Презентация по информатике "Решение логических задач при подготовке к ЕГЭ".

1191
Г. Москва
Решение логических задач

при подготовке к ЕГЭ

–and, &, ∧.

Дизъюнкция – логическое сложение (ИЛИ) –or, |, v.

Логическое отрицание

(НЕ) – not, ¬.

Что нужно знать для решения задач:

Дополнительные логические операции:

рефлексивности a ∨ a = a a ∧ a = a

Законы коммутативности a

∨ b = b ∨ a a ∧ b = b ∧ a

Законы ассоциативности (a ∧ b) ∧ c = a ∧ (b ∧ c) (a ∨ b) ∨ c = a ∨ (b ∨ c)

∨ (a ∧ c) a ∨ (b ∧ c) = (a

∨ b) ∧ (a ∨ c)

Закон отрицания отрицания ¬ (¬ a) = a

Законы де Моргана ¬ (a ∧ b) = ¬ a ∨ ¬ b ¬ (a ∨ b) = ¬ a ∧ ¬ b

Законы поглощения a ∨ (a ∧ b) = a a ∧ (a ∨ b) = a

отражают результаты вычислений сложных высказываний при различных значениях исходных простых

высказываний.

Простые высказывания обозначаются переменными (например, A и B).

(K v L v M) ^ (¬L ^ ¬M ^

N) = 1,
где K, L, M, N – логические переменные?

Решение задачи № 1

Высказывание (K v L v M) ^ (¬L ^ ¬M ^ N) истинно только в том случае, когда истинны оба высказывания (K v L v M) и (¬L ^ ¬M ^ N).
Второе из этих высказываний, (¬L ^ ¬M ^ N), истинно только при L = 0, M = 0, N = 1.
При найденных значениях L и M первое высказывание, (K v L v M), истинно, если K = 1.

Ответ: уравнение имеет только одно решение.

(K ^ L) v (M ^ N) = 1,

где

K, L, M, N – логические переменные?

v (M ^ N) истинно, когда истинно хотя бы одно

из высказываний (K ^ L), (M ^ N).
Первое из этих высказываний, (K ^ L), истинно при K = 1, L = 1, а поскольку второе высказывание при этом может принимать любое значение, то для M и N следует учитывать четыре различных набора: (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1).
Второе из этих высказываний, (M ^ N), истинно при M = 1, N = 1, а поскольку первое высказывание при этом может принимать любое значение, то для K и L следует учитывать четыре различных набора: (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1). Последний из этих наборов следует исключить, т.к. он уже учитывался ранее, когда M и N могли принимать любые значения.
Ответ: таким образом, уравнение имеет 7 решений.

M, N, при которых логическое выражение

(K -> M) v

(L ^ K) v ¬N
ложно.

Ответ запишите в виде строки из четырех символов: значений переменных K, L, M, N (в указанном порядке). Так, например, строка 1101 соответствует тому, что K =1, L = 1, M = 0, N = 1.

(L ^ K) v ¬N ложно, когда ложны все высказывания

K -> M,
L ^ K,
¬N.
Первое из этих высказываний, K -> M, ложно, если
K = 1, M = 0.
Второе из этих высказываний, L ^ K, при K = 1 ложно,
если L = 0.
Третье из этих высказываний, ¬N, ложно, если N = 1.
Таким образом, значения переменных, при которых логическое выражение, заданное в условии задачи, ложно: 1001.
Ответ: 1001.

x3, x4, x5, y1, y2, y3, y4, y5, которые удовлетворяют

всем перечисленным ниже условиям?

(x1->x2) / (x2->x3) / (x3->x4) / (x4->x5 )  = 1
(y1->y2) / (y2->y3) / (y3->y4) / (y4->y5 )  = 1
x1/y1 =1

В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных x1, x2, x3, x4, x5, y1, y2, y3, y4, y5, при которых выполнена данная система равенств.
В качестве ответа Вам нужно указать количество таких наборов.

Решение. 

всех k>=i выполнено x[k]  = 1 . Поэтому первое уравнение

имеет 6 решений (1-я цифра в наборе – значение x1, 2-я цифра в наборе – значение x2 и т.д.):
00000, 00001, 00011, 00111, 01111, 11111
Второе уравнение имеет 6 аналогичных решений (1-я цифра в наборе – значение y1, 2-я цифра в наборе – значение y2 и т.д.):
00000, 00001, 00011, 00111, 01111, 11111
Решение системы – пара таких наборов. Ввиду третьего уравнения, один наборов в паре должен быть набором 11111. Таких пар – 11: {11111, 11111}, 5 пар вида {11111, R} и 5 пар вида {R, 11111}, здесь R – один из наборов 00000, 00001, 00011, 00111, 01111.

Ответ: 11

{11111, 00001};  {11111, 00011};  {11111, 00111};  {11111, 01111};
{11111, 11111}

{00000, 11111};  {00001, 11111};  {00011, 11111};  {00111, 11111}; {01111, 11111};
{11111, 11111}

Написано 12 пар, но решений

— 11.  
Выделенная жирным пара  {11111, 11111} написана 2 раза!

→ (X>3))?
 
1) 1
2) 2
3) 3
4) 4
Решение:
Вы­ска­зы­ва­ние ис­тин­но, если вы­ра­же­ние в

скоб­ках ложно. Им­пли­ка­ция ложна тогда и толь­ко тогда, когда по­сыл­ка ис­тин­на, а след­ствие ложно. По­сыл­ка ис­тин­на в ва­ри­ан­тах 3 и 4, од­на­ко ва­ри­ант 4 не под­хо­дит, так как в таком слу­чае след­ствие ис­тин­но.
Сле­до­ва­тель­но ответ 3.

букву) Λ (B слове 6 букв) → (Чет­вер­тая буква со­глас­ная)?
 
1)

Стра­ус
2) Лео­пард
3) Вер­блюд
4) Кен­гу­ру

Решение:
В первую оче­редь вы­пол­ня­ет­ся ло­ги­че­ское "И".
Им­пли­ка­ция ложна толь­ко тогда, когда по­сыл­ка ис­ти­на, а след­ствие ложно. По­сыл­ка {(За­кан­чи­ва­ет­ся на со­глас­ную букву) Λ (B слове 6 букв)} ис­ти­на для ва­ри­ан­та один, а след­ствие {(Чет­вер­тая буква со­глас­ная)} для него ложно.
Сле­до­ва­тель­но, ответ 1.

A \/ B
2) A /\ B
3) ¬A \/ ¬B
4) ¬A

/\ B

Решение:

¬ (А \/ ¬B) = ¬ A /\ ¬ (¬B) = ¬ A /\ B.
 
Пра­виль­ный ответ 4.

10] и Q = [6, 14].
Вы­бе­ри­те такой от­ре­зок A,

что фор­му­ла 
( (x ∈ А) → (x ∈ P) ) ∨ (x ∈ Q)
тож­де­ствен­но ис­тин­на, то есть при­ни­ма­ет зна­че­ние 1 при любом зна­че­нии пе­ре­мен­ной х.
 
1) [0, 3]
2) [3, 11]
3) [11, 15]
4) [15, 17]

P) ≡ P;
(x ∈ Q) ≡ Q.
При­ме­нив пре­об­ра­зо­ва­ние им­пли­ка­ции,

по­лу­ча­ем:
¬A∨P∨Q.

Ло­ги­че­ское ИЛИ ис­тин­но, если ис­тин­но хотя бы одно утвер­жде­ние.
Вы­ра­же­ние P ∨ Q ис­тин­но на от­рез­ке [2; 14]. По­сколь­ку все вы­ра­же­ние долж­но быть ис­тин­но для лю­бо­го x, вы­ра­же­ние ¬A долж­но быть ис­тин­но на мно­же­стве (−∞; 2) ∪ (14; ∞). Таким об­ра­зом, вы­ра­же­ние A долж­но быть ис­тин­но толь­ко внут­ри от­рез­ка [2;14].
Из всех от­рез­ков толь­ко от­ре­зок [3; 11] пол­но­стью лежит внут­ри от­рез­ка [2; 14].
Ответ: 2