Аркфункции.

тригонометрических функций.
3.Примеры решения задач с обратными тригонометрическими функциями.
4. Упражнения.
5. Тест.

y= f (x) и y= g (x). Обе они определены

на отрезке [a ;b] и имеют областью своих значений отрезок
[c ;d].Первая функция обладает следующим свойством: для любого y0 из отрезка [с;d] есть только одно значение x0 из отрезка [a; b] , такое, что
f (x0) =y0...
Любая горизонтальная прямая , пересекающая ось у между точками c и d, пересекает график первой функции только в одной точке.

y=y1 пересекает график функции
y= g (x)

в трех точках.
Значит, в первом случае при каждом фиксированном y0 из отрезка [c;d] уравнение
f (x)=y0 имеет только один корень х0, а во втором случае при некоторых у, например, при у=у1 уравнение g (x)=y1 имеет более одного корня.

её значения у0 уравнение f (x)=y0 имеет относительно х единственный

корень, то говорят, что функция f обратима.
Если функция y=f (x) обратима, то, выразив х из формулы y=f (x) и поменяв затем х и у местами, получим обратную функцию.
Если функция y=f (x) определена и возрастает
( или убывает) на промежутке X и областью её значений является промежуток Y, то у неё существует обратная функция, причём обратная функция определена и возрастает (или убывает) на Y.
Пример. Доказать, что у функции у=2х-1 есть обратная, и найти её.
Решение. Функция у=2х-1 возрастает на всей числовой прямой, значит, у неё есть обратная функция. Выразим х:
х=0,5 (у+1).Поменяем х и у местами : у=0,5(х+1). Это и есть искомая обратная функция.

y=f (x), то точка (у; х) принадлежит графику обратной функции.

Графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой у = х.

принимает на нем все свои значения от -1 до 1.

Значит, для функции y=sin x,
- π/2 ≤ x ≤ π/2, существует обратная функция
y= arcsin x.
График функции y= arcsin x может быть получен из графика функции y=sin x,
-π/2 ≤ х ≤ π/2, с помощью преобразования симметрии последнего относительно прямой у = х.

[-π/2; π/2].
3)Функция нечетная:

arcsin (-x)=-arcsin (x).
4)Функция возрастающая.
5)Справедливы тождества:
sin (arcsin y)=y, -1≤y≤1;
arcsin (sin x)=x, -π/2 ≤ x ≤ π/2.