10 способов решения квадратного уравнения

должен найти у него корешок.
Значение буквы проверить не сложно,
Поставь в

уравненье его осторожно.
Коль верное равенство выйдет у вас,
То корнем значенье зовите тотчас.
О. Севостьянова

ах2 + bх + с = 0

по теме «Квадратные уравнения»
Развитие математических, интеллектуальных способностей, навыков исследовательской работы
Создание

условий для самореализации личности

решать уравнения известными способами
Ввести теоремы, позволяющие решать уравнения нестандартными способами
Продолжить

формирование общеучебных навыков, математической культуры
Содействовать формированию интереса к исследовательской деятельности
Создать условия для учащихся в реализации и развитии интереса к предмету математика
Подготовить учащихся к правильному выбору профильного направления

1. Введение. 1 час.
Определение кв.уравнения. Полные и

неполные кв. уравнения. Методы их решения. Анкетирование.
Тема 2. Решение кв. уравнений.
Метод разложения на множители
Метод выделения полного квадрата
Решение кв. уравнений по формулам
Решение кв. уравнений способом переброски
Решение кв. уравнений с помощью т.Виета
Решение кв. уравнений с использованием коэффициентом
Решение кв. уравнений графическим способом
Решение кв. уравнений с помощью циркуля и линейки
Решение кв. уравнений геометрическим способом
Решение кв. уравнений с помощью «номограмм»

величественное здание алгебры. Квадратные уравнения находят широкое применение при решении

тригонометрических, показательных, логарифмических, иррациональных и трансцендентных уравнений и неравенств.
Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне.
Квадратные уравнения в Индии.
Квадратные уравнения у ал - Хорезми.
Квадратные уравнения в Европе XIII - XVII вв.

Свободное время он посвящал астрономии. Занятия астрономией требовали знания тригонометрии

и алгебры. Виет занялся этими науками и вскоре пришёл к выводу о необходимости их усовершенствования, над чем и проработал ряд лет.
Благодаря его труду, алгебра становится общей наукой об алгебраических уравнениях, основанной на буквенном исчислении. Поэтому стало возможным выражать свойства уравнений и их корней общими формулами.

«переброски»
Разложение левой части на множители
Графический способ



Способы интересные, но занимают много

времени и не всегда удобны.

Графический способ
С помощью номограммы
Линейки и циркуля
Выделение полного квадрата

Преклоняюсь перед учеными которые открыли эти способы и дали науке толчок для развития в теме «Решение квадратных уравнений»

- 24=0.

Разложим на множители левую часть: х2 + 10х - 24= х2 + 12х -2х - 24= х(х + 12) - 2(х + 12)= (х + 12)(х - 2).
(х + 12)(х - 2)=0
х + 12=0 или х - 2=0
х= -12 х= 2
Ответ: х1= -12, х2 = 2.
Решить уравнения: х2 - х=0
х2 + 2х=0
х2 - 81=0
х2 + 4х + 3=0
х2 + 2х - 3=0

7=0
х2 + 6х - 7=х2 + 2х3 +

32 - 32 - 7=(х-3)2 - 9- 7= (х-3)2 - 16
(х-3)2 -16=0
(х-3)2 =16
х-3=4 или х-3=-4
х=1 х=-7
Ответ: х1=1, х2 =-7.
Решить уравнения: х2 - 8х+15=0
х2 +12х +20=0
х2 + 4х + 3=0
х2 + 2х - 2=0
х2 - 6х + 8=0

то D= b2-4ac и х 1,2=

, (если D>0)


 
Если b- -четное, то D1= и х1,2= , (если D>0)

 
Решите уравнения: 2х2 - 5х + 2=0
6х2 + 5х +1=0
4х2 - 5х + 2=0
2х2 - 6х + 4=0
х2 - 18х +17=0
 

=

обе части уравнения на а, получим а2 х2 +аbх+ас=0. Пусть

ах =у, откуда х = у/а. Тогда У2 +bу+ас=0. Его корни у1 и у2 . Окончательно х1 = у1 /а, х1 = у2 /а.
Решим уравнение 2х2 -11х + 15=0.
Перебросим коэффициент 2 к свободному члену:
У2 -11у+30=0.
Согласно теореме Виета у1 =5 и у2 =6.
х1 =5/2 и х2 =6/2
х1 =2,5 и х2 =3
Ответ: х1=2,5 , х2 =3
Решить уравнение: 2х2 -9х +9=0
10х2 -11х + 3=0
3х2 +11х +6=0
6х2 +5х - 6=0
3х2 +1х - 4=0

х1 *х2 =-24

х1 +х2 = -10, то 24= 2*12, но -10=-12+2, значит
х1 =-12 х2 =2
Ответ: х1=2, х2 =-12.

Решить уравнения: х2 - 7х - 30 =0
х2 +2х - 15=0
х2 - 7х + 6=0
3х2 - 5х + 2=0
5х2 + 4х - 9=0

х2 = с/а

Если a – b + c=0, то х2 =-1, х2 = -с/а
Решим уравнение х2 + 6х - 7= 0 Решим уравнение 2х2 + 3х +1= 0
1 + 6 – 7 =0, значит х1=1, х2 = -7/1=-7. 2 - 3+1=0, значит х1= - 1, х2 = -1/2
Ответ: х1=1, х2 =-7. Ответ: х1=-1, х2 =-1/2.
Решить уравнения: 5х2 - 7х +2 =0 Решить уравнения: 5х2 - 7х -12 =0
11х2 +25х - 36=0 11х2 +25х +14=0
345х2 -137х -208=0 3х2 +5х +2=0
3х2 +5х - 8=0 5х2 + 4х - 1=0
5х2 + 4х - 9=0 х2 + 4х +3=0

в виде х2 =3-2х
В одной системе координат
построить график функции

у =х2 ,
построить график функции у =3-2х.
Обозначить абсциссы точек пересечения.
Ответ: х1=1, х2 =-3.

Решить уравнение: х2 -х - 6=0
х2 - 4х + 4=0
х2 +4х +6=0
х2 -2х - 3=0
х2 +2х - 3=0

точки S(-b:2a,(a+c):2a)- центр окружности и точку А(0,1)
Провести окружность радиуса SA
Абсциссы

точек пересечения с осью Ох есть корни исходного уравнения

в виде у2- 6у = 16. На рис.
«изображено» выражение у2-

6у , т.е.
из площади квадрата со стороной у
дважды вычитается площадь квадрата
со стороной 3. Значит у2 –6у+9 есть
площадь квадрата со стороной у-3.
Выполнив замену у2- 6у = 16, получим
(у-3)2 =16+9
у-3=5 или у-3=-5
у1 =8 у2 =-2 Решить уравнение у2 +6у - 16=0
Ответ: у1 =8 , у2 =-2