Элементы теории множеств

подмножеств данного множества;
Понятие универсального множества;
Равные множества.

3. Действия над множествами.
Пересечение;
Объединение;
Разность;
Дополнение.

4. Решение

задач с использованием кругов Эйлера.

План

не определяется через другие. Наука о множестве возникла с давних

времен. В IXX веке Георг Кантор ( немецкий математик ) обосновал множество, как «совокупность», «собрание», «набор», «ансамбль» и так далее. Многие математики выдвигали понятие и определения. Один французский математик дал дословное определение множеству: «Множество – невообразимое больше чем ничего, но меньше этого большего на множество». В наши времена множества используют как понятие единого целого, составленного из мелких частей – элементов.

Понятие множества и его элементов

его элементами.
Обозначение: a, b, c,…, z. Множества

обозначают буквами латинского алфавита: А, В, С,…, Z.
Запись: а ∈ А означает, что а – элемент множества А.
ОПР. 2 : Множество, не содержащее ни одного объекта, называют пустым.
Обозначение:∅
ОПР. 3: Множество, которое состоит из одного элемента – называется единичным. Множества бывают конечные и бесконечные.
ОПР. 4: Множество, которое имеет определенное количество элементов, называется конечным.
ОПР. 5: Множество, которое имеет бесконечно много элементов, называется бесконечным.

Виды множеств

символы: а ∈ А.

Например,
Окружность М
В ∈ М,
О ∈ М,
А ∈

М,
С ∉ М.

Способ задания

делении на 6 остаток 5:
В = { 17, 23, 29…}

В = { 6к + 5, к ∈ Z }
Так, множество дней недели конечно, а множество точек на прямой бесконечно. Бесконечными являются и такие множества, как множество натуральных чисел – N, множество целых чисел – Z, множество рациональных чисел – Q, множество действительных чисел – R.

Примеры

принадлежащий множеству, и не обладает ни один элемент, который ему

не принадлежит.

Характеристическое свойство

задать некоторое множество, достаточно:

В является так же элементом множества А
Обозначение: В ⊂ А
А

= { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }.
В = { 1, 3, 5, 7, 9 }.
Множество В является подмножеством множества А.

Понятие подмножества

2n.

Число подмножеств данного множества

универсальным. Его обозначают буквой I. Например, множество натуральных чисел является

подмножеством множества всех чисел; множество жителей г. Тамбова является подмножеством множества жителей России.

Понятие универсального множества

же элементов, называются равными.
Обозначение: А = В
Если относительно двух множеств

А и В установлено, что А ⊂ В и А ⊃ В, то это и означает, что А = В.

Пример:
С – множество чисел, кратных 3 и 5 одновременно
D – множество чисел, кратных 15
С = D

из всех элементов, принадлежащих одновременно и множеству А, и множеству

В.
Обозначение: А ∩ В

Пересечение

Пример:
A = {2n}; B = {3n + 1}
A ∩ B = {6n + 2}

из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из данных множеств

А или В.
Обозначение: А ∪ В

Объединение

Примеры:
1) A = {3k +1}; B = {3k}; C = {3k + 2}, где k ∈ Ζ
A ∪ B ∪ C = {3k}
2) A = {ромбы}; B = {параллелограммы}
A ∪ B = {ромбы; параллелограммы} = {параллелограммы}

элементов множества А, которые не являются элементами множества В.
Обозначение: В’а
Разность

те элементы множества А, которые не принадлежат множеству В.
Обозначение:

А\В

Дополнение

∩ А = А
если В ⊂ А, то А

∩ В = В
А ∩ В = В ∩ А
А ∩ (В ∩ С) = (А ∩ В) ∩ С = С ∩ А ∩ В
(А ∩ В) ⊂ А
∅ ’ = I
I’ = ∅
A ∪ ∅ = A

Свойства

действий над множествами

∪ A
A ∪ (B ∪C) = (A ∪ B)

∪ C = A ∪ B ∪ C
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
(A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∩ (B ∩ C)
A ⊂ (A ∪ B)
если В ⊂ А, то A ∪ B = А
если В ⊂ А, то A ∩ B = В
(A ∩ B)’ = А’ ∪ B’
(A ∪ B)’ = А’ ∩ B’

Свойства

действий над множествами

∪ B
В ⊂ А

24 чел. написали правильно
17 – 3 = 14 чел. написали

только примеры;
24 – 17 = 7 чел. сделали задачу;
13 – 7 = 6 чел. выполнили оба задания.

Решение задач с использованием кругов Эйлера

Дано: Контрольную по математике писали 27 человек. В контрольную входили задачи и примеры. 3 человека не сделали ни одного задания. Примеры сделали 17 человек. Задачи сделали 13 человек. Найдите число учеников которые сделали оба задания.

Задача
13

Пример
17

?

1
Англ. яз. + Нем. яз. = 90
Англ. яз. +

Франц. яз. = 112
Франц. яз. + Нем. яз. = 75
Франц. яз. + Нем. яз. + Англ. яз. = 28

Решение задач с использованием кругов Эйлера

Дано: В школе изучают английский, французский и немецкий языки. Английский изучают 235 человек, французский изучают 160 человек, немецкий изучают 186 человек. Английский и немецкий изучают 90 человек. Немецкий и французский изучают 75 человек. Английский и французский изучают 112 человек. Все три языка изучают 28 человек. Всего - ?

Англ. яз.
235

Нем. яз.
186

Франц. яз.
160

90

112

75

28

Всего: 332 человека.