Основы логики и логические основы компьютера

отражают в сознании человека свойства, связи и отношения объектов окружающего

мира. Логика позволяет строить формальные модели окружающего мира, отвлекаясь от содержательной стороны.
Алгебра логики – это математический аппарат, с помощью которого записывают (кодируют), упрощают, вычисляют и преобразовывают логические высказывания.

это форма мышления, в которой что-либо утверждается или отрицается о

свойствах реальных предметов и отношениях между ними.

или ложно.
Высказывание может принимать только одно из двух логических значений

– истинно (1) или ложно (0).
Истинным будет высказывание, в котором правильно отражаются свойства и отношения реальных вещей.
Ложным высказывание будет в том случае, если оно не соответствует реальной действительности.

высказываниями:
Уходя, гасите свет.
Какого цвета этот дом?
Посмотрите в окно.

одну простую мысль.
Логические переменные обычно обозначают буквами латинского алфавита:

A, B, C …
Например, А={Квадрат – это ромб}

собой с помощью логических операций.
Например,
F(A,B)={Лил дождь, и дул холодный ветер}


F(A,B)={Процессор

является устройством обработки информации и принтер является устройством печати.

А

В

на основании здравого смысла, то истинность или ложность составных высказываний

вычисляется с помощью использования алгебры логики.

определять истинность или ложность сложных (составных) высказываний, не вникая в

их содержание.
В алгебре логики над высказываниями можно производить определенные логические операции, в результате которых получаются новые, составные высказывания.
Для образования новых высказываний наиболее часто используются базовые логические операции, выражаемые с помощью логических связок «и», «или», «не».

истинности)

Таблица истинности – таблица, в которой перечислены все возможные значения

входящих логических переменных и соответствующие им значения функции.

НЕ, словосочетанию НЕВЕРНО, ЧТО;
обозначение: не А, Ᾱ, ¬А;
таблица истинности:

высказывание истинным.

А={25+25=50}
Ᾱ={Неверно, что 25+25=50}

- А={25+25=51}
Ᾱ={Неверно, что

25+25=51}

+, или, v;
таблица истинности:

тогда и только тогда, когда ложны все входящие в него

простые высказывания.

F={2+2=4 или 3+3=7};
F={2+2=5 или 3+3=6};
F={2+2=4 или 3+3=6};
F={2+2=5 или 3+3=7};

&, и, ;
таблица истинности:

тогда и только тогда, когда истинны все входящие в него

простые высказывания.
- F={2+2=5 и 3+3=6};
F={2+2=4 и 3+3=7};
F={2+2=5 и 3+3=7};
F={2+2=4 и 3+3=6};

А=1, В=0. В чем заключаются высказывания:
а) Ᾱ
б) ¬В
в) А۸В
г)

АvВ

Какие из этих высказываний истинны?

={Число 5 – не простое}

={Число 4 - четное}

={Число 5 – простое и число 4 - нечетное}

={Число 5 – простое или число 4
нечетное}

выстрелом}, где k=1, 2, 3.
Что означают следующие высказывания:
а) Р1v Р2

v Р3


б) Р1  Р2  Р3


в)

Мишень поражена первым
выстрелом или вторым выстрелом или третьим выстрелом.

Мишень поражена и первым
выстрелом, и вторым выстрелом, и третьим выстрелом.

Неверно, что мишень поражена
первым выстрелом или вторым
выстрелом или третьим выстрелом.

логического выражения или формулы, которая состоит из логических переменных, обозначающих

высказывания, и знаков логических операций.
Логические операции выполняются в следующем порядке: инверсия, конъюнкция, дизъюнкция. Скобки позволяют этот порядок изменить:

языке (языке алгебры логики) в составном высказывании нужно выделить простые

высказывания и логические связи между ними.
Запишем в форме логического выражения составное высказывание
(2•2=5 или 2•2=4) и (2•2≠5 или 2•2≠4) и проанализируем полученное составное высказывание. Оно содержит два простых высказывания:
А={2•2=5} – ложно (0)
В={2•2=4} – истинно (1)
Тогда составное высказывание можно записать в следующем виде: (А∨В)∧(¬А∨¬В).
Истинность или ложность составных высказываний можно определять чисто формально, руководствуясь законами алгебры логики, не обращаясь к смысловому содержанию высказываний.
Подставив в логическое выражение значения логических переменных и, используя таблицы истинности базовых логических операций, получим значение логической функции:
F = (А∨В)∧(¬А∨¬В) =(0∨1)∧(1∨0) = 1∧1 = 1.

истинности)

Таблица истинности – таблица, в которой перечислены все возможные значения

входящих логических переменных и соответствующие им значения функции.

все возможные значения переменных;
Определить количество логических операций и их порядок;
Записать

логические операции в таблицу истинности и определить для каждой их значение.

n=2, следовательно, количество строк N=2n=4. Воспользовавшись таблицами истинности логических операций,

заполним полученную таблицу




Таким образом можно определить значение любой логической функции.

v ¬В۸ С

трех аргументов: Х, У, Z. Дан фрагмент истинности выражения F:
Какое выражение

соответствует F ?

1) ¬Х ۸ ¬У ۸ Z

2) Х ۸ У ۸ ¬Z

3) Х v ¬У v ¬Z

4) ¬Х v ¬У v Z

трех аргументов: Х, У, Z. Дан фрагмент истинности выражения F:
Какое выражение

соответствует F ?

1) ¬Х ۸ У ۸ Z

3) Х ۸ ¬У ۸ ¬Z

2) ¬Х v У v ¬Z

4) ¬Х v ¬У v Z

связываю:
соответствует речевому обороту ЕСЛИ … ТО
обозначение: →, ⇒;
таблица истинности:

тогда и только тогда, когда из истинной предпосылки (первого высказывания)

следует ложный вывод (второе высказывание)

Например, высказывание «Если число делится на 10, то оно делится на 5» истинно, так как истинны и первое высказывание, и второе высказывание.
Высказывание «Если число делится на 10, то оно делится на 3» ложно, так как из истинной предпосылки делается ложный вывод.

ЭКВИВАЛЕНТНО
обозначение: =, ↔, ⇔;
таблица истинности:

и только тогда, когда оба высказывания одновременно либо ложны, либо

истинны.

Рассмотрим два высказывания: А={Компьютер может производить вычисления} и В={Компьютер включен}. Составное высказывание, полученное с помощью операции эквивалентности, истинно, когда оба высказывания либо истинны, либо ложны:
{Компьютер может производить вычисления тогда и только тогда, когда компьютер включен}.
{Компьютер не может производить вычисления тогда и только тогда, когда компьютер не включен}.

высказывание истинно, а другое ложно:
{Компьютер может производить вычисления тогда и

только тогда, когда компьютер не включен}.
{Компьютер не может производить вычисления тогда и только тогда, когда компьютер включен}.

логических операций: операция в скобках, отрицание, логическое умножение, логическое сложение,

импликация, эквиваленция.

выражению: (А∨¬В)∧(¬А∨В).
Доказать, используя таблицы истинности, что

.
Доказать, используя таблицы истинности, что .

буква имени согласная) :
1) ЕЛЕНА 2) ВАДИМ 3)

АНТОН 4) ФЕДОР
Решение:
Поскольку данное высказывание истинно, его отрицание (Первая буква имени гласная →Четвертая буква имени согласная) ложно.
Это высказывание является импликацией и ложно только в том случае, когда левая часть его (Первая буква имени гласная) истинна, а правая (Четвертая буква имени согласная) – ложна. То есть , первая и четвертая буквы имени – гласные.
Этому условию удовлетворяет только имя АНТОН.

2) А∧В 3) (¬А)∨(¬В)

4) (¬А)∧В
Решение:
Составим таблицу истинности для всех выражений






Ответ: 4)

(Х>4) ∨((X>1)→(X>4)) :
1) 1 2) 2

3) 3 4) 4
Решение:
Подставим последовательно варианты ответов в исходное выражение и вычислим его значение
(1>4) ∨((1>1)→(1>4)) =0∨(0→0)=0∨1=1
(2>4) ∨((2>1)→(2>4)) =0∨(1→0)=0∨0=0
(3>4) ∨((3>1)→(3>4)) =0∨(1→0)=0∨0=0
(4>4) ∨((4>1)→(4>4)) =0∨(1→0)=0∨0=0


Ответ: 1)

важные закономерности логического мышления. В алгебре логики законы логики записываются

в виде формул, которые позволяют проводить эквивалентные преобразования логических выражений.
Закон тождества. Всякое высказывание тождественно самому себе: А=А
Закон непротиворечия. Высказывание не может быть одновременно истинным и ложным. Если высказывание А истинно, то его отрицание должно быть ложным. Следовательно, логическое произведение высказывания и его отрицания должно быть ложно: А∧(¬А)=0

Это означает, что результат логического сложения высказывания и его отрицания

всегда принимает значение «истина»: А∨(¬А)=1

Закон двойного отрицания. Если дважды отрицать некоторое высказывание, то в результате мы получим исходное высказывание: ¬ (¬А)=А

Законы де Моргана.

местами. В алгебре логики можно менять местами логические переменные при

операциях логического умножения и логического сложения:
А∧В = В∧А
А∨В = В∨А
Закон ассоциативности. Если в логическом выражении используются только операции логического умножения или только логического сложения, то можно пренебрегать скобками или произвольно их расставлять:
(А∧В) ∧С=А∧(В∧С)
(А∨В) ∨С=А∨(В∨С)

можно выносить только общие множители, в алгебре логики можно выносить

за скобки как общие множители, так и общие слагаемые:
(А∧В) ∨(А∧С) = А∧(В∨С)
(А∨В) ∧(А∨С )= А∨(В∧С)
Полезно также знать формулу для выражения импликации через отрицание и логическое сложение А→В=¬А∨В
Пример. Упростить логическое выражение:
(А∧В) ∨(А∧¬В)
Воспользуемся законом дистрибутивности и вынесем за скобки А: А∧(В∨¬В).
По закону исключения третьего (В∨¬В)=1, следовательно: А∧(В∨¬В)=А∧1=А

(А∨¬А) ∧В = 1∧В = В

б) А∧(А∨В)∧(В∨¬В)
Решение:

А∧(А∨В)∧(В∧¬В) = А∧(А∨В)∧0 = 0

согласная)?
1) abedc 2) becde

3) babas 4) abcab

2. Для какого имени истинно высказывание:
¬(Первая буква имени согласная → Третья буква имени гласная)?
1) Юлия 2) Петр 3) Алексей 4) Ксения

3. Для какого из значений числа У высказывание
(У<5) ∧ ((Y>1) →(Y>5)) будет истинным?
1) 1 2) 2 3) 3 4) 4

Решить следующие логические задачи:

буква гласная)?
1) abcde 2) bcade

3) babas 4) cabab

5. Какое из приведенных названий животных удовлетворяет логическому условию
В слове пять букв ∧ Четвертая буква гласная?
1) Зебра 2) Слон 3) Кабан 4) Олень

6. Для какого из значений числа У высказывание
((У<2) ∨ (Y>4)) →(Y>3) будет ложным?
1) 1 2) 2 3) 3 4) 4

→ ¬(Вторая буква согласная)?
1) Собака 2)

Жираф 3) Верблюд 4) Страус

8. Для какого имени ложно высказывание:
Первая буква гласная ∨ Четвертая буква согласная?
1) Петр 2) Алексей 3) Наталья 4) Елена

9. Какое из приведенных имен удовлетворяет логическому условию
Первая буква гласная ∧Четвертая буква согласная ∨В слове четыре буквы?
1) Сергей 2) Вадим 3) Антон 4) Илья