция систем счисления

по определённым правилам с помощью символов некоторого алфавита, называемых цифрами.
Числа:

{0, 1}

{0, 1, … , A, B, C, D, E, F}

используется всего один символ:

Этим кодом пользуются малыши, показывая на пальцах свой возраст.

палочка,

узелок,

зарубка.

как угодно, но разные цифры должны выглядеть по-разному.
Аддитивные системы счисления
Египтяне
Ацтеки
племена МАЙЯ

, а десяток палочек заменяли на изображение пут для коров

Записывались цифры числа начиная с больших значений и заканчивая меньшими Если десятков, единиц, или какого-то другого разряда не было, то переходили к следующему разряду. Удобств для счета никаких.

=1 205

=1 023 029

Задание:

а потом ее приспособили для двадцатеричной.
Записывались цифры числа в

20+20+5+5+5+1+1+1+1 = 59;

5+5+5+1 = 16;

20+1+1+1 = 23

система счисления, с помощью которой сборщики податей заполняли квитанции и

.
Употребимые в квитанции знаки означают:
звезда – тысяча рублей, колесо – сто рублей, квадрат – десять рублей, Х – один рубль, IIIIIIIIII - десять копеек, I – копейку.
Дабы неможно было сделать здесь никаких прибавлений, все таковые знаки очерчивать кругом прямыми линиями.

народа, который использовал эту систему.
Алфавитные аддитивные системы счисления
Римляне
Сирийцы
Арабы
Евреи
Греки
Славяне

нумерация.
Числа 50, 500, 5000 обозначались комбинациями знаков 5 и

Аттическая нумерация была вытеснена у греков более компактной буквенной нумерацией, так называемой ионийской системой.
Первые девять букв обозначали единицы от 1 до 9, следующие девять – десятки от 10 до 90, остальные четыре – сотни от 100 до 400.

=7800

=382

Задание:

западных славян.
Использовалась нечасто, но достаточно долго: с VIII по

Для того, чтобы не перепутать буквы и цифры, использовались титла - горизонтальные черточки над числами, или точки.

эту нумерацию. Запись числа, использованная славянами аддитивная:
Эта нумерация была

V – 5 (раскрытая ладонь, 5 пальцев),

Цифры обозначаются буквами латинского алфавита. Чтобы выделить числа в тексте, над ними рисовали черту: LXIV. Иногда черту рисовали и сверху, и снизу: XXXII — в частности, так принято выделять римские цифры в русском рукописном тексте.

из 4-х одинаковых цифр заменяется комбинацией с правилом вычитания -

1000

+ 500

+ 100

– 10

+ 50

– 1

+ 5

2389 = 2000 + 300 + 80 + 9

2389 = M M C C C L X X X I X

M M

CCC

LXXX

IX

= 1644

= (X+X+X)+(I+I)= 30+2

Число 444 (в десятичной записи 3 одинаковые

Примеры:

Римская система счисления

знаки-цифры (V, X, L, C, D, M)
как записать дробные числа?
как

=
МММDCCLXVIII
ММCMIICIII
МCDLII
МCMXCIX

2) LX;

Задания:

19; 2) 60; 3) 140; 4) 469;
5) 946; 6) 880; 7) 1648; 8) 2190.

1) XIII; 2) XCIX; 3) DCLXVI; 4) CDXLIV; 5) MDCXCII;
6) CIVVI; 7) CCDI; 8) CMLIX; 9) MMLXXVIII; 10) DCXCIX.

1) XXII – V; 2) CV – LII;

1) 17=XVII; 2) 53=LIII; 3) 118=CXVIII; 4) 1908=MCMVIII; 5) 4=IV; 6) 40=LX; 7) 6=V1; 8) 168=CLXVIII.

3. Какие десятичные числа записаны с помощью римских цифр? Выделите разряды:
1) MMMCCDXXXIII; 2) DCCLXXVII; 3) DCIX; 4) MCMXCVI; 5) MMII; 6) MMCCDXIII; 7) XLVII; 8) CCMVIII.

1) 3333; 2) 777; 3) 609; 4) 1996; 5) 2002; 6) 2313; 7) 47; 8) 808.

которые могут принимать разные значения в зависимости от расположения в

Чтобы "собрать« число используется умножение (multiplication англ.). Например, запись числа 1999 означает:
1 • 1000 + 9 • 100 + 9 • 10 + 9.

Такая система счисления годится для записи чисел, и она очень удобна для счета.

современная арабская, которой мы пользуемся.
Возникла в Китае около

Задание:

=2425

веков до нашего времени создалась позиционная нумерация.
Ту роль, которую

Цифры имели клинообразный вид - писали на глиняных табличках палочками треугольной формы.

Арабы стали пользоваться подобной нумерацией около 800 г., а примерно

Арабская нумерация вначале была буквенной. Традиционные арабские цифры являются видоизменёнными начертаниями индийских цифр, приспособленными к арабскому письму.

Первоначально этими знаками представлялись числа 1, 2, 3, … 9, 10, 20, 30, …, 90, 100, 1000. С их помощью записывались другие числа. Но в последствии был введен особый знак - жирная точка для указания пустующего разряда. И нумерация "Деванагари" превратилась в поместную десятичную систему.

язык и сыграла очень большую роль в развитии европейской арифметики

Из арабского языка заимствовано и слово «цифра» (по-арабски "сыфр"), означающее буквально «пустое место». Это слово применялось для названия знака пустого разряда, и этот смысл сохраняло до XVIII века, хотя еще в XV веке появился латинский термин "нуль" (nullum - ничто).

Решающую роль в распространении индийской нумерации в арабских странах сыграла книга «Об индийском счёте», написанная в начале IX века Мухаммедом Ал Хорезми.

Арабская нумерация

В России до конца XVII века сохранялась славянская нумерация. При Петре I возобладала так называемая "арабская нумерация".

математиком средневековой Европы Леона́рдо Пиза́нским, известным как Фибоначчи. Он долгое

Значительную часть усвоенных им знаний он изложил в своей выдающейся «Книге абака», которая содержит почти все арифметические и алгебраические сведения того времени,

По этой книге многие поколения европейских математиков изучали индийскую позиционную систему счисления.

Леонардо Пизанский

Форма индийских цифр претерпевала многообразные изменения. Та форма, которой мы сейчас пользуемся установилась в XVI веке.

, 123, …
I, II, III, IV, V, ... , XX,

(Арабская система)

(Римская система)

триста
тридцать
три
+
+
десять
десять
десять
+
+
=
=
триста тридцать три
тридцать
Арабская
Римская

в числе, не зависит от позиции той цифры.

В арабском

Вывод:

она обозначает.
от положения цифры
в записи числа не зависит

цифр для изображения числа.
Размер алфавита (число цифр в алфавите)

целых часа + 1/12 часа

Какие правила вы при этом использовали?







Следовательно,

Ответ: 2 часа 5 минут

основание равно 10.

система счисления
1706
8
0,1,2,3,4,5,6,7
8

дюймов, 1 шиллинг = 12 пенсов)
двадцатеричная (1 франк = 20

В повседневной жизни наиболее употребима десятичная система счисления.

Позиционные системы счисления

Базисом позиционной системы счисления называется последовательность чисел, каждое из которых задает количественное значение или "вес" каждого разряда.

Например: базисы некоторых позиционных систем счисления.

Десятичная система: 100, 101, 102, 103, 104, ..., 10n, ...

Двоичная система: 20, 21, 22, 23, 24, ..., 2n, ...

Восьмеричная система: 80, 81, 82, 83, 84, ..., 8n, ...

+ 8·100
Положение, занимаемой цифрой при письменном обозначении числа называется

Основание десятичной системы счисления показывает, что каждые десять единиц образуют один десяток, десять десятков образуют одну сотню, десять сотен образуют одну тысячу и т.д.

В общем случае, каждые десять единиц любого разряда образуют одну единицу соседнего, более старшего разряда.

считал восьмеричную систему более удобной, чем десятичная, и намеревался королевским

Восьмеричная система счисления широко использовалась в программировании в 1950-70-е гг. К настоящему времени практически полностью вытеснена шестнадцатеричной системой счисления, однако функции перевода числа из десятичной системы в восьмеричную и обратно сохраняются в микрокалькуляторах и многих языках программирования.

IBM. Широко используется в программировании для IBM-совместимых компьютеров.

В русском языке известен пуд, равный 16 килограммам.

+ a0Р0
Формы представления числа в позиционной системе счисления
4 2

4000 + 200 + 30 + 7

a3 a2 a1 a0

=4*103+2*102+3*101+7*100

=

Например: 35729= 3 * 93 + 5 * 92 + 7 * 91 + 2 * 90

Свёрнутая форма

Развёрнутая форма

n-число разрядов целой части числа, m-число разрядов дробной части числа.

Пример:

Развернутая

единицы

десятки

сотни

тысячи

10 и
3 • 4 = 13?

представления цифр в ней, как правило, используются первые р десятичных

Для 10<р<37 в качестве первых 10 цифр также обычно используют их десятичное представление, а для остальных цифр – буквы латинского алфавита.
Например, в шестнадцатеричной системе счисления будут использоваться буквы A,B,C,D,E,F.

Для систем счисления с основаниями большими 36 единых правил для формы записи цифр не существует.

* 91 + 2 * 90
2517 =
Задание: 1) запишите в

35729 =

1 * 24 + 0 * 23 + 1 * 22 + 1 * 21 + 0 * 20

2 * 72 + 5 * 71 + 1 * 70

2) Запишите наибольшее двузначное число в восьмеричной, пятеричной, троичной системах счисления. Определите десятичные эквиваленты этих чисел.

778 = 6310

445 = 2410

223 = 810

3) Сравните числа: 510 и 105, 10002 и 106, 810 и 1004

510 = 105

10002 > 108

810 < 1004

следует за 1112, 378, FF16?
10002
78
10016
10012
A0F16
6) В какой системе счисления 21

1x2 + 0x1 + 0x0 = 2x1+1x0 + 2x1 + 4x0.
x2 = 2x + 2x + 5 или x2 - 4x - 5 = 0.
x = 5 – в пятеричной системе счисления

6) Десятичное число 59 эквивалентно числу 214 в некоторой другой системе счисления. Найдите основание этой системы.

2x2 + x + 4 =59
2x2 + x – 55 = 0
х = 5 – основание 5